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    用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考

    2018-12-26 01:30:56戴回娟
    初中生世界 2018年48期
    關(guān)鍵詞:類比法根式反比例

    ■戴回娟

    “類比”是“一種推理方法,根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似,做出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論。類比推理是一種或然性的推理,其結(jié)論是否正確還有待實(shí)踐證明”。“類比”也是一種非常重要的學(xué)習(xí)與研究方法,數(shù)學(xué)上許多結(jié)論或者研究方法都是通過類比得到的。類比的結(jié)論不一定正確,需要通過實(shí)踐或邏輯推理來檢驗(yàn)其正確性?;诖?,利用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)是一種行之有效的方法,既能引導(dǎo)學(xué)生掌握一種思維方式,又能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?。類比法教學(xué)必須基于學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)、在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。本文擬通過幾個(gè)案例,談?wù)劺谩邦惐确ā遍_展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考。

    一、用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐

    “類比法”在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛。在教授新知識時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生找到類比源,從數(shù)學(xué)本質(zhì)特征上進(jìn)行類比,可以從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式上進(jìn)行類比,也可以從研究路徑策略上進(jìn)行類比,還可以從數(shù)學(xué)思想方法上類比。

    1.從數(shù)學(xué)本質(zhì)特征上類比。

    案例1 反比例函數(shù)教學(xué)

    這是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第11章的內(nèi)容。教材通過幾個(gè)具體的問題情境,列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而給出定義:一般地,形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫作反比例函數(shù)。

    顯然,反比例函數(shù)概念的引入是基于學(xué)生的兩個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ):(1)小學(xué)的“反比例”概念。蘇科版小學(xué)六年級下冊“反比例”一章,先通過實(shí)例得到“單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量,單價(jià)變化,數(shù)量也隨之變化,當(dāng)單價(jià)和數(shù)量的積是一定(也就是總價(jià)一定)時(shí),筆記本的單價(jià)和購買的數(shù)量成反比例關(guān)系”。進(jìn)而給出反比例的概念:“如果用x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的積,反比例關(guān)系可以用下面的式子表示:xy=k(一定)”。(2)函數(shù)概念。在八年級上冊學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念,“反比例函數(shù)”這一章從學(xué)生的已有知識出發(fā):對于y=k為常數(shù),k≠0)而言,一是有x、y兩個(gè)變量,對于變量x的每一個(gè)確定的值,變量y都有唯一確定的值與x對應(yīng),故y是x的函數(shù);二是將y=k為常數(shù),k≠0)變形為xy=k(k為常數(shù)),即兩個(gè)變量x、y的積為定值k,符合小學(xué)反比例關(guān)系的本質(zhì)特征。因此,由類比“反比例”和“函數(shù)”這兩個(gè)概念的本質(zhì)特征,順理成章得到“反比例函數(shù)”的概念。

    2.從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式上類比。

    案例2 二次根式= ||a的教學(xué)

    盡管課程標(biāo)準(zhǔn)中明確了“運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算,根號下僅限于數(shù)”,但就而言,其相關(guān)意義應(yīng)該要求學(xué)生掌握,而這恰恰是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教學(xué)中,可從根式的結(jié)構(gòu)形式上采用類比法進(jìn)行教學(xué)。

    活動(dòng)一學(xué)生自主練習(xí):計(jì)算,,。

    活動(dòng)二請舉出類似的例子并計(jì)算,能否舉出所有這樣的例子?怎么辦?學(xué)生們?nèi)菀紫氲?a2,并類比a為具體數(shù)的結(jié)論得到= | a|。

    活動(dòng)三計(jì)算

    通過分別列舉x<0、x<y、x<2等反例,讓學(xué)生得出二次根式的意義= | a|,進(jìn)而得出如下結(jié)論:①被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù);②二次根式不可能是負(fù)數(shù)。

