梯形中智數(shù)有序幾何算子及其在群決策的應(yīng)用①

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(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000)

0 引 言

1965年Zadeh[1]提出模糊集的概念，為模糊信息的處理提供了一個有力的工具.Atanassov[2]在模糊集的基礎(chǔ)上增加了非隸屬度提出了直覺模糊集，但它不能處理所有類型的不確定、不協(xié)調(diào)的信息.為此，Smarandache[3]發(fā)展了中智集，其真實程度、不確定程度以及謬誤程度是完全獨(dú)立的.文獻(xiàn)[47]提出了關(guān)于模糊集、直覺模糊集和中智集的幾何平均算子.Ye[8]基于中智集以及梯形模糊數(shù)提出了梯形中智集的概念，文獻(xiàn)[9,10]中提出了梯形中智數(shù)的AHP-Delphi、算術(shù)平均算子的群決策方法.文獻(xiàn)[8]提出了梯形中智數(shù)的幾何平均算子，但是這個算子只考慮了各個屬性的權(quán)重，并沒有考慮在集結(jié)過程中屬性所在位置的重要程度.因此，文中提出了對元素進(jìn)行排序考慮其屬性所在位置的重要程度的梯形中智數(shù)有序加權(quán)幾何算子(TNNOWG)，以及在考慮每個屬性自身的重要程度的基礎(chǔ)上，對屬性所在位置的重要程度加以考慮提出了梯形中智數(shù)組合幾何(TNNHG)算子. 研究了它們的一些性質(zhì)，并探討其在多屬性群決策中的應(yīng)用。

1 梯形中智數(shù)

定義1[3]設(shè)X為論域，x∈X，X上的一個中智數(shù)A可以由真實程度函數(shù)TA(x)，不確定程度函數(shù)IA(x)以及謬誤程度FA(x)表示，其中TA(x),IA(x),FA(x)是]0-,1+[的標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)子集，即TA(x):X→]0-,1+[，IA(x):X→]0-,1+[，F(xiàn)A(x):X→]0-,1+[，且

0-supTA(x)+supIA(x)+supFA(x)3+.

定義2[8]X是一個論域，則X中的一個梯形中智集N′可以表示為以下形式

N′={〈x,TN′(x),IN′(x),FN′(x)〉|x∈X}

其中TN′?[0,1]，IN′?[0,1]和FN′?[0,1]是三個梯形模糊數(shù)，

03.

定義3[8]設(shè)αi=〈(ai,bi,ci,di),

(ei,fi,gi,hi),(li,mi,ni,pi)〉(i=1,2)是兩個梯形中智數(shù)，則它們的運(yùn)算法則為

(1)

α1?α2=〈(a1a2,b1b2,c1c2,d1d2),(e1+e2-e1e2,f1+f2-f1f2,g1+g2-g1g2,h1+h2-h1h2)，(l1+l2-l1l2,m1+m2-m1m2,n1+n2-n1n2,p1+p2-p1p2)〉(2)

(1-(1-l1)λ,1-(1-m1)λ,1-(1-n1)λ1-(1-p1)λ)〉

定義4[8]設(shè)α=〈(a,b,c,d),(e,f,g,h),

(l,m,n,p)〉是一個梯形中智數(shù)，那么梯形中智數(shù)的得分函數(shù)與精確函數(shù)分別為

定義5[8]設(shè)αi=〈(ai,bi,ci,di),(ei,figi,hi),

(li,mi,ni,pi)〉(i=1,2)是兩個梯形中智數(shù)，α1,α2的得分函數(shù)分別為S(α1),S(α2)，精確函數(shù)為H(α1),H(α2)，

則這兩個梯形中智數(shù)的排序方法為

(1)若S(α1)>S(α2)，則α1>α2；

(2)若S(α1)=S(α2)，

(a) 若H(α1)>H(α2)，則α1>α2；

(b) 若H(α1)=H(α2)，則α1=α2.

