復(fù)變函數(shù)中閉曲線積分的類型及求法歸納

【摘要】復(fù)變函數(shù)中閉曲線積分在理論和實(shí)踐中都占據(jù)著重要地位，本文針對(duì)不同類型的積分進(jìn)行總結(jié)和方法歸納，并給出相應(yīng)的習(xí)題作為參考。

【關(guān)鍵詞】復(fù)積分 閉曲線積分 奇點(diǎn)

【Abstract】The closed curve integral in the complex function occupies an important position in both theory and practice. This paper sums up the different types of integral ， and gives the corresponding exercises as a reference.

【Keywords】Complex integral； Closed curve integral； singular point

【中圖分類號(hào)】G64；O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）44-0229-01

在復(fù)變函數(shù)中，積分法是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，一些定理的證明和推廣要用到積分，同時(shí)它又是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。復(fù)積分與實(shí)積分相比具有其自身優(yōu)點(diǎn)，類型明確，針對(duì)性強(qiáng)，覆蓋面廣，因此實(shí)際問(wèn)題中復(fù)積分的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。其中閉曲線積分在復(fù)積分中又占有相當(dāng)重要的地位。鑒于上述情況，本文主要對(duì)復(fù)閉曲線積分進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)歸納，力爭(zhēng)用更簡(jiǎn)潔的方式將不同類型積分和求法呈現(xiàn)出來(lái)。

為敘述方便，若無(wú)特別說(shuō)明，記C為任一封閉曲線，D為由曲線C圍成的單連通域。

1.復(fù)平面內(nèi)處處解析函數(shù)的閉曲線積分

由柯西-古薩基本定理[1]知，單連通域內(nèi)處處解析的函數(shù)，沿該區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線的積分均為零。而整個(gè)復(fù)平面為單連通域，其上任一解析函數(shù)沿任一閉曲線積分為零。

基本初等函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、常函數(shù)等以及由它們的和、差、積構(gòu)成的函數(shù)均為復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，故閉曲線積分均為零。

如？蓐 z3edz=0，？蓐 e2zcoszdz=0，C為復(fù)平面內(nèi)任一封閉曲線。

2.函數(shù)有奇點(diǎn)，但奇點(diǎn)在封閉曲線之外

因?yàn)槠纥c(diǎn)在圈外，所以函數(shù)在曲線圍成的單連通域內(nèi)處處解析，仍用柯西-古薩基本定理得結(jié)論。

3.函數(shù)有奇點(diǎn)，奇點(diǎn)在封閉曲線內(nèi)外均存在

根據(jù)復(fù)合閉路定理和上述第二種情況，只需考慮內(nèi)部奇點(diǎn)即可。

3.1若曲線內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)z0，且被積函數(shù)為 的形式（z0記為I型奇點(diǎn)） ，其中f（z）在C內(nèi)區(qū)域解析，則應(yīng)用柯西積分公式[1]，得

3.2 若曲線C內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)z0，且被積函數(shù)可化為 的形式（z0記為II型奇點(diǎn)），其中f（z）在D內(nèi)解析，則由高階導(dǎo)數(shù)公式[1]，得

3.3 若C內(nèi)奇點(diǎn)不止一個(gè)，且既有I型奇點(diǎn)，又有II型奇點(diǎn)，則結(jié)合復(fù)合閉路定理[1]，柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式來(lái)求解。

例1.求積分 dz，C：|z|=2的正向。

解：C內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0和z=1，在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含，互不相交的正向圓周C1和C2，且C1只包含奇點(diǎn)z=0，C2只包含奇點(diǎn)z=1，由復(fù)合閉路定理

3.4 若C內(nèi)奇點(diǎn)不止一個(gè)，且為綜合性奇點(diǎn)（非I型、II型奇點(diǎn)），既若z=z0為奇點(diǎn)，則z0不僅僅只含在部分公式中，還存在其它位置，如 的奇點(diǎn)z=k？仔（k=0，±1，±2，…）， 的奇點(diǎn)z=0，不僅含在分母因式中，也含在指數(shù)位置等。對(duì)于此類積分，形式復(fù)雜，不是部分分式情況，則不符合前面公式的條件，所以前述方法不適用，因此為了計(jì)算有了更一般，且具有普遍適用性的方法——留數(shù)定理[1]，即

其中z1，z2，…，zn為f（z）在C內(nèi)的n個(gè)孤立奇點(diǎn)，留數(shù)定理注重奇點(diǎn)的分類，它是對(duì)于不同類型奇點(diǎn)都適用的一種方法，再結(jié)合留數(shù)計(jì)算的規(guī)則[1] I、II、III閉合曲線積分均可解決，而柯西-古薩基本定理，柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式均為留數(shù)定理的特殊情況。

例2.計(jì)算積分？蓐 dz，C：|z|=1的正向。

解：z=0為C內(nèi)奇點(diǎn)，且z=0為e2z-1的一級(jí)零點(diǎn)，為z2的二級(jí)零點(diǎn)，故z=0為 的一級(jí)極點(diǎn)。

應(yīng)用留數(shù)定理及規(guī)則I，

4.小結(jié)

綜上可以看出，針對(duì)不同類型閉曲線積分，留數(shù)定理是適用范圍更廣，也是比較簡(jiǎn)單的一種方法，計(jì)算量小，但它需要判斷奇點(diǎn)的類型，所以應(yīng)用留數(shù)定理求積分需要具備較好的理論基礎(chǔ)；而其它方法適用范圍有限，有時(shí)計(jì)算量大，但奇點(diǎn)類型可以直接觀察出來(lái)，不需要計(jì)算。幾種方法各有利弊，在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)根據(jù)問(wèn)題實(shí)際情況選擇合適方法，從而方便我們計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.5，p75-87，p154-156.

作者簡(jiǎn)介：

劉卉（1987-），女，河北唐山人，講師，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。