如何避免貧乏性結(jié)果

劉吉宴

京都大學(xué)大學(xué)院文學(xué)研究科哲學(xué)研究室陽明大學(xué)心智哲學(xué)研究所

liuchiyen@gmail.com

1 前言

直陳條件句（indicative conditionals）的主觀概率（subjective probability）該如何定義，是一直很受爭議的問題。盡管如此，許多人認(rèn)為它和條件概率（conditional probability）之間有著極為密切的關(guān)系。關(guān)于此點，一個在條件句的文獻里最常被廣泛討論的主張是亞當(dāng)斯（Ernest Adams）所提出的亞當(dāng)斯論題（Adams’Thesis）。然而，亞當(dāng)斯論題的明確意義究竟是什么仍需要進一步的厘清。所謂的直陳條件句是指“如果……，……”這類的語句，為便于討論，文本以下便用A→B來表示直陳條件句。1筆者用“如果……，……”來代表直陳條件句，用“假如……，……”來代表虛擬條件句或反事實條件句，這樣的區(qū)分參考自[28,30]。亞當(dāng)斯當(dāng)初主張：

對所有真值函數(shù)的句式φ和ψ，如果P(φ)?=0，P(φ→ψ)=P(φ∧ψ)/P(φ)，且如果P(φ)=0，P(φ→ψ)=1。（[1]，第 185 頁）

以上的主張有兩點值得注意，第一，在不考慮量化詞和模態(tài)詞的條件下，φ和ψ只能是由∧,∨,?所組成的句式，因為亞當(dāng)斯主張直陳條件句沒有真假值。第二，亞當(dāng)斯后來不再堅持P(φ)=0時，P(φ→ψ)=1，改稱P(φ)=0時，P(φ→ψ)沒有定義（[2]，第5頁）。

由于在標(biāo)準(zhǔn)的概率理論中，

因此，后來亞當(dāng)斯論題通常被表述如下：

我們可以看到，上面等式的兩邊在形式上都以P，也就是“概率”來表示主觀概率。大家對于等式右邊的P(B|A)所代表的意思是沒有爭議的，問題在于，大家對于等式左邊P(A→B)所謂的“概率”之解讀存在著有很大的分歧。如上所述，亞當(dāng)斯主張A→B并沒有真假值，因此并不認(rèn)為P(A→B)代表A→B“為真的”概率。

所以，為求公平，讓我們先把亞當(dāng)斯論題表述如下：

杰克森（Frank Jackson）認(rèn)為，P?(A→B)應(yīng)被解讀為A→B的可斷言性（assertibility)（[13]）；亞當(dāng)斯自己則是曾用可斷說性（assertability）來指稱P?（[1]），劉易士（David Lewis）和麥克德莫特（Michael McDermott）后來也認(rèn)為P?(A→B)應(yīng)被解讀為A→B的可斷說性（[19,22]）。但是，亞當(dāng)斯、劉易士、以及麥克德莫特對于什么是可斷說性卻有相當(dāng)不同的看法。然而，劉易士對(AT)提出文獻上著名的貧乏性結(jié)果（triviality results），劉易士指出，無論支持(AT)的人怎么解讀其左邊的P?，只要他們承認(rèn)P?會遵守標(biāo)準(zhǔn)的概率法則，貧乏性結(jié)果就會出現(xiàn)（[19,20]）。

劉易士的貧乏性結(jié)果一開始來自于史東內(nèi)克（Robert Stalnaker）提出的主張，史東內(nèi)克認(rèn)為A→B為真的概率應(yīng)等同于P(B|A)（[26]）。2不過，由于貧乏性結(jié)果，史東內(nèi)克后來已放棄這個想法，甚至提出一個他自己版本的貧乏性結(jié)果。（[27]）他這樣的解讀被稱為“史東內(nèi)克假說”（Stalnaker’s hypothesis），它和一開始的等式有同樣的表述方式：

我們可以把(SH)當(dāng)做是(AT)的一種解讀方式，據(jù)此，我們可以把亞當(dāng)斯論題和貧乏性結(jié)果之間的關(guān)系分成兩大陣營。其中一個陣營認(rèn)為直陳條件句有真假值，假如亞當(dāng)斯論題是正確的主張，那么它應(yīng)該被解讀成(SH)。但由于貧乏性結(jié)果，(SH)不可能是對的主張；所以亞當(dāng)斯論題不是正確的主張。另外一個陣營則是認(rèn)為條件概率捕捉到直陳條件句一個很重要的面向，然而，貧乏性結(jié)果顯示的是，條件概率不可能是直陳條件句為真的概率，(SH)是對亞當(dāng)斯論題錯誤的解讀方式；因此直陳條件句沒有真假值。簡言之，以上兩個陣營都認(rèn)為亞當(dāng)斯論題、貧乏性結(jié)果和條件句有真假值這三者之間是不兼容的。由于貧乏性結(jié)果是牢不可破的，因此我們只能在亞當(dāng)斯論題和條件句有真假值之間選一個立場支持。

本文的目標(biāo)是要論證另一種不同于前述兩種陣營的立場是可行的，那就是，直陳條件句有真假值和亞當(dāng)斯論題是相容的。這樣的立場看起來似乎很接近杰克森對亞當(dāng)斯論題的解讀（[13]），但杰克森并不認(rèn)為他的理論可以解決貧乏性結(jié)果（[14]）。3這主要的原因是杰克森無法提出一個令人滿意的一般性理論，如耶皮亞（Anthony Appiah）指出，一旦杰克森的理論跨足到簡單條件句之外，其理論便會有不好的結(jié)果（[3]）。本文捍衛(wèi)的立場是來自于[28]為亞當(dāng)斯論題提出的看法，本文會在第2節(jié)介紹該文對于直陳條件句提出的三值語意論，說明他如何去解讀亞當(dāng)斯論題，并在最后論證他的理論如何能避免貧乏性結(jié)果。

為便于討論，我們有必要先厘清牽涉到直陳條件句的語句之結(jié)構(gòu)，基本上，筆者依其復(fù)雜度區(qū)分以下幾種不同的語句：

簡單直陳條件句（simple indicative conditionals）A→B里的A或B不能再是直陳條件句，也不能是由直陳條件句所組成的語句。

嵌套直陳條件句（nested indicative conditionals）A→B里的A或B是直陳條件句，例如，(A→(B→C))，((A→B)→C)。

直陳條件句的復(fù)合句（compounds of indicative conditionals） 直陳條件句和其它語句組成的連言句或選言句，例如，(A∧(B→C))，(A∨(B→C))。

對一個主張直陳條件句有真假值的理論而言，不能去限制直陳條件句可以和∧，∨，→等邏輯連接詞形成新的語句，因此，其理論應(yīng)該要能適用于以上三種不同的語句，否則其理論就缺乏一般性。由于亞當(dāng)斯并不主張直陳條件句有真假值，因此他認(rèn)為亞當(dāng)斯論題只適用于簡單直陳條件句，他這樣的想法后來得到愛君騰（Dorothy Edgington），貝內(nèi)特（Jonathan Bennett）等人的支持（[5,7]）。4本文主要的焦點在于有真假值的直陳條件句理論、亞當(dāng)斯論題、和貧乏性結(jié)果如何共存，因而無法進一步討論直陳條件句沒有真假值的看法。