2 梯形中智集幾何集成算子及其應(yīng)用

2.1 梯形中智集幾何集成算子

算子集成理論在多屬性決策中應(yīng)用越發(fā)的廣泛，但對于梯形中智數(shù)的集成算子的研究文獻(xiàn)并不多. 在梯形中智數(shù)中，文獻(xiàn)[8]提出了梯形中智數(shù)幾何平均算子(TNNWGA).在此基礎(chǔ)上下文提出了一些新的集成算子，即梯形中智數(shù)有序加權(quán)幾何(TNNOWG)算子以及梯形中智數(shù)組合幾何(TNNHG)算子.

定義6 設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),

(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，則梯形中智數(shù)有序幾何算子(TNNOWG)為：

由TNNOWG算子及梯形中智數(shù)運(yùn)算法則，可得下列定理.

定理1 設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),

(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，(ασ(1),ασ(2),...,ασ(n))是(α1,α2,...,αn)的一個置換，使得ασ(j-1)≥ασ(j)，并且ασ(j)=〈(aσ(j),bσ(j),cσ(j),dσ(j)),(eσ(j),fσ(j),gσ(j),hσ(j)),(lσ(j),mσ(j),nσ(j),pσ(j))〉.由梯形中智集的運(yùn)算法則TNNOWG集成結(jié)果仍為梯形中智數(shù)，且

由梯形中智數(shù)運(yùn)算法則以及數(shù)學(xué)歸納法可證定理1.

下面，將給出TNNOWG算子具有的一些性質(zhì).

性質(zhì)1 (冪等性)設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，若對于每個αj都有αj=α，那么

TNNOWG(α1,α2,...,αn)=α.

性質(zhì)2 (邊界性)設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，且

α+=

那么α-TNNOWG(α1,α2,...,αn)α+.

TNNOWG(α1,α2,...,αn)

由于TNNWGA算子只考慮了屬性自身的權(quán)重，TNNOWG算子只考慮了集結(jié)過程中屬性自身所在的位置權(quán)重. 為了克服這些局限性，下面將提出在既考慮屬性自身重要程度的基礎(chǔ)上，還考慮了屬性在集成過程中所處位置的重要程度的梯形中智數(shù)組合幾何算子(TNNHG).

定義7 設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，則梯形中智數(shù)組合幾何算子(TNNHG)為：

其中w=(w1,w2,...,wn)T是與TNNHG相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，wj∈[0,1]且

是一組加權(quán)數(shù)據(jù)

由梯形中智數(shù)運(yùn)算法則有以下定理.

定理2 設(shè)αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一組梯形中智數(shù)，由梯形中智集的運(yùn)算法則TNNHG集成結(jié)果仍為梯形中智數(shù)，且

其中w=(w1,w2,...,wn)T是與TNNHG相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，wj∈[0,1]且

是一組加權(quán)數(shù)據(jù)

TNNHG算子也滿足冪等性，邊界性，單調(diào)性.

2.2 多屬性決策方法對比

對文獻(xiàn)[8]中的例子，利用文獻(xiàn)[8]中的TNNWGA算子與這篇文章中提出的TNNOWG和TNNHG算子進(jìn)行多屬性決策方法的比較分析.

由Ye提出的TNNWGA算子進(jìn)行集結(jié)得到的排序結(jié)果為A4?A1?A5?A2?A3.

由文中TNNOWG算子進(jìn)行集結(jié)，取其位置權(quán)重為ω=(0.25,0.25,0.3,0.2)T，可得其排序結(jié)果為A4?A1?A2?A5?A3.

由文中TNNHG算子，對Dij4wj(j=1,2,3,4;i=1,2,3,4,5)進(jìn)行排序集結(jié)，取其位置權(quán)重為ω=(0.25,0.25,0.3,0.2)T，可得其排序結(jié)果為A4?A1?A5?A2?A3.

