有界洞型區(qū)域內一類半線性橢圓型方程邊值問題的可解性

張 月，鐘金標

（安慶師范大學數學與計算科學學院，安徽安慶246133）

文獻[1]研究了半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性，證明了存在正常數b?，使對所有正數b＜ b?，（1）式存在正解，而當b＞ b?時，無解。

文獻[2]研究了環(huán)型區(qū)域上半線性橢圓型方程邊值問題，即討論了解的存在性。

文獻[3]研究了半線性橢圓型方程組邊值問題解的存在性。

文獻[4]討論了半線性橢圓型方程邊值問題解的存在性與不存在性。

受文獻[1-4]研究思想啟發(fā)，考察半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性與唯一性，其中Ω為Rn中有界光滑區(qū)域，Γ1為Ω的內邊界，Γ2為Ω的外邊界，?Ω=Γ1?Γ2光滑，b＞0是常數。設問題（2）中函數f(x,u)滿足下列條件（或部分條件）：

(H1)f(x,s)關于(x,s)在×[0,+∞)上非負局部Holder連續(xù)；

(H4)f(x,s)關于s單調增加；

(H5)f(x,u)為 ×[0,+∞)上關于 u的 Lipschitz連續(xù)函數，Lipschitz系數為L，且L ＜ λ1，其中λ1為算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值。

(2)式中非線性項f(x,u)在0與∞點處是超線性的，比文獻[1]中非線性項更具一般性，與文獻[2-4]中非線性項滿足條件也不同，采用的證明方法也不盡相同，證得了解的存在性。下面證明解的存在性。設h為問題的解，則由強極值原理知，在Ω上，0＜h＜1，做變換=u+bh，則(2)式轉換為

定理1若條件(H1)～(H4)成立，則存在b?＞ 0，使當 b＜ b?時，（3）式有非負解；若b＞ b?，則無解。

證明 按下面三步證明。

(I)設k(x,y)為算子-Δ在0-Dirichlet邊界條件的Green函數。R(x)為方程記 ||R0為R在Ω上的上確界，由條件(H2)知，存在常數b＞0，使當x∈Ω，u∈(0,2b)時，有的解。

由條件(H1)知f(x,ω+bh)≥ 0，從而Δuˉ≤ 0，結合上調和函數極值原理知uˉ≥0?，F證uˉ∈D。

記 算 子 A=(-Δ)-1f∶D→D 如下 ：對 任 意ω∈D，Aω=uˉ∈D，其中 uˉ為(4)式的解。因為L-1=(-Δ)-1為緊算子，f連續(xù)，從而A是映射D到D的緊映射，由Schauder不動點定理[5]知，A有一個不動點uˉ∈ D，從而(3)式即(2)式對上面b＞ 0存在有界非負解。

(II)當b充分大時，(3)式沒有非負解。

記λ1是算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值，Φ()x是相應的正特征函數，將(3)式中方程兩邊乘上Φ()x，并在Ω上積分，利用Green第一恒等式，得

由條件(H2)、(H3)知，存在正常數C使

將(6)式代入(5)式得：

(III)記Λ={b|(2)式有正解}，由(I)中所證知，Λ非空，記b?=supΛ，由(I)與(II)知0＜ b?＜+∞，任取b＜ b?，存在bˉ，b ＜ bˉ＜ b?，(2)式有正解 ubˉ，由上調和函數極值原理及ubˉ在連續(xù)性知存在C＞0，使得作輔助函數由條件(H1)及(7)式知(x,u)是在Ω × [ 0 ,C]上的非負有界連續(xù)函數，從而問題

由下調和函數極值原理知ω≤0, x∈Ω0，從而在Ω0內0 ≤ ub≤ ubˉ，這與Ω0的定義矛盾，Ω0為空集，所以0≤ ub≤ ubˉ, x∈ Ω。從而(8)式的正解亦為(2)式的正解。作為定理的應用，下面給出了一個實例。

下面給出并證明(2)式解的唯一性定理。

定理2若條件(H5)成立，則(2)式至多只有一個解。

證明 設u1與u2為(2)式的兩個解，則有

成立。將(10)式與(11)式相減后，左右兩邊乘以u1-u2，在Ω上積分并利用Green第一恒等式、Poincare不等式及條件(H5)得

矛盾，所以u1=u2，即解至多是一個。