為利于表述，本文以下便直接用條件句來表示直陳條件句。[28]同樣認(rèn)為亞當(dāng)斯論題只適用于簡單條件句，然而，該文只說明了他的理論如何避免劉易士的第一個貧乏性結(jié)果，關(guān)于其它的貧乏性結(jié)果，他僅提供一條原則上可行的進路去解決。另外，哈耶克認(rèn)為就算亞當(dāng)斯論題只限用于簡單條件句，仍然會受到貧乏性結(jié)果的挑戰(zhàn)（[11]）。關(guān)于此點，[28]并沒有做出正面的響應(yīng)。筆者要論證該文提供的進路的確是可行的，本文會在第二節(jié)介紹劉易士前三個貧乏性結(jié)果（[19,20]），然后在第三節(jié)介紹劉易士的第四個貧乏性結(jié)果（[20]），和哈耶克的一個很重要的貧乏性結(jié)果（[9]）。接著在第四節(jié)，筆者會明確地指出貧乏性結(jié)果的根源。然后在第五節(jié)說明[28]的理論如何解決所有的貧乏性結(jié)果，并試著響應(yīng)哈耶克提出的挑戰(zhàn)。作為結(jié)論，本文認(rèn)為[28]對亞當(dāng)斯論題提出的解讀，可以避免市面上所有的貧乏性結(jié)果。

2 一種對亞當(dāng)斯論題的解讀

本節(jié)要介紹[28]對條件句發(fā)展出來的理論，該文基于麥克德莫特（Michael McDermott）的一些想法（[22]），提出以下一個一般性的三值條件句真值表，以表1呈現(xiàn)如下：

表1:三值條件句真值表

表1中的T、F、X分別代表了真、假、沒有真假，它和麥克德莫特提出的看法有幾點重要的不同：第一，對于?,∧,∨的定義采取了烏卡西威契（Jan ?ukasiewicz）的三值邏輯系統(tǒng)（[21]）以及克林（Stephen Cole Kleene）的強三值語意論（[17]）；第二，引入了∽來定義“沒有真假”，例如，∽S的意思是“語句S沒有真假”。基于表1，有以下的定義及公理：（[28]，第39–41頁）

定義1.P(A→B)=P(AB)。5P(AB)代表P(A∧B)，這是文獻上的慣例，本文以下也以依慣例，把P(A∧B∧,...)省略為P(AB,...)。

定義2.P(?(A→B))=P(A?B)。

定義3.P(∽(A→B))=P(?A∨∽A∨∽B)。

公理1.對任何語句A，0≤P(A)≤1。

公理2.如果A和B是等值的，P(A)=P(B)；P(?A)=P(?B)；P(∽A)=P(∽B)。

公理3.如果A和B是不兼容的，P(A∨B)=P(A)+P(B)。

公理4.P(S)=1，S是樣本空間。

由以上的定義和公理，可以證明P(A→B)+P(?(A→B))+P(∽(A→B))=1（[28]，第41頁）。因此，概率值對條件句的分配，不會有不一致的情況產(chǎn)生。

將概率應(yīng)用到?jīng)]有真假的語句上乍看之下有點奇怪，然而，讓我們從打賭條件句A→B來思考這個問題。當(dāng)你非常確認(rèn)A為假時，你應(yīng)會認(rèn)為此時打賭A→B沒有輸贏，你似乎可以認(rèn)為打賭A→B贏的概率為0；打賭A→B輸?shù)母怕室矠?。在這樣的想法下，一個沒有真假的語句為真的（或為假的）概率為0似乎不是太奇怪的主張。從另一個角度來說，我們可以把沒有真假理解成不是為真的情況，也不是為假的情況，[28]的機率理論是應(yīng)用到這三種互斥且窮盡的情況。既然X沒有真假，代表著它不是為真的情況，所以為真的概率為0。它也不是為假的情況，所以為假的概率為0。

一旦確認(rèn)了三值條件句的概率分配不會有不一致的情況，[28]接著用公平賭率的概念來定義可斷說性，借用杰弗里的例子（[16]），設(shè)想打賭A→B被設(shè)計成彩票一的形式，如圖1：

圖1:彩票一

而彩票一的價值會是另外兩張彩票（彩票二及彩票三）的價值總合，如圖2：

圖2:彩票二、彩票三

現(xiàn)在，假設(shè)你對彩票一愿意押的最高賭注是x元，我們只要知道在這樣的假設(shè)下，彩票二和彩票三的價值總和是多少，就可以知道x的值。我們可以看到，彩票二值P(AB)元，而彩票三值P(?A)×x元，所以，彩票一的價值x等于彩票二的價值P(AB)加上彩票三的價值P(?A)×x。因此，x=P(B|A)，而P(B|A)代表了，打賭者打賭條件句愿意下的最大賭注x除于可獲得的獎金1，而這正代表了打賭A→B的公平賭率。6事實上，這樣的想法最早可追溯到德費內(nèi)提（[8]，第68–69頁）。

以上的打賭方式只適用于簡單條件句，一旦A→B的前件沒有真假時，就無法衡量它的價值，因此，[28]中進一步地把這樣的思維擴展到所有的條件句。由于[28]已經(jīng)給出更復(fù)雜的條件句之概率定義，就可以計算這些語句為真、為假和沒有真假的概率值，就可以去評價有牽涉到條件句的語句之公平賭率，也就可以進一步去定義它的可斷說性。為了和杰克森的可斷言性做區(qū)分，筆者用Assa(S)來代表S的可斷說性，那么，根據(jù)[28]對可斷說性的定義，Assa(S)會等于打賭S的最大賭注除以打賭S贏的獎金。

現(xiàn)在，假設(shè)S代表了一個條件句C→D（C，D本身也有可能是條件句），打賭C→D贏的獎金為n元，而一個理性的人打賭C→D愿意下的最大賭注是x元，那么，我們會面對如圖3的彩票：

圖3:彩票一?

這使得我們對彩票一?的最大賭注x=n×P(CD)+x×P(?C∨∽C∨∽D)。因此，x/n=P(CD)/[P(CD)+P(C?D)]=Assa(C→D)。7

也就是說，對于所有的條件句而言，有以下的定理：（[28]，第42頁）

定理1.Assa(A→B)=P(AB)/[P(AB)+P(A?B)]。

定理1是條件句的可斷說性最一般的定義，當(dāng)A→B是簡單條件句時，也就是A與B都是真值函數(shù)的二值句式時，P(AB)+P(A?B)=P(A)。因此，當(dāng)A→B是簡單條件句時，A→B的可斷說性等于P(B|A)，換句話說，我們可以把亞當(dāng)斯論題視為是定理1的特殊情況。

總言之，基于三值語意學(xué)下和對簡單條件句的打賭方式，[28]對亞當(dāng)斯論題的解讀是：

在A→B是簡單條件句的條件下，條件概率等于打賭A→B的公平賭率，這說明了為何人們在評價簡單條件句時，會根據(jù)條件概率來判斷。然而，貧乏性結(jié)果揭示了條件概率不代表是簡單條件句“為真的概率”，因此，[28]建議我們最好把它視為是簡單條件句的“可斷說性”。我們可以看到，[28]區(qū)分了條件句為真的概率和可斷說性，但這為何能避免貧乏性結(jié)果呢？筆者接下來說明幾個重要的貧乏性結(jié)果和其根源，并在最后替[28]闡明可斷說性的意義，以解決貧乏性結(jié)果。

3 劉易士的前三個貧乏性結(jié)果

在本節(jié)中，筆者將介紹三個劉易士的貧乏性結(jié)果，并說明[28]如何解決劉易士的第一個貧乏性結(jié)果（[19]）。這三個貧乏性結(jié)果都依賴于劉易士所謂的條件化函數(shù)是用來捕捉條件概率的意義，當(dāng)P(φ)>0時，一定有一個概率函數(shù)使得只要我們承認(rèn)有這樣的函數(shù)，加上(SH)，一定可以得到:8這里有個條件：P(A∧B)>0。

