二次函數(shù)攻略

焦倩玉

函數(shù)是數(shù)學(xué)中極為重要的基本概念，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要知識點.二次函數(shù)是一種重要的代數(shù)函數(shù)，是描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，也是中考的常見考點.同學(xué)們應(yīng)能結(jié)合具體情境體會和理解二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定它們的表達式，會畫它們的圖像，能結(jié)合圖像討論二次函數(shù)的性質(zhì)，確定圖像的頂點和對稱軸，并能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題.

考點一 運用二次函數(shù)解決最值問題

例1 （2018·遼寧錦州）某商場銷售一種商品，進價為每個20元，規(guī)定每個商品售價不低于進價，且不高于60元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（個）與每個商品的售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下所示：

每個商品的售價x（元）每天的銷售量y（個）… …30 40 50 100 80 60… …

（1）求y與x之間的函數(shù)表達式.

（2）設(shè)商場每天獲得的總利潤為w（元），求w與x之間的函數(shù)表達式.

（3）不考慮其他因素，當(dāng)商品的售價為多少元時，商場每天獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？

【解析】根據(jù)函數(shù)表達式求二次函數(shù)的最ax2+bx+c有最大（?。┲祮栴}情境下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍不一定是全體實數(shù)，所對應(yīng)的圖像也可能是拋物線的一部分.

解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+

即y與x之間的函數(shù)表達式是y=-2x+160.

（2）由題意可得，w=（x-20）（-2x+160）=-2x2+200x-3200.

即w與x之間的函數(shù)表達式是w=-2x2+200x-3200.

（3）∵w=-2x2+200x-3200=-2（x-50）2+1800，20≤x≤60，

∴當(dāng)20≤x≤50時，w隨x的增大而增大.

當(dāng)50≤x≤60時，w隨x的增大而減小.

當(dāng)x=50時，w取得最大值，此時w=1800元.

即當(dāng)商品的售價為50元時，商場每天獲得的總利潤最大，最大利潤是1800元.

考點二 用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式

例2 （2016·江蘇南京）下圖是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m.從O，A兩處觀測P處，仰角分別為α，β，且.以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

（1）求點P的坐標(biāo).

【解析】用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式通常有兩種方式：①設(shè)為一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②設(shè)為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.要根據(jù)題目已知條件選擇合適的表達式.若函數(shù)圖像對稱軸為y軸，則一般式中的b=0；若函數(shù)圖像經(jīng)過原點，則一般式中的c=0；若已知頂點，則優(yōu)先考慮頂點式.

解：（1）過點P作PB⊥x軸于B.設(shè)點P的縱坐標(biāo)為t，則PB=t.

（2）設(shè)這條拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx.

x2-x1=（2+ 2）-（2- 2）=22 ≈2.8m

答：水面上升1m，水面寬2.8m.

考點三 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例3（2017·江蘇南京）已知函數(shù)y=-x2+（m-1）x+m（m為常數(shù)）.

（1）該函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.1或2

提素質(zhì)、強能力，創(chuàng)新人才工作新機制。一直以來西南銅業(yè)公司黨委匡正選人用人風(fēng)氣，完善選人用人機制，堅持嚴(yán)管和厚愛結(jié)合、激勵和約束并重，優(yōu)化干部考核評價機制。抓好各級干部的領(lǐng)導(dǎo)、監(jiān)管、屬地和執(zhí)行責(zé)任，提升黨政共融，黨務(wù)干部要抓安全、懂生產(chǎn)、謀經(jīng)營，行政干部要講政治、會黨建、抓文化。完善激勵機制和容錯糾錯機制。開展好選人用人制度修訂、培訓(xùn)及考核、中層管理人員畫像、后備干部選拔等工作。堅持黨管人才原則，推進員工人才成長體系建設(shè)，明晰各條人才通道的晉升、考核、退出、流動機制，為培養(yǎng)公司“素質(zhì)優(yōu)良、結(jié)構(gòu)合理、隊伍穩(wěn)定”的員工隊伍打下扎實基礎(chǔ)。

（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖像上.

（3）當(dāng)-2≤m≤3時，求該函數(shù)的圖像的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍.

解：（1）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

∴b2-4ac=（m-1）2-4×（-1）×m=m2+2m+1=（m+1）2≥0.

∴該函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù)為1或2，故選D.

（2）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

故該二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為：

∴不論m為何值，該函數(shù)的圖像的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖像上.

當(dāng)m＜-1時，z隨m的增大而減??；當(dāng)m＞-1時，z隨m的增大而增大.

∴當(dāng)-2≤m≤3時，該函數(shù)的圖像的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍是0≤z≤4.

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），它的頂同學(xué)們應(yīng)能夠熟練畫出二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像研究它們的性質(zhì).在實際問題中，可根據(jù)二次項系數(shù)的正負(fù)性、函數(shù)圖像的開口方向不同，判斷在自變量的取值范圍內(nèi)所對應(yīng)的函數(shù)的取值范圍，從而解決最值問題.