    這里就是由二次根式中被開方數(shù)為“數(shù)”的結(jié)構(gòu)形式,類比得到了被開方數(shù)是“式”的結(jié)構(gòu)形式,被開方數(shù)為“數(shù)”中的“數(shù)”和結(jié)果的符號是顯性的,而被開方數(shù)為“字母”或“式子”的符號可能為負(fù),是隱性,這是問題的關(guān)鍵。進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)到:通過類比結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)要注意二者之間的差異性。

    3.從研究路徑策略上類比。

    案例3 矩形的教學(xué)

    這是蘇科版八年級下冊第9章繼平行四邊形之后的內(nèi)容。我們知道,平行四邊形研究的路徑是:

    在小學(xué)將矩形稱為長方形,其研究路徑、策略與平行四邊形的研究路徑、策略一樣。教學(xué)中,可啟發(fā)學(xué)生回憶平行四邊形的研究路徑與策略,進(jìn)而類比出矩形的研究路徑策略。故引入過程可這樣設(shè)計(jì):

    (1)通過現(xiàn)實(shí)生活的情境直接呈現(xiàn)圖形;

    (2)提出問題:你認(rèn)為這種圖形應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行研究?學(xué)生可能得出“從定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用四個(gè)方面研究”;

    (3)你怎么知道按照這樣的路徑研究的?學(xué)生自然會(huì)類比聯(lián)想平行四邊形的學(xué)習(xí),得到矩形的研究路徑。

    這種類比教學(xué)就是研究路徑與策略的類比。

    4.從數(shù)學(xué)思想方法上類比。

    用數(shù)學(xué)思想方法支配解題活動(dòng),解題就會(huì)有章可循。數(shù)學(xué)思想方法總是成類出現(xiàn),利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行類比法教學(xué),對提升學(xué)生解題能力具有較大的作用。

    案例4 關(guān)于一類二元一次方程組解法教學(xué)

    這是通過數(shù)學(xué)思想方法的類比進(jìn)行的教學(xué),這樣的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生印象深刻,更有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西。

    二、用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

    誠然,“類比法”是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)方法與策略,也是不可或缺的學(xué)習(xí)與研究方法。但用類比法開展教學(xué)必須特別注意兩點(diǎn):一是關(guān)注當(dāng)前問題、結(jié)論與源問題的條件、結(jié)論的差異性;二是關(guān)注類比得到結(jié)論的或然性。

    1.不能忽視當(dāng)前問題與源問題的差異性。

    為什么需要類比?正是因?yàn)楫?dāng)前問題與源問題具有差異性,才有必要“類比”。如果沒有差異性,屬于同一(或同質(zhì))問題,就沒有“類比”的必要性。因此,我們在根據(jù)當(dāng)前問題與源問題的某些相似性進(jìn)行類比結(jié)論時(shí),要由問題的差異性得出結(jié)論的差異性。如研究一元一次不等式時(shí)可類比一元一次方程,但不能忽視“等式”與“不等式”的差異,兩邊同乘(或除以)一個(gè)數(shù)(或式)時(shí),方程只要考慮這個(gè)數(shù)(或式)不等于0即可,而不等式則要考慮這個(gè)數(shù)(或式)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),因?yàn)檫@影響到不等號的方向是否改變的問題。

    2.高度關(guān)注類比所得到結(jié)論的或然性。

    類比得到的結(jié)論不一定正確,需要證實(shí)或證偽。例如:類比“全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等”,得到“全等三角形對應(yīng)邊上的高相等”,這其實(shí)是真命題,但只有通過嚴(yán)密的演繹推理,才能確認(rèn)其正確性。再比如:由=3、等很容易類比得到=a。這個(gè)結(jié)論正確嗎?顯然,當(dāng)a<0時(shí)結(jié)論不正確。

    因此,作為數(shù)學(xué)教師,一是要多用類比的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué);二是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用類比的方法研究數(shù)學(xué)對象;三是要通過具體案例讓學(xué)生認(rèn)識到:用類比的方法研究問題時(shí),注意關(guān)注當(dāng)前問題與源問題的差異性、類比的結(jié)論具有或然性。

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