而主張條件句是個二值命題的人且接受經(jīng)典概率理論的人，在P(AC)>0的條件下,也一定會同意以下的等式：

現(xiàn)在，如果→是劉易士所謂的“普遍概率條件句”（universal probability conditional），即，對任何命題A,C，只要P(A)>0，(SH)都會成立，也就是說，P(A→C)=P(C|A)。而依照(1)，P((A→C)|C)=P(C|(A∧C))=1，P((A→C)|?C)=P(C|(A∧?C))=0，代入(2)后，即可得到

(3)這個結(jié)果是令人無法接受的，因為它告訴我們的是，在P(AC)和P(A?C)都大于0時，假如我們還堅持(SH)，C和A會是概率上獨立的。此時，要避免(3)的唯一可能是，有普遍概率條件句的語言之表達力非常弱，弱到無法同時表達三個都有可能，而且彼此互不兼容的語句。劉易士稱這樣的語言為“貧乏的”（trivial）。因此，劉易士的第一個貧乏性結(jié)果是：

任何一個有普遍的概率條件句的語言，是一個貧乏的語言。（[19]，第300頁）

可是，我們使用的語言不是貧乏的，所以，(SH)在我們使用的語言里是無法成立的。劉易士接著設(shè)想，也許有人會覺得第一個貧乏性結(jié)果是我們把→解釋成普遍的概率條件句所致，那么，只要我們不要把→做此解釋，而把它解釋成特定的概率函數(shù)集合之概率條件句就可以避免貧乏性結(jié)果。比如，既然我們關(guān)心的是主觀概率，即，那些用來代表我們信念系統(tǒng)的概率函數(shù)，那么，我們可以把P這樣的概率函數(shù)對某個語句給出的值，解釋成某人在某時間點上對某個語句的主觀概率。換句話說，我們可以把P視為一種信念函數(shù)，用來代表我們的信念系統(tǒng)，而把→解釋成我們信念函數(shù)集合的概率條件句即可。

劉易士的第二個貧乏性結(jié)果便基于這樣的想法，他現(xiàn)在只考慮能代表我們信念系統(tǒng)的概率函數(shù)，假設(shè)P是我們信念函數(shù)的集合，而且是條件化下封閉的。例如，P是某甲對A,B,C……等的信念函數(shù)，我們可以由P條件化任何語句，例如，A。當(dāng)甲的P在得知A這個證據(jù)后，他的信念函數(shù)會變成他對其它語句的主觀概率變成而且仍會是一個恰當(dāng)?shù)男拍詈瘮?shù)。如果我們把→解釋成P的概率條件句，由于P里面的概率函數(shù)P同樣地都會遵守(SH)和標(biāo)準(zhǔn)概率定律，一樣會導(dǎo)致同樣的結(jié)果，而得到(3)這個式子。這樣的后果是：為了要避免(3)這個結(jié)果，P對每一個語句最多只能給出四個不同的值。為什么呢？對任何的語句F和G而言，我們可以用表2來表示其概率分配。其中，I至IV分別表示四個割集合，它們互斥且窮盡了所有的可能性。

表2:概率分配

根據(jù)表2，P(F)=I+III，P(G)=I+II，P(?F)=II+IV，P(?G)=III+IV。劉易士的第一個貧乏性結(jié)果已證明：若P(FG),P(?FG),P(F?G)和P(?F?G)其中有三個大于0，由于它們彼此不兼容，那么，一定會出現(xiàn)結(jié)果(3)。為了能夠避免(3)，只有兩種可能：(i)其中一個割集合的概率為1：那么其它三個割集合的概率均為0。(ii)沒有任何一個割集合的概率為1：如果其中一個割集合的概率為x(0

這樣的結(jié)果導(dǎo)致P對語句最多只能給出四個值：1,0,x和1?x，才不會產(chǎn)生結(jié)果(3)。但劉易士稱這樣的P為貧乏的，因為能代表我們信念系統(tǒng)的概率函數(shù)，不應(yīng)對每個語句最多只能給出四個不同的值。所以，劉易士證明了第二個貧乏性結(jié)果：

如果一個概率函數(shù)的集合是條件化下封閉的，除非此集合全然由貧乏的概率函數(shù)所組成，否則不會有此集合下的概率條件句。（[19]，第302頁）

既然有些代表我們的信念系統(tǒng)的概率函數(shù)不是貧乏的，也就是說，我們對語句的主觀概率可以超出4個不同的值，我們所使用的條件句并不是一個符合史東內(nèi)克假說的概率條件句。

在劉易士的第一個和第二個貧乏性結(jié)果之后，其他的人才意識到史東內(nèi)克假說竟會產(chǎn)生令人如此驚訝的結(jié)果，支持史東內(nèi)克假說的人試著質(zhì)疑劉易士論證里的預(yù)設(shè)，冀望能避免劉易士的貧乏性結(jié)果。于是，劉易士針對他會遭遇的兩個反對，再提出兩個貧乏性結(jié)果。（[20]）劉易士遭遇的第一個反對是，不是所有的命題都可以視為證據(jù)，即使認(rèn)為信念函數(shù)P條件化某人的全部證據(jù)（total evidence）之命題而來的函數(shù)能做為信念函數(shù)，不代表信念函數(shù)的集合會一般地條件化下封閉的。第二個反對是這樣的函數(shù)不應(yīng)該被視為我們的信念函數(shù)。

筆者先說明劉易士針對第一個反對所給的第三個貧乏性結(jié)果，在劉易士的第二個貧乏性結(jié)果里，他假設(shè)能代表我們的信念函數(shù)集合是一般地在條件化下封閉的，也就是說，所有的都屬于信念函數(shù)的集合，不過，他承認(rèn)我們沒有好的理由來做這樣的一般性預(yù)設(shè)。因此，反對者會說，假設(shè)P是某人甲原本對A,B,C,...的信念函數(shù)，當(dāng)甲知道A為真時，他對其它命題的主觀概率變成只要A能夠是甲的證據(jù)命題，便可以是甲的信念函數(shù)之一。換句話說，不是條件化所有的命題φ后所形成的都可以代表信念函數(shù)，要能做為證據(jù)命題的φ才可以。也因此，φ必須是一個確切的命題，然而，劉易士在論證里用來條件化的命題是C和?C。反對者認(rèn)為即使C是一個確切的命題，?C卻不是，兩者不能全部都是證據(jù)命題，所以，之中只有一個才可以是信念函數(shù)，劉易士的第二個貧乏性結(jié)果里使用的并不是一個恰當(dāng)?shù)男拍詈瘮?shù)。

劉易士完全同意這是一個合理的反對，他應(yīng)該只預(yù)設(shè)條件化證據(jù)命題下封閉的信念集合，于是他修改原本的預(yù)設(shè)：考慮一個證據(jù)命題集合Σ，它代表甲在特定的時間點上可獲得的全部證據(jù)（total evidence available）。C,D,...是Σ里的命題，而且它們是互斥的且窮盡整個證據(jù)命題集合。由于一個人的區(qū)辨能力是有限制的，這樣的命題會是有限的，但至少有兩個以上,因此它們是一個有限的分割集合（finite partition）。現(xiàn)在，假設(shè)P是甲信念函數(shù)的集合，而且是在條件化C,D,...下封閉的，令P是P其中的一個信念函數(shù)，且P(C),P(D),...均大于0。另外，令A(yù)是會使得P(A|C),P(A|D),...都大于0，且P(C|A)?=P(C)的命題，若沒有這樣的P,C,D,...和A，則劉易士稱之為貧乏的。

據(jù)此，我們可以得到:

然而，一旦我們認(rèn)為對P里的信念函數(shù)而言，史東內(nèi)克假說都會成立，劉易士用(*)來代表史東內(nèi)克假說：（[20]，第581頁）

由于P((C∧A)|C)=P(CAC)/P(C)=P(CA)/P(C)=P(A|C)，所以等式右邊的第一項P((C∧A)|C)P(C)÷P(A|C)就等于P(A|C)P(C)÷P(A|C)，也就等于P(C)；而由于C,D,...是不兼容的，所以P((C∧A)|D)和其之后的P((C∧A)|?)都為0，也就是說，原式最后為:

