電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合問題分類剖析

徐華兵

摘 要：電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合問題是各大型考試的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容。本文歸納了電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合問題的常見題型，歸納出命題老師的命題模型——棒變速切割模型和框進(jìn)出磁場模型。列舉了能應(yīng)用動(dòng)量定理處理求解的?？碱}型，并歸納出每種題型的處理方法和解題常規(guī)思路。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；動(dòng)量定理；導(dǎo)體棒；切割；線框

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-6148（2018）10-0038-5

電磁感應(yīng)問題往往涉及到牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量守恒、能量守恒、電路的分析和計(jì)算等許多方面的物理知識(shí)，使力學(xué)和電磁學(xué)的綜合達(dá)到了極致，能很好地考查學(xué)生綜合應(yīng)用物理知識(shí)、分析解決物理問題的能力，因而成為高考等大型考試考查的重點(diǎn)。自浙江實(shí)行新高考政策以來，筆者發(fā)現(xiàn)每次選考物理壓軸題都與電磁感應(yīng)和動(dòng)量問題有關(guān)，這類問題很受命題老師的青睞。

試題常見的形式是導(dǎo)體棒（或框）切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使導(dǎo)體棒（或框）運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)形式有勻速、勻變速和非勻變速三種情形，對前兩種情況，學(xué)生容易想到用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解；對后一種情況學(xué)生也容易想到用能量守恒和動(dòng)量守恒定律求解。但是當(dāng)安培力變化，且又涉及位移、速度問題時(shí)，學(xué)生往往感到不知所措。此時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量定理求解往往能收到出奇制勝的效果。

1 命題、解題思路分析

1.1 命題“種子”模型

模型1——棒變速切割：水平光滑導(dǎo)軌與電阻R連接，處在豎直向上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m、長為L、電阻為r的導(dǎo)體棒以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)（如圖1所示）。

模型2——框進(jìn)出磁場：邊長為L的正方形線框以初速度v0沿光滑水平面進(jìn)入寬度為d、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場中（如圖2所示）。

1.2 解題的萬能方法

上述模型中棒或框都在磁場中受到安培力的作用做變速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)公式無法求解。只能對棒或框利用動(dòng)量定理求解：

通過對截面電量的兩種求解方法，聯(lián)立（1）（2）兩式即可求出其他任意物理量，如任意時(shí)刻的速度v、位移x等。

1.3 分析思維框圖

由圖3所示的思維框圖可以看出，電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合問題求解的關(guān)鍵是——電量，所以在求解這類題目時(shí)，一定要盯牢電量。電量是橋梁，直接把框圖中左右兩邊的物理量都聯(lián)系起來，知道其中一些物理量，就能求解其他物理量。

2 常見題型分析

筆者分析研究發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合類綜合題題型比較固定，常見的只有四種模型，下面分類剖析這幾種模型的常規(guī)處理方法。

2.1 電磁感應(yīng)中應(yīng)用動(dòng)量定理求電量

應(yīng)用動(dòng)量定理求電量類的題目往往是處在磁場中的棒在極短時(shí)間內(nèi)獲得一個(gè)變化的電流，棒在安培力的沖量作用下，獲得某一速度。解這類題目時(shí)，可先算出棒的動(dòng)量變化量，后利用動(dòng)量定理求出流經(jīng)棒的電荷量。

變式1：如圖5所示，磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向豎直向下。水平導(dǎo)軌寬為L，閉合開關(guān)S，質(zhì)量為m的金屬棒從h高處水平拋出，水平射程為x，求：S閉合瞬間通過導(dǎo)體棒的電量。

解析 接通開關(guān)S后，通過棒的電流使棒獲得一個(gè)安培力沖量，以某一速度做平拋運(yùn)動(dòng)。對棒做平拋運(yùn)動(dòng)的過程進(jìn)行分析：

2.2 電磁感應(yīng)中應(yīng)用動(dòng)量定理求距離

例2 如圖6兩條平行的光滑金屬導(dǎo)軌足夠長，其水平部分存在著豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2 T。導(dǎo)軌間距離L=0.5 m，頂端所接電阻R=5 Ω，有一質(zhì)量m=1 kg，電阻r=3 Ω的金屬棒水平橫放在導(dǎo)軌上距水平面高度h=0.2 m處，現(xiàn)讓金屬棒由靜止開始下滑（不計(jì)導(dǎo)軌電阻），求：整個(gè)過程中金屬棒在勻強(qiáng)磁場中移動(dòng)的位移。

解析 棒在圓弧段做變速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，在安培力的沖量作用下，棒的速度發(fā)生變化，此運(yùn)動(dòng)為一個(gè)非勻變速運(yùn)動(dòng)。

變式2：如圖7所示，絕緣水平面上固定著兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌PQ、MN，相距L=0.5 m，ef右側(cè)導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向下。開始時(shí)，ab棒和cd棒鎖定在如圖7所示的位置，ab棒與cd棒平行，ab棒離水平面高度h=0.2 m，cd棒與ef棒之間的距離也為L，ab棒的質(zhì)量m1=0.2 kg，有效電阻R1=0.05 Ω；cd棒的質(zhì)量m2=0.1 kg，有效電阻R2=0.15 Ω。（設(shè)兩棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直，兩棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）。求：ab棒和cd棒速度相同時(shí)，它們之間的距離為多大？

