一類二階哈密頓系統(tǒng)的多重周期解*

孫 旸，張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

考慮二階哈密頓系統(tǒng)

(1)

其中T為正常數(shù).假設(shè)位勢函數(shù)F:[0,T]×RN→R滿足:

(H0)對于?x∈RN，F(xiàn)(t,x)關(guān)于變量t可測；對于a.e.t∈[0,T]，F(xiàn)(t,x)關(guān)于變量x連續(xù)可微，且存在函數(shù)a∈C(R+，R+)和b∈L1([0,T];R+)，使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t)，|F(t,x)|≤a(|x|)b(t).

{非線性哈密頓系統(tǒng)研究一直是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的熱點課題，天體運動所對應(yīng)的一些數(shù)學(xué)模型也可以轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)的周期邊值問題.1989年，J Mawhin等[1]討論了二階哈密頓系統(tǒng)的變分