可是，在一開始的假設(shè)里，P(C|A)?=P(C)，因此，史東內(nèi)克假說不可能對P里的信念函數(shù)都成立。劉易士讓我們看到，即便我們限制可用來做為條件化的命題，還是無法避免會導(dǎo)致第三個貧乏性結(jié)果：

對于條件化某個分割集合中的命題是封閉的概率函數(shù)集合而言，除了在貧乏的案例下，沒有一個一致的方式來解釋→，使得(*)對整個集合都成立。（[19]，第583頁）

因此，光是限制可做為條件化的命題，不足以阻擋劉易士的貧乏性結(jié)果。

我們可以看到，劉易士的前三個貧乏性結(jié)果的論證策略是：(SH)加上條件化函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)概率會導(dǎo)出(3)。由于[28]對條件句的概率理論不支持(SH)，所以，他解決第一個貧乏性結(jié)果的方式是去否認(rèn)(SH)來阻斷(3)的產(chǎn)生。在[28]的理論下，(1)不會成立，因為P((A→C)|B)=P((A→C)∧B)/P(B)=P(ABC)/P(B)。所以，無法如同劉易士那般藉由(1)而導(dǎo)出(3)。[28]中這樣的方式同樣可以解決第二個貧乏性結(jié)果。

但是，[28]的策略是否可以解決第三個貧乏性結(jié)果則有待考慮，因為，第三個貧乏性結(jié)果并沒有導(dǎo)出(1)，也可以導(dǎo)出(3)。敏銳的讀者也許會發(fā)現(xiàn)，[28]對前兩個貧乏性結(jié)果的解決方案令人留下一個疑慮，那就是，該理論會不會有不從(SH)而導(dǎo)出(3)或類似結(jié)果的途徑？換句話說，(SH)并不是貧乏性結(jié)果的必要條件，我們需要找出一個貧乏性結(jié)果共有的病因，才能對癥下藥解決貧乏性結(jié)果。該文中雖然有意識到這個問題，并試圖從愛君騰對貧乏性結(jié)果的診斷提出一個原則性的解決方式，但并沒有詳細(xì)說明那的確是可行的進路。因此，本文接著要介紹其它的貧乏性結(jié)果，進一步詳盡地刻畫并擴展[28]提出的原則性方法，說明這個原則性的進路如何可行。

4 劉易士的最后一個貧乏性結(jié)果與壁花論證

在討論完第三個貧乏性結(jié)果之后，劉易士認(rèn)為他還會遭遇第另一個反對，這樣的函數(shù)不應(yīng)該被視為我們的信念函數(shù)。劉易士的前三個貧乏性結(jié)果中，有一個很關(guān)鍵的角色是由所扮演，這樣的函數(shù)涉及到信念的變動，我們可以用以下的說明來理解：

假設(shè)P是某人的信念函數(shù)，他對A,C,A∧C的主觀概率分別為P(A),P(C),P(CA)。當(dāng)他對A的主觀概率變?yōu)?時，這個人對其它命題的主觀概率有可能會因此而有所不同，此時，我們可以說他的信念函數(shù)由P變成

問題是，我們對某命題的主觀概率提升時，它很少變成1，也許它提升至0.8或0.9，那么變動過后的信念函數(shù)就不會是換句話說，劉易士的只是一個極端的特例，它只能捕捉到信念變動里一個很極端的情況，有些人認(rèn)為一個理性的人變動過后的信念函數(shù)不應(yīng)該是這樣的極端，所以不應(yīng)該做為一個恰當(dāng)?shù)男拍詈瘮?shù)。那么，什么才是一個恰當(dāng)?shù)男拍詈瘮?shù)呢？

杰弗里（Richard Jeffrey）對這個問題提出令人信服的看法（[15]，第166–171頁），他要我們考慮以下的例子：

有一匹賽馬在泥濘的場地上表現(xiàn)得特別出色。如果一個晴朗的氣象預(yù)報使得一個賭徒改變他對命題B“場地會是泥濘的”的信念程度，那么，他對命題A“那匹馬將贏得一場特定的賽事”的信念程度應(yīng)該會改變。然而，那個預(yù)報應(yīng)該對他對“在場地是泥濘的條件下，那匹馬將會贏”這個命題，或者“在場地不是泥濘的條件下，那匹馬將會贏”這個命題的信念程度，不具任何影響。（[15]，第169頁）

一個賭徒對A的主觀概率P(A)會隨著對B的主觀概率P(B)的變動而改變，以上面的例子來說，此賭徒對B信念的提升會使得他對A的信念提升。為了和劉易士的P′φ做區(qū)分，筆者用Pφ表示杰弗里的條件化函數(shù)。而杰弗里認(rèn)為，不管PB(B)如何變動，PB(A|B)和PB(A|?B)應(yīng)該都會是保持不變的。所以：

讓我們假設(shè)賭徒甲相信“賽馬H在泥濘的場地條件下贏得比賽”的概率是0.8，即P(A|B)=0.8；而且甲相信“賽馬H在正常的場地條件下贏得比賽”的概率是0.1，即P(A|?B)=0.1。明天就要比賽了，本來他的P(B)是相當(dāng)?shù)偷模ㄖ挥?.3），導(dǎo)致他的P(A)也是不高的，只有0.31。9P(A)=P(AB)+P(A?B)=P(A|B)P(B)+P(A|?B)P(?B)=0.8×0.3+0.1×0.7=0.31。然而最新的氣象報告顯示明天很有可能會下雨，也就是說，明天比賽的場地很有可能是泥濘的，于是此時他對B的主觀概率，也就是PB(B)，增加為0.6。那么，他如今對此匹賽馬在泥濘的場地中贏得比賽的主觀概率，也就是PB(A|B)，應(yīng)該是保持和原先一樣的。根據(jù)條件概率的定義：

我們又知道:

由(a)和(b)，我們便可以得到：10杰弗里原文并不是用“(GC*)”這個名稱，筆者為了方便討論而稱之為“(GC*)”（[15]，第169頁）

我們可以稱杰弗里的(GC*)為“一般條件化”（Generalized Conditionalization），可以用來計算在一般的情形下，我們對某命題的主觀概率改變后，其它的命題會如何改變。

現(xiàn)在，我們可以將上面賽馬之例子帶進(GC*)，便可以得到在明天場地會變泥濘的主觀概率提升后，對賽馬H贏得比賽的主觀概率應(yīng)為：

這和(GC*)只是寫法不同，而意思是一樣的，不過，要特別注意的是，等式兩方的x之意義是不一樣的，請容許筆者稍做說明。

(GC)左邊的Px代表由P一般條件化某個命題φ而來的函數(shù)，即PC。(GC)右邊的x代表甲對命題φ的主觀概率改變后相差的數(shù)值。例如，甲原本的P(C)是0.3，后來變成PC(C)為0.8，那么x=0.8?0.3=0.5，換句話說，x=PC(C)?P(C)。經(jīng)過這樣的說明后，按照(GC)：

把右邊展開后便得到(GC*)。11請參閱附錄中的1。

讓我們開始來看看劉易士如何得到第四個貧乏性結(jié)果，假設(shè)有某個信念函數(shù)P和證據(jù)命題C，P(C)和P(?C)都大于0。令有個命題A會使得P(A|C)和P(A|?C)都大于0，而且P(A|C)不等于P(A|?C)。如果無法給出這樣的P,C和A，劉易士便稱之為貧乏的，而我們的信念函數(shù)可以給出這樣的例子?，F(xiàn)在，假設(shè)對所有的信念函數(shù)而言：