2.3 電磁感應(yīng)中應(yīng)用動(dòng)量定理求速度

應(yīng)用動(dòng)量定理求速度類題目一般是先根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律算出某過程的電量，再利用動(dòng)量定理求出某時(shí)刻的動(dòng)量，從而求出某時(shí)刻的速度。

例3 （2017年11月第22題）如圖8所示，匝數(shù)N=100、截面積S=1.0×10-2 m2、電阻r=0.15 Ω的線圈內(nèi)有方向垂直于線圈平面向上隨時(shí)間均勻增加的勻強(qiáng)磁場B1，其變化率k=0.80 T/s。線圈通過開關(guān)S連接兩根相互平行、間距d=0.20 m的豎直導(dǎo)軌，下端連接阻值R=0.50 Ω的電阻。一根阻值也為0.50 Ω、質(zhì)量m=1.0×10-2 kg的導(dǎo)體棒ab擱置在等高的擋條上。在豎直導(dǎo)軌間的區(qū)域僅有垂直紙面不隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場。接通開關(guān)S后，棒對擋條的壓力恰好為零。假設(shè)棒始終與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)摩擦阻力和導(dǎo)軌電阻。求：斷開開關(guān)S后撤去擋條，棒開始下滑，經(jīng)t=0.25 s后下降了h=0.29 m，求：此過程棒上產(chǎn)生的熱量。

解析 斷開開關(guān)S撤去檔條后，棒下落切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，棒在重力和安培力的合力作用下，獲得一個(gè)速度。對系統(tǒng)利用能量守恒，即可求出棒上產(chǎn)生的熱量Q。

對棒應(yīng)用動(dòng)量定理：

變式3：（2018年4月第23題）如圖9所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，在0≤x≤0.65 m、y≤0.40 m范圍內(nèi)存在一具有理想邊界方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域。一邊長l=0.10 m、質(zhì)量m=0.02 kg、電阻R=0.40 Ω的勻質(zhì)正方形剛性導(dǎo)線框abcd處于圖示位置，其中心的坐標(biāo)為（0，0.65 m）?，F(xiàn)將線框以初速度v0=2.0 m/s水平向右拋出，線框在進(jìn)入磁場過程中速度保持不變，然后在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2 T的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，最后從磁場右邊界離開磁場區(qū)域，完成運(yùn)動(dòng)全過程。線框在全過程中始終處于xOy平面內(nèi)，其ab邊與x軸保持平行，空氣阻力不計(jì)。求：線框在全過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

解析 線框進(jìn)入磁場過程和穿出磁場過程，框中磁通量發(fā)生變化，有感應(yīng)電流產(chǎn)生，有熱量產(chǎn)生。由于線框勻速進(jìn)入磁場，此過程產(chǎn)生的焦耳熱即為框減少的重力勢能，而出磁場過程產(chǎn)熱即為克服安培力做的功。

2.4 電磁感應(yīng)中應(yīng)用動(dòng)量定理求時(shí)間

應(yīng)用動(dòng)量定理求時(shí)間類題目一般是已知某一過程初、末狀態(tài)的速度，而該過程棒或框的運(yùn)動(dòng)多為非勻變速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)若用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間將會(huì)非常困難。只能對研究對象在此過程應(yīng)用動(dòng)量定理求時(shí)間。

例4 如圖10所示，在空中有一水平方向的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，區(qū)域的上下邊緣間距為h，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。有一寬度為l（l

解析 從初進(jìn)入磁場到穿出磁場過程中，線框經(jīng)歷了三個(gè)運(yùn)動(dòng)過程：進(jìn)入磁場過程為變加速直線運(yùn)動(dòng)，完全進(jìn)入后到即將穿出過程為加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，穿出過程為勻速運(yùn)動(dòng)，無法應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間，只能應(yīng)用動(dòng)量定理求解。

變式4：如圖11所示，間距為L的倒U型金屬導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)。垂直導(dǎo)軌平面分布著100個(gè)場強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域的寬度為a，相鄰磁場距離為b。一根質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒放置在導(dǎo)軌上且與導(dǎo)軌始終良好接觸，金屬棒從距離第一磁場區(qū)域上端2a位置靜止釋放。設(shè)重力加速度為g。金屬棒穿過各段磁場時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過回路的電流隨時(shí)間以固定周期做周期性變化。求：金屬棒穿過每個(gè)磁場區(qū)域的時(shí)間。

解析 由于金屬棒穿過每個(gè)磁場區(qū)域時(shí)，通過回路的電流隨時(shí)間以固定的周期做周期性的變化，所以金屬棒每次進(jìn)入磁場的速度應(yīng)該相同（設(shè)為v0），離開磁場時(shí)的速度也相同（設(shè)為v1）。進(jìn)入磁場前和離開磁場后棒都做勻變速運(yùn)動(dòng)，可根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)求解。

通過對電磁感應(yīng)與動(dòng)量結(jié)合問題分類剖析求解可以看出，求解過程中起到關(guān)鍵作用的往往是電量q。盯牢電量q這個(gè)關(guān)鍵因素，通過兩個(gè)不同的角度求解電量，后聯(lián)立求解即可得到所要求解的其他物理量。通過本文的分類闡述，希望對廣大同行教師在講解求解這類問題時(shí)有所幫助。