中心力場中電偶極自發(fā)躍遷的研究①

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(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

1 引 言

中心力場是一種保守力場，它的勢能V(r)與坐標的取向無關(guān)，具有空間轉(zhuǎn)動不變性，其軌道角動量是守恒量。在過去的幾十年里，中心力場的相關(guān)量子力學(xué)問題被廣泛的研究。電偶極子模型也是非常重要的物理模型，其在電解質(zhì)極化、電磁波的發(fā)射和吸收、生物體所有的活動與電場的作用等都可以通過建立電偶極子模型來處理。就是利用量子力學(xué)中的相關(guān)理論來研究中心力場中的電偶極輻射問題。

2 電偶極自發(fā)躍遷選擇定則

(1)

其中n、n′各代表4個量子數(shù)，ω=(Enl-En′l′)，上式中

(2)

三個矩陣元中至少要有一個不等于零，躍遷才是允許的。ψnljmj可以表示成

ψnljmj=Rnl(r)φljmj(θ,φ,sz)

(3)

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(5)

其中徑向積分與選擇定則無關(guān)。利用公式

(6)

及公式

(7)

即得

(8)

類似地，可得

(9)

(10a)

(10b)

(10c)

以及Ylm的正交歸一性和式(4)，就可算出這些矩陣元。這樣計算較之直接利用Ylm的遞推公式要方便得多，特別是有利于確定選擇定則。但是定性地利用Ylm的遞推公式還是有益的，它們是

(11)

(12)

由此可見，量子數(shù)l的選擇定則是Δl=±1，下面分類討論。

第一種情況：

Enl→En′l′,l′→l+1,Δl=l′-l=1。

(1)φA→φA型

(13)

(2)φB→φB型

(3)φA→φB型

(4)φB→φA型

總結(jié)以上結(jié)果，躍遷Enl→En′l+1的選擇定則為

Δj=1,0;Δmj=0，±1

(14)

第二種情況：

Enl→En′l′,l′→l-1,Δl=-1，計算類似于上一情況，選擇定則為

Δj=-1,0;Δmj=0，±1

(15)

Δj=-1相當(dāng)于φA→φA型或φB→φB型。Δj=0相當(dāng)于φB→φA型。

第三種情況：

3 S態(tài)到P態(tài)電偶極自發(fā)躍遷的分支比

不考慮自旋時，原子中的電子狀態(tài)可以表示為ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)。對于初態(tài)為s態(tài)(能級Enl，l=0)終態(tài)為p態(tài)(能級En′l′，l′=1)的電偶極自發(fā)躍遷，初態(tài)波函數(shù)為

(16)

終態(tài)波函數(shù)為

ψn′1m=Rn′1(r)Y1m(θ,φ)

(17)

(18)

利用Ylm的正交歸一性，容易求出

(19a)

(19b)

(19c)

由此可見，終態(tài)磁量子數(shù)m=1,0,-1的分支比為1∶1∶1，即由s態(tài)躍遷到三種p態(tài)的概率相等。

4 初終態(tài)l′相同和m′不同的各個終態(tài)的分支比

(20a)

(20b)

(21)

利用Ylm的遞推公式

nzYlm=cosθYlm(θ,φ)

(22a)

(nx±iny)Ylm=sinθe±iφYlm(θ，φ)

(22b)

〈l±1,m|nz|lm〉

(23a)

〈l±1,m+1|(nx+iny)|lm〉

(23b)

〈l±1,m-1|(nx-iny)|lm〉

(23c)

所以躍遷到終態(tài)m′=m+1,m,m-1的分支比為

(l+m+2)(l+m+1)∶2(l+m+1)(l-m+1)∶

(l-m+2)(l-m+1)

(24)

例如初態(tài)l=m=0，終態(tài)l′=1，則m′=1,0,-1的分支比為2∶2∶2。

同理，躍遷到終態(tài)m′=m+1,m,m-1的分支比為

(l-m)(l-m-1):2(l+m)(l-m):(l+m)(l+m-1)

(25)

注意這個分支比和初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)。躍遷到l′=l+1或l′=l-1態(tài)的概率(對m′求和)也與初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)。

5 結(jié) 論

利用中心力場和電偶極躍遷的概念及相關(guān)知識，解決了電偶極自發(fā)躍遷的選擇定則、S態(tài)到P態(tài)電偶極自發(fā)躍遷的分支比以及在初終態(tài)l,m相同或不同時，各個終態(tài)的分支比，得到了分支比和初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)的結(jié)論。