從上面的例子可以看出，TNNOWG算子與TNNWGA算子的集結(jié)結(jié)果有所不同，體現(xiàn)了位置權(quán)重對方案的排序產(chǎn)生的影響. 例如在有些決策中需要對評價信息去掉最高分與最低分再對信息進(jìn)行處理，相當(dāng)于把排在第一位與最后一位的權(quán)重賦為0，這就體現(xiàn)了位置權(quán)重在信息集結(jié)過程中的作用. 雖然TNNHG算子的最終排序結(jié)果與TNNWGA算子的排序結(jié)果相一致，但也不能否認(rèn)TNNWGA算子在集結(jié)過程中只考慮屬性權(quán)重而不考慮位置權(quán)重所存在的缺陷. 而TNNHG算子在考慮屬性權(quán)重的基礎(chǔ)上也考慮了集結(jié)過程中的位置權(quán)重，使得最終的集結(jié)結(jié)果更具說服力.

3 基于梯形中智集模糊信息的群決策方法

現(xiàn)如今，許多決策問題需要由多個決策者共同完成，即群決策. 在群決策情形下，基于梯形中智集信息集成算子，即TNNOWG算子和TNNHG算子，給出屬性權(quán)重完全未知并且屬性值為梯形中智數(shù)的不確定多屬性群決策的方法，具體步驟如下：

步驟4 利用得分函數(shù)對αi進(jìn)行排序，得到最優(yōu)方案.

4 實例分析

例1 假設(shè)有一家企業(yè)，為了拓展業(yè)務(wù)需要選擇合適的項目進(jìn)行投資. 現(xiàn)有方案Ai(i=1,2,3,4)可供選擇.通過團(tuán)隊規(guī)模(C1),產(chǎn)品技術(shù)(C2)以及發(fā)展前景(C3)對這4個方案進(jìn)行評估. 現(xiàn)有決策者dk(k=1,2,3)，權(quán)重向量為λ=(0.45,0.3,0.25)T，各指標(biāo)下的評估信息用梯形中智數(shù)表示，各專家所給的決策矩陣分別為R1,R2,R3.

=〈(0.2781,0.3812,0.4517,0.5531),

(0.287,0.3631,0.3631,0.4438),

(0.1861,0.2416,0.2714,0.3316)〉

其余計算與此類似.

α1=〈(0.3386,0.4607,0.4988,0.5763),(0.2075,0.2704,0.3026,0.3713),(0.1253,0.2173,0.2494,0.3368)〉

α2=〈(0.3006,0.3976,0.4554,0.541),(0.1008,0.2199,0.2634,0.3517),(0.1856,0.3044,0.3282,0.4394)〉

α3=〈(0.3939,0.4999,0.5556,0.6405),(0.1183,0.2379,0.2534,0.3561),(0.1969,0.2999,0.3552,0.444)〉

α4=〈(0.4064,0.5097,0.5284,0.6429),(0.0882,0.2076,0.2619,0.3993),(0.0881,0.1674,0.2242,0.2969)〉

步驟3 利用得分函數(shù)計算αi的得分值S(αi)，可得：

S(α1)=0.6241,S(α2)=0.6244,

S(α3)=0.6515,S(α4)=0.6962

故其排序結(jié)果為A4?A3?A2?A1，故最佳的投資方案為A4.

5 結(jié) 論

利用梯形中智集的運(yùn)算法則，將傳統(tǒng)的有序加權(quán)幾何算子、組合加權(quán)幾何算子拓展到梯形中智數(shù)，提出了TNNOWG算子和TNNHG算子，并且探討了它們所具有的性質(zhì). 在多屬性群決策的問題中，這些集成算子可以應(yīng)用到屬性權(quán)重未知同時屬性值以梯形中智數(shù)的形式表示的情形中. 最后給出了具體的數(shù)值例子說明所給的決策方法的有效性.