依(GC)可得到：12請參閱附錄中的2。

最后會得到：13請參閱附錄中的3。

以上的等式只有在左右兩邊都等于0才會成立，因為當(dāng)我們給定P,A和C時，此時會變動的只有x，如果無論x怎么變動，等式都會成立的話，唯一的可能是左邊的式子等于0。有兩個情況會使得左式等于0，第一種可能是P(A|C)=P(A|?C)，但這違反一開始的預(yù)設(shè)；第二種可能是P(A→C|C)=P(A→C|?C)，這表示：

在劉易士的預(yù)設(shè)里，P(A|C),P(?C|A),P(C|A)和P(A|?C)都會大于0，所以上述的等式不會成立。因此，劉易士證明了第四個貧乏性結(jié)果：（[20]，第588頁）

對信念變動符合(GC)下會封閉的信念集合而言，除了在貧乏的案例下，沒有一個一致的方式來解釋→，使得(*)對整個集合都成立。

劉易士的四個貧乏性結(jié)果是條件句理論里非常重要而影響深遠的論證，除非支持史東內(nèi)克假說的人能提出更令人信服的條件化函數(shù)，并證明不會有類似劉易士的貧乏性結(jié)果，否則便得論證說我們對條件句的主觀概率不涉及到信念的變動。哈耶克進一步論證，其它的條件化函數(shù)也無法避免貧乏性結(jié)果（[11]），其他人則論證即使條件句的主觀概率不涉及信念的變動，仍然會使得史東內(nèi)克假說無法成立（[6,9,10,27]）。而在這些貧乏性結(jié)果中，哈耶克提出的壁花論證（Walflower argument）所用的前提最弱，使得它成為最強而有力的貧乏性結(jié)果（[9]），筆者接下來便要說明這個論證。

哈耶克給了一個簡明的例子來說明壁花論證：（[11]，第156頁）

考慮公平的三張彩票，以及由三個語句“彩票i贏”，i=1,2,3所產(chǎn)生的布爾代數(shù)（Boolean algebra）。令P被定義是作用在這個代數(shù)上的自然函數(shù)，它對這三個語句的每一個都分配概率值1/3。這樣的后果是每一個布爾代數(shù)的成員都有一個1/3倍數(shù)的概率值。然而，很多條件概率不是1/3的倍數(shù)，例如，P(彩票1贏|彩票1贏或彩票2贏)=1/2。所以，有條件概率在非條件概率中找不到匹配。

哈耶克戲稱條件概率和非條件概率就像是兩群去參加舞會的男女，條件概率的數(shù)量代表男生的數(shù)量，非條件概率的數(shù)量代表女生的數(shù)量，而男生總是會多于女生，因此，總是有些男生會找不到對應(yīng)的舞伴而必須當(dāng)壁花，故稱之為“壁花論證”。（[11]，第 157 頁）

在哈耶克的論證中，他沒有對→做特別的解釋，只接受→是一個二位連接詞，當(dāng)A和C代表兩個不同的命題時，A→C也會是一個命題。P代表一個人的主觀概率函數(shù)，如果一個人能區(qū)分不同的可能世界，P就會分配給這些可能世界一個特定的值，而哈耶克預(yù)設(shè)一個人能區(qū)分的可能世界是有限的。假設(shè)某人能區(qū)分的可能世界有n個，而它對這些可能世界之主觀概率分別為：P1,P2,...Pn。而如下圖4所示：

圖4:非條件概率

哈耶克稱P1,P2,...Pn為“非條件概率”（unconditional probabilities），而既然命題為真的概率等于其為真的可能世界之概率總和，在這樣的設(shè)定下，任何命題為真的概率要么等于這些非條件概率之一，要么等于它們其中幾個的總和。

哈耶克原本的論證頗為復(fù)雜，為了簡單說明，筆者模仿他后來給的彩票例子，令P1=P2=,...=Pn=1/n，而Ai代表“彩票i會中獎”。這樣一來，所有命題為真的概率會是1/n的倍數(shù)，而且命題為真的概率一定會等于某個相對應(yīng)的條件概率所給出的值，只要令給定的條件為恒真句即可（例如，P1(_)對應(yīng)到的是P1(_|T)）。然而，有些條件概率的值卻不是1/n的倍數(shù)，例如，在哈耶克給的3張彩票例子中，n=3，而P(彩票1贏|彩票1贏或彩票2贏)=1/2，1/2并不是1/3的倍數(shù)。簡言之，在以上的假定下，假如我們把A→C當(dāng)成一個命題，它的概率值一定是非條件概率函數(shù)的倍數(shù)。而(SH)說在P(A>0)的條件下，P(A→C)一定會等于P(C|A)，那么P(C|A)必須是非條件概率函數(shù)的倍數(shù)。遺憾的是，哈耶克的壁花論證告訴我們，P(C|A)未必是非條件概率的倍數(shù)；因此(SH)會導(dǎo)致不一致的結(jié)果。這個論證沒有用到兩個不同的主觀概率函數(shù)來看待同一個條件句，而且不默認(rèn)任何條件句邏輯，只要求當(dāng)A和C代表兩個不同的命題時，A→C也會是一個命題，但(SH)在這么弱的前提下依舊無法成立。

哈耶克認(rèn)為壁花論證不僅駁斥了(SH)，還可以駁斥亞當(dāng)斯論題的任何解讀（[11]）。他說：

為了和條件概率一樣多，可斷言性可以多過概率是夠令人驚訝的。我的疑惑被加倍地增大，更加疑感的是，條件句的可斷言性可以和概率一樣多是令人驚訝的，更令人驚訝的是，簡單條件句的可斷言性可以一樣多。（[11]，第158頁）

不盡是可斷言性，哈耶克認(rèn)為不管是可斷說性，或是可接受度都是令人懷疑的（[11]，第159頁）。因此，他不認(rèn)為亞當(dāng)斯論題是條件句理論中的試金石（touchstone），更不認(rèn)為條件概率在條件句中扮演重要的角色。不過，關(guān)于這個對亞當(dāng)斯論題的攻擊，哈耶克自己承認(rèn)說：“我了解到這不是一個決定性的論證”（[11]，第158頁）。哈耶克要的是支持亞當(dāng)斯論題的人能為它提供一個合理的基礎(chǔ)，而不只是去訴諸直覺，可惜的是，[28]中沒有為此點提供更實質(zhì)的說明，筆者會在第五節(jié)針對此點做出回應(yīng)。

以上這些各式各樣的貧乏性結(jié)果是令人眼花瞭亂的，大多數(shù)人在一開始接觸亞當(dāng)斯論題時，都會覺得這是可信的主張，然而貧乏性結(jié)果動搖了大家對亞當(dāng)斯論題的信心。即使我們?nèi)シ磳σ婚_始提出貧乏性結(jié)果的劉易士所承認(rèn)的前提，我們?nèi)匀浑y以反駁后繼者運用更弱的前提來導(dǎo)出類以的結(jié)果，這是很令人沮喪的。這樣的現(xiàn)象反映出了什么？會不會條件句真如同亞當(dāng)斯所說，并沒有所謂的真假值呢？因此，當(dāng)我們試圖應(yīng)用“真”和“假”的概念到條件句時，無可避免地便會有這樣令難堪的情形產(chǎn)生呢？筆者不認(rèn)為如此，下一節(jié)，筆者要來說明本文支持的AT如何避免這些貧乏性結(jié)果。

5 貧乏性結(jié)果的根源

為何(SH)會有貧乏性結(jié)果呢？我們可以從卡爾斯壯（Ian F.Carlstrom）和希爾（Christopher S.Hill）提出的貧乏性結(jié)果中看出端倪。（[6]）卡爾斯壯和希爾先默認(rèn)對任意且邏輯上獨立的句子A和B，我們可以分配真假值給句子A→B，且令P(A→B)=P(AB)/P(A)。那么，A→B的真值表可能如表3：

