桿環(huán)共同約束下小球的運動規(guī)律探析

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300)(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

1 引言

在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，筆者常常遇到這樣一類較難的桿、環(huán)共同約束下的小球運動問題：

D．小球a從靜止運動至圓環(huán)最低點過程中，輕桿對小球a先做負(fù)功后做正功

圖1 例題題圖

2 題目評價

(1)全方位考察了學(xué)生對力學(xué)綜合知識的掌握和應(yīng)用

通過對以上題目的分析可知，該題綜合性很強(qiáng)，涉及到了功能關(guān)系，運動和力之間的關(guān)系，機(jī)械能守恒定律等重要力學(xué)知識點.要求學(xué)生對于以上知識點的概念、規(guī)律理解深刻，運用熟練，若作為選擇題的最后一題具有很好的區(qū)分度.

(2)能體現(xiàn)出編題者對高考關(guān)于能力考察要求的深刻理解和應(yīng)用

該題充分體現(xiàn)了高考模擬考試對于考生的理解能力、邏輯推理能力、綜合分析能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理的計算能力的考察，目標(biāo)向高考看齊.選項中從定性、定量、最值、排除法4個緯度來設(shè)置疑問，需要學(xué)生具備全面的物理知識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治瞿芰?，對學(xué)生的能力要求極高，應(yīng)該說是一道好題.

(3)似乎有超綱嫌疑

連接體問題是高考乃至各地模擬試題都喜歡挖掘的題材，越來越多的被各地高考命題組專家、模擬試題命題小組所青睞，然而本題有些選項似乎難度較大，應(yīng)該是一道大學(xué)理論力學(xué)試題，有超綱嫌疑，尤其是小球加速度的大小問題是用到桿、環(huán)約束關(guān)系，甚至達(dá)到了競賽的層次要求.

3 學(xué)生解題中的合理思維

由于學(xué)生對D選項的考慮理由也不夠充分，帶有猜測的成分，另外C選項又不能使用高中物理知識處理，因為是排除法，所以弱化了對C選項小球a加速度的考查，使得這道題目美中不足，留下缺憾.

為此，筆者從大學(xué)理論力學(xué)的角度和仿真物理實驗兩個手段結(jié)合給出定量分析.

4 理論定量分析

4.1 速度、動能定量分析

在小球a,b運動的任意時刻，va,vb與輕桿(或延長線)的夾角均為45°，由于輕桿不可伸長，故小球a,b沿桿方向速度相同.

故

vacos 45°=vbsin 45°

(1)

即

va=vb

(2)

如圖2所示，設(shè)小球a運動位置與圓心的連線與水平半徑的夾角為θ.

圖2 小球a運動中

對小球a,b與輕桿組成的系統(tǒng)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得

mgRsinθ-mgR(1-cosθ)=

(3)

由式(2)、(3)得

(4)

取g=10 m/s2，m=1 kg，R=20 m.代入式(4)得

100(sinθ+cosθ-1)=

(5)

(6)

作圖如圖3所示.

圖3 f(x)圖像1

(7)

即

(8)

代入數(shù)據(jù)得

(9)

作圖如圖4所示.

圖4 f(x)圖像2

vamax=vbmax=

(10)

與圖4十分吻合.

利用“仿真物理實驗”作出小球速度大小隨時間的變化規(guī)律圖像，如圖5和圖6所示.

圖5 仿真物理實驗

圖6 |v|-t圖

理論與實驗結(jié)果一致.

4.2 加速度定量分析

4.2.1 切向加速度定量分析

式(7)對時間求導(dǎo)得

(11)

整理可得

(12)

(13)

由式(12)、(13)可得小球a的切向加速度

(14)

代入數(shù)據(jù)得

(15)

作圖：

圖7 f(x)圖像3

4.2.2 向心加速度定量分析

由式(8)可知

(16)

代入數(shù)據(jù)得

an=10(sinθ+cosθ-1)=

(17)

作圖如圖8所示.

圖8 f(x)圖像4

4.2.3 小球合加速度定量分析

任意時刻小球a的合加速度為

(18)

代入數(shù)據(jù)得

aa合=

(19)

令

(20)

即

2(sinθ+cosθ-1)(cosθ-sinθ)=0

(21)

整理可得

(22)

(23)

(24)

式(23)可得

tanθ1=1

(25)

式(24)可得

(26)

(27)

即

(28)

(29)

因此可得結(jié)論.

(30)

(31)

(32)

作小球a的合加速度圖,如圖9所示.

圖9 小球a的合加速度圖像

圖10 圖9的精細(xì)放大圖

利用“仿真物理實驗”輸出加速度的大小隨時間變化的圖像,如圖11所示.

圖11 |a|-t圖

理論與實驗很吻合.

4.3 輕桿受作用力定量分析

如圖12所示，小球a切線方向動力學(xué)方程為

mgcosθ-Fcos 45°=maa

(33)

由式(14)、(33)整理可得

(34)

代入數(shù)據(jù)得

(35)

圖12 小球運動及受力情況

作圖如圖13所示.

圖13 f(x)圖像5

實際上小球b的速度、動能、加速度、輕桿對其作用力變化規(guī)律與小球a一模一樣.

5 結(jié)束語

桿、環(huán)共同約束下小球的運動對高中物理來說較難分析其運動規(guī)律，筆者認(rèn)為，如果教師能夠鉆研該運動模型，熟知其中的理論力學(xué)規(guī)律，在高中物理知識能夠處理的范圍內(nèi)帶著規(guī)律結(jié)果對學(xué)生進(jìn)行定性和適當(dāng)定量計算方面的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的定性分析能力和邏輯推理能力，對于提高高效物理課堂教學(xué)是行之有效的；當(dāng)然，有興趣的讀者也可以設(shè)兩小球的質(zhì)量不相等，釋放點也可以從圓環(huán)最高點或其他位置釋放，桿的長度可以調(diào)節(jié)等角度去研究，相信可以得到很多有意思的規(guī)律.