表3:A→B的真值表

假如A→B是由A和B所建構(gòu)出來的布爾式語句（Boolean sentences），則有16種可能的真值分配方式。但在這樣的假設(shè)下，A→B的真假值不可能光憑A和B的真假值來決定，因為不存在一個A和B建造出的布爾式語句X，使得所有的概率函數(shù)P讓P(X)=P(AB)/P(A)。

筆者先來證明其中一個例子，假設(shè)X代表了A→B的真值條件（無論它是什么），且其真值分配為?F,F,T,F?，也就是表3中A→B第一列到第四列的值。現(xiàn)在，考慮如圖5的四個可能世界，以及概率分配方式：

圖5:可能世界以及概率分配方式

在這樣的設(shè)定下，P1(AB)=0.2,P1(A)=0.4,P1(X)=0.5，因此P1(X)=P1(AB)/P1(A)。然而，另一個概率函數(shù)P2對這四個世界的概率分配值未必和P1一樣，我們可以看到，P2(X)便不會等于P2(AB)/P2(A)。也就是說，在這樣的真值分配下，一定有些概率函數(shù)Pi使得Pi(X)?=Pi(B|A)，因此Pi(A→B)?=Pi(B|A)。同樣地，在其它另外的真值分配下，也會有同樣的情況產(chǎn)生，因此A→B不是由A和B所建構(gòu)出來的布爾式語句。

既然A→B不是由A和B建構(gòu)成的布爾式語句，當(dāng)我們知道A和B的真假值時，也無法決定A→B的真假值。因此，支持A→B是二值語句的人，只能假定A→B在每一個可能世界中非真即假，而且無論如何，P(A→B)=P(B|A)。不過，卡爾斯壯和希爾接著給出一個貧乏性結(jié)果來反駁以上的想法。（[6]）由于他們的例子比較不易了解，筆者介紹愛君騰的另一個版本的貧乏性結(jié)果來說明。（[7]）

令A(yù)→B所代表的命題為X，考慮如圖5四個可能世界，以及兩種概率分配方式P2,P2：14愛君騰給的是一個最無爭議的例子，因為A→B在A和B都為真時為真，在A為真B為假時為假是比較合理的。然后，在A為假時，我們無法確定A→B的真假，所以它在有些?A的世界中為真，在有些?A的世界中為假。

圖6:可能世界以及概率分配方式

因此，愛君騰對貧乏性結(jié)果的診斷如下：（[7]，第274頁）

(i)P(B|A)取決于A的世界（A為真的割集合部分）之概率如何分配，固定了P(A)和P(BA)，也就固定了P(B|A)。

(ii)任何滿足P(X)=P(B|A)的命題X，會在有些而不是全部的?A世界中為真，所以P(X)不只取決于A世界的概率如何分配，還取決于?A世界的概率如何分配。

(iii)有不同的概率分配方式，它們會同意A世界的所有分配值，但不同意?A世界的分配值。它們會同意P(A)和P(BA)是一樣的，因此，會同意P(B|A)是一樣的。而且，它們同意P(AX)是一樣的，但它們不同意P(?AX)會是一樣的。由于P(X)=P(AX)+P(?AX)，它們不同意P(X)會是一樣的。所以，有一些概率分配方式會使得P(X)?=P(B|A)。

簡言之，貧乏性結(jié)果來自于有兩種計算P(A→B)的方式，兩者卻會有相左的結(jié)果。第一種是把它等同于P(B|A)，即(SH)。第二種筆者稱之為概率總和論題，表述如下：

概率總和論題對任何條件句A→B，P(A→B)等于A→B為真的可能世界之概率總和。

而貧乏性結(jié)果所顯示的是，我們總是可以找到一種概率分配方式，使得(SH)和概率總和論題會有不一致的情況產(chǎn)生。

我們可以在本文介紹的貧乏性結(jié)果里都找得到這樣的特征，像劉易士的前兩個貧乏性結(jié)果都依賴于前提(2):

這也是意味著，A→C為真的概率等于A→C且C為真的世界之概率總和，加上A→C且?C為真的世界概率總和，也就等于A→C在它為真的世界之概率總和，但這不總是等于P(C|A)。劉易士的第三個貧乏性結(jié)果是把{C,?C}換成{C,D,...}，但意思是一樣的。至于劉易士的第四個貧乏性結(jié)果，是把A→B應(yīng)用到杰弗里的一般條件化函數(shù)，使得

這背后的想法如貝內(nèi)特所言：

如果PB(A)=0.5，對于C的新概率值會從A那里獲得一些推升……但這不是全貌?！覀兊睦硐胨伎颊咧概梢恍┬碌恼怕手到o?A（因為他對A的新概率值小于1）；如果在給定?A下，他也指派正概率值給C，他對C的全部新概率值也從這里得到推升……所以我們把這次的推升和之前的加在一起。這就是(GC)說我們應(yīng)該做的。（[5]，第66頁）

把以上引言中的A當(dāng)成C，C當(dāng)成A→C，劉易士的第四個貧乏性結(jié)果是去計算C的概率值有變化時，A→C的概率值應(yīng)該如何變化。首先去計算(A→C)∧C與(A→C)∧?C概率值之變化，再把兩者加總起來。同樣地，PC(A→C)不總是等于PC(C|A)。哈耶克的壁花論證也是去加總A→C在它為真的世界之概率值，也同樣地不總是等于P(C|A)。

因此，要避免貧乏性結(jié)果，首先，必須去確保自己的條件句概率理論和概率總和論題會有相同的結(jié)果。另外，如果我們把愛君騰的診斷中之概率換成可斷說性，也就是，把P(A→B)換成Assa(A→B)，而且又主張可斷說性總和論題—Assa(A→B)等于A→B可斷說的世界之可斷說性總和。同樣地，就一定找得到兩種計算Assa(A→B)的方式，而且兩者不相等，一樣會有貧乏性結(jié)果。下一節(jié)，筆者將論證[28]的理論如何避免貧乏性結(jié)果。

6 如何避免貧乏性結(jié)果

論文[28]中的理論雖然區(qū)分了條件句為真的概率與可斷說性，但光是做出這樣的區(qū)分還不足以避免貧乏性結(jié)果。正如劉易士所說：“并不是真和概率之間的關(guān)聯(lián)導(dǎo)致我的貧乏性結(jié)果，而只是應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)概率到條件句的概率造成的”（[19]，第304頁）。有鑒于此，亞當(dāng)斯的所采取的方式是:“我們應(yīng)該把概率不適用于條件句的復(fù)合語句當(dāng)成概率的基本限制，這和真不適用于簡單條件句是同等的”（[2]，第35頁）。要注意的是，劉易士和亞當(dāng)斯在這里會說條件句的“概率”，主要是針對當(dāng)初亞當(dāng)斯在表述亞當(dāng)斯論題時，并沒有去區(qū)分為真的概率與可斷說性，而只是用“概率”一詞來表示，他們實際上談的是“可斷說性”。換句話說，劉易士的主旨是要說，Assa這樣的函數(shù)一定要有某些規(guī)則來規(guī)范，假如Assa所依循的規(guī)則和標(biāo)準(zhǔn)概率函數(shù)P沒有兩樣，貧乏性結(jié)果還是會如影隨行。

對此，亞當(dāng)斯的策略是去限制Assa只適用于簡單條件句，使得簡單條件句以外的條件句在他的理論里是無法被討論的。因此，對所有簡單條件句A→B，和任一語句C，Assa(A→B)不能是Assa((A→B)∧C)和Assa((A→B)∧?C)的總合，因為后面兩者都是沒有定義的。換句話說，亞當(dāng)斯會否認(rèn)可斷說性總和論題，如此一來，對簡單條件句A→B來說，Assa(A→B)只有一種計算方式——P(B|A)，貧乏性結(jié)果便無所施力。

然而，哈耶克對于亞當(dāng)斯的策略提出一個質(zhì)疑。哈耶克的壁花論證顯示，條件概率函數(shù)的數(shù)量一定會多于非條件概率函數(shù)的數(shù)量，即使我們只談?wù)摵唵螚l件句。哈耶克認(rèn)為概率函數(shù)已經(jīng)足以去涵蓋所有的功能，他懷疑Assa如何能做到概率函數(shù)無法做到的事，去指引我們?nèi)绾稳ゴ蛸€條件句，他質(zhì)疑這如何可能？他要主張(AT)的人替Assa給出一個好的說明。因此，還要解決三個問題：第一，由于[28]承認(rèn)有條件句為真的概率，得確保在其概率理論下，條件句的概率計算會和概率總和論題有相同的結(jié)果。第二，[28]的可斷說性理論在簡單條件句時，可以像亞當(dāng)斯那樣否認(rèn)可斷說性總和論題，但他得說明Assa的角色來響應(yīng)哈耶克的質(zhì)疑，說明我們?yōu)楹涡枰怕屎瘮?shù)之外的可斷說性函數(shù)。第三，[28]的可斷說性理論還可以應(yīng)用到到簡單條件句以外，如何證明那不會有貧乏性結(jié)果？

在[28]對條件句的概率理論下，P(A→C)會等于P(AC)。由于[28]是把經(jīng)典概率擴充到可以處理三值語句，讓概率空間多了“沒有真假”的情況，那么，對A→C和C這兩個語句來說，我們都得考慮A→C分別在C為真的世界(C),C為假的世界(?C),C沒有真假的世界(∽C)中的概率值。因此，依照概率總和論題，[28]應(yīng)該要有類似劉易士的(2)的等式：

若(2**)最后的結(jié)果不等于P(AC)，則[28]的條件句概率理論就會有貧乏性結(jié)果。幸好，對該理論而言，會有以下的結(jié)果：

因此，[28]的理論不像劉易士的結(jié)果(3)那樣，使得條件句的概率和概率總和論題有不同的結(jié)果。不過，我們還是會質(zhì)疑說，這很有可能是由于C是A→C的后件，才會得到(3**)這個結(jié)果，假如把C換成其它語句，(3**)就有可能不會成立。

現(xiàn)在，對任何條件句A→C和語句B而言，我們會有以下的式子：

接著，我們可以得到：

（?：根據(jù)定理（[28]，第41頁）：P(A)=P(AB)+P(A?B)+P(A∽B)）所以，[28]可以解決第一個問題，該理論中條件句之概率計算會和概率總和論題有相同的結(jié)果。

接著，讓我們來檢視[28]對可斷說性的計算方式。其中，對于可斷說的想法源自于麥克德莫特（[22]）：

這樣的結(jié)果之一是，Assa在對任何二值語句分配可斷說值時，會和概率函數(shù)給出相同的值。因為對任何二值語句φ而言，P(φ有真假值)=1，所以，

接著，當(dāng)Assa所面對的是簡單條件句φ→ψ時，Assa會去條件化φ→ψ有真假值的情況，也就是去條件化φ，因此

至于其它更復(fù)雜的語句之可斷說性，有以下的定理（[28]，第43–45頁）：

定理2.Assa(A→(B→C))=P(ABC)/[P(ABC)+P(AB?C)]。

定理3.Assa((A→B)∧C)=P(ABC)/[P(ABC)+P((A∧?B)∨?C)]。

定理4.Assa((A→B)∨C)=P((A∧B)∨C)/[P((A∧B)∨C)+P(A?B?C)]。

我們可以看到，定理2–4涵蓋了非條件句和簡單條件句以外的語句。

至于一個否定句，我們可以很簡單地依據(jù)定義而得到以下的定理：

定理 5.Assa(?φ)=1?Assa(φ)。

所以，對于條件句和其它邏輯運算符形式的復(fù)合語句，都有明確的計算方式，并且被概率值所決定。當(dāng)語句的概率值都有唯一的結(jié)果時，可斷說值也會是唯一的，換句話說，在[28]的理論下，只要語句的概率值沒有貧乏性結(jié)果，它的可斷說值也就不會有貧乏性結(jié)果。所以，第三個問題也可以得到[28]的理論回應(yīng)。

然而，[28]沒有說清楚他使用的概率函數(shù)和可斷說性函數(shù)之間有一個重要而根本的差異，而筆者認(rèn)為這個差異可以讓我們以另一個角度來診斷貧乏性結(jié)果的根源。以哈耶克用的術(shù)語來說，[28]所使用的概率函數(shù)是一種非條件概率函數(shù)，而他使用的可斷說性函數(shù)是一種條件概率函數(shù)，筆者建議我們用一元概率函數(shù)和二元概率函數(shù)來做區(qū)分。一元概率函數(shù)是對單獨的一個語句分配概率值，二元概率函數(shù)則是對兩個語句的序?qū)Ψ峙涓怕手?。史東內(nèi)克（[26]）當(dāng)初在論證(SH)時便使用這兩種不同的概率函數(shù)，他試圖論證一元概率函數(shù)對條件句A→B所分配的概率值，會等于二元概率函數(shù)對(B,A)所分配的概率值，15關(guān)于此點，[28]（第7–9頁）曾做過詳盡的討論。正是這個錯誤的想法產(chǎn)生了貧乏性結(jié)果。

劉易士論證的是，一元概率函數(shù)對φ→ψ所分配的概率值，并不總是等于二元概率函數(shù)對(ψ,φ)所分配的概率值。哈耶克的壁花論證則進一步告訴我們這背后的理由是，二元概率函數(shù)所能分配的概率值，會遠遠多于一元概率函數(shù)能分配的概率值。所以，每當(dāng)二元概率函數(shù)對語句序?qū)?B,A)分配概率值x時，我們就可以建構(gòu)出A→B這個條件句；但很有可能無法回頭找到一個一元概率函數(shù)，使得它會對A→B給出同樣的x值。哈耶克要我們注意的是，無論我們?nèi)绾谓庾x亞當(dāng)斯論題P?(A→B)=P(B|A)中的P?，只要認(rèn)為P?是一元的分配函數(shù)（無論你稱它為“概率”函數(shù)或是“可斷說性”函數(shù)，或者主張A→B只能是簡單條件句），都會成為壁花論證攻擊的目標(biāo)。因為，一元函數(shù)P?對A→B給出的值，不會總是等于與之相對應(yīng)的（二元）條件概率函數(shù)所給出的值。因此，哈耶克才說說：“更令人吃驚的是，簡單條件句的可斷說性會和條件概率并駕齊驅(qū)”（[11]，第158頁）。

雖然Assa看起來像是直接在對一個語句分配可斷說值，但它實質(zhì)上是一個二元概率函數(shù)。對任何語句φ而言，Assa是對(φ為真,φ有真假值)去分配概率值，并把這個值視為是語句的可斷說值。為了更加厘清此點，讓筆者從另一個角度來分析Assa和一元概率函數(shù)間的不同。我們可以看到，劉易士、史東內(nèi)克和哈耶克在看待語句S的概率時，都是從S為真的世界所分配到的概率值加總而來，而每一個世界所分配的概率值，實質(zhì)上都是從一元概率函數(shù)而來，因為每一個世界的概率值，就是所有那個世界為真的語句所形成的連言句為真之概率。這也是為何一元概率函數(shù)對每個語句的分配值必須符合概率總和論題，因為語句S是它為真的世界之集合，因此，S為真的概率是它為真的世界之概率總和。然而，可斷說性函數(shù)沒有這樣的特性，可斷說性函數(shù)是在語句的概率值被分配之后，再去條件化語句的概率值來得到可斷說值，換句話說，可斷說函數(shù)沒有對世界分配可斷說值，所以可斷說性函數(shù)不會有可斷說性總和論題。

簡言之，一元概率函數(shù)對語句所分配的概率值，來基于它對世界所分配的概率值加總而來；二元概率函數(shù)對語所句分配的值，是去條件化一元概率函數(shù)的概率值而來，而不是來自于它對世界分配了可斷說值加總而來。因此，筆者認(rèn)為[28]要避免貧乏性結(jié)果的重要關(guān)鍵在于，要去明確地區(qū)分一元概率函數(shù)和二元概率函數(shù)這兩者之間的不同。

哈耶克也許已了解到這樣的區(qū)分可以繞過貧乏性結(jié)果的攻擊，不過他質(zhì)疑我們需要可斷說性這樣的條件概率函數(shù)，哈耶克堅持的是，非條件概率函數(shù)就足以幫助我們?nèi)ゴ蛸€條件句，條件句不需要可斷說性這種二元函數(shù)（[11]，第157頁）。遺憾的是，哈耶克并沒有具體指出光憑非條件概率函數(shù)，如何幫助我們?nèi)ゴ蛸€條件句。而[28]則是試圖論證二元概率函數(shù)才能幫助我們理解如何去打賭條件句，我們可以把Assa視為是某種特別的條件概率函數(shù)，它把語句沒有真假的世界之概率值照比例分配給該語句有真假值的世界，以這樣的方式幫助我們得到打賭語句的公平賭率。

論文[28]論證了在計算語句的公平賭率時，我們是去衡量該下多大的賭注，對二值語句來說，我們能夠拿回賭注的機會只有贏的時候，所以我們可以將公平賭率等同于贏的概率，也就是它為真的概率?？墒牵瑢τ诖蛸€條件句來說，當(dāng)它沒有真假時，我們也可以拿回賭注，但這并不是我們“贏”的情況，因此這部分的概率值不能納入為真的概率。正如貧乏性結(jié)果給我們的教訓(xùn)，在處理和條件句相關(guān)的語句時，不要把Assa這樣的條件概率函數(shù)當(dāng)做是指派語句為真的概率。條件概率被視為打賭簡單條件句的依據(jù)得到不少人的支持（[8,16,23–25]），本文支持的(AT)是基于打賭簡單條件句的方式，顯示條件概率能指引我們?nèi)ゴ蛸€條件句，這說明了為何條件概率會在條件句上扮演如此重要的角色。

7 結(jié)語

亞當(dāng)斯論題似乎攫取到條件句中一個相當(dāng)重要的面向，但由于貧乏性結(jié)果，我們在解讀亞當(dāng)斯論題時要非常小心，以免有類似的結(jié)果。一個支持A→B有真假值的人，得支持概率總和論題而去駁斥(SH)，但這不代表他得去駁斥亞當(dāng)斯論題。本文支持[28]為亞當(dāng)斯論題提出的解讀，主張亞當(dāng)斯論題應(yīng)該被理解為(AT)：簡單條件句A→B的可斷說等于條件概率P(B|A)。并詳細(xì)地說明這樣的解讀如何避免貧乏性結(jié)果，不同于亞當(dāng)斯，筆者論證這樣的解讀不需要去否認(rèn)條件句有真假值，這顯示條件句有真假值和亞當(dāng)斯論題并不是互相沖突的立場。這樣的進路也不同于蘇慶輝（[29]），不需要舍棄經(jīng)典概率去避免貧乏性結(jié)果。16[28]中對條件句的理論雖然是三值語意論，但其中對條件句的概率之定義最終是化約到經(jīng)典概率理論，使得經(jīng)典概率理論可以去處理像條件句這樣的三值語句。

如筆者在第二節(jié)指出，本文之所以討論愛君騰和哈耶克對貧乏性結(jié)果的診斷是因為意識到，光是各別地去解決劉易士的四個貧乏性結(jié)果（或其它后繼者的貧乏性結(jié)果）并無法全面性的解決貧乏性結(jié)果，還是會讓人懷疑有不同的方法可以導(dǎo)出類似的結(jié)果。如近年來反對貧乏性結(jié)果的研究主要是針對劉易士的證明，如培根（Andrew Bacon）、何曼斯（Ronnie Hermens）和科祖克漢（Theodore Korzukhin）都想從脈絡(luò)的角度下去質(zhì)疑劉易士四個貧乏性結(jié)果所做的預(yù)設(shè)（[4,12,18]），但他們都無法提出一個全面性的說法來證明條件句的機率一定會等于條件機率。例如，培根主張在脈絡(luò)主義下，條件句的機率需要考慮兩個證據(jù)，第一種證據(jù)是決定當(dāng)前談話的脈絡(luò)下條件句所代表的命題；第二種證據(jù)是在決定我們?nèi)绾闻袛噙@個條件句命題的機率。培根所主張的是“當(dāng)這兩個證據(jù)等同時，條件句的機率和條件機率會相符”（[4]，第134頁）。何曼斯則是對路易斯的條件化函數(shù)提出許多反對，指出路易斯的條件化函數(shù)有些不合理的地方。他也對哈耶克的論證提出類似的質(zhì)疑，并試圖引進脈絡(luò)的概念去找到一個好的條件化函數(shù)，使得它在滿足史東內(nèi)克假說的條件下，能滿足一些合理的限制。

這樣的進路雖然讓史東內(nèi)克假說在脈絡(luò)主義下稍微獲得喘息的空間，但仍無法完全擺脫貧乏性結(jié)果的陰影。因為，愛君騰和哈耶克的診斷所強調(diào)的是，用條件機率來定義一個命題為真的機率是很有問題的，這樣的問題來自于條件機率本身所具有的特性，使得它似乎無法用來定義特定一個命題（不管是不是條件句）為真的機率。而這似乎是和脈絡(luò)無關(guān)的，也和采取何種條件化函數(shù)無關(guān)，而是一個更根本的機率哲學(xué)問題，這才使得貧乏性結(jié)果對亞當(dāng)斯論題和史東內(nèi)克假說造成極大的難題。

有鑒于此，筆者認(rèn)為一個更好的進路是對條件機率函數(shù)提出實質(zhì)的說法，說明它為何會在條件句中扮演如此重要的角色，才能讓我們對貧乏性結(jié)果毫無懸念。[28]對亞當(dāng)斯論題的解讀立基于三值語意學(xué)和打賭條件句的方式，試圖提出一個一致性的概率理論與可斷說性理論，但還是沒清楚說明如何避免貧乏性結(jié)果。本文解決的方式是針對市面上的貧乏性結(jié)果找出共同的根源，論證[28]中的說法在進一步的厘清后，的確可以解決目前的困境，而且筆者提出的方法也可以適用于類似的理論。

然而，未來會不會有更精妙的貧乏性結(jié)果出現(xiàn)呢？筆者不敢保證。筆者想要強調(diào)的是，把條件句視為三值語句這個選項長久以來被忽略，也缺乏一個系統(tǒng)性的理論，這使得[28]這樣的結(jié)合有許多細(xì)節(jié)仍需更進一步地討論。筆者論證至少在貧乏性結(jié)果這一塊拚圖上，[28]的理論就目前看來是可行的，因此認(rèn)為這是一個值得發(fā)展的方向。至于貧乏性以外的結(jié)果，并不在本文討論的范圍之內(nèi)，筆者也無法在此做更進一步地評論。所以，筆者結(jié)論，就現(xiàn)今來說，(AT)是亞當(dāng)斯論題最佳的解讀，使得條件句有真假值與亞當(dāng)斯論題可以并存不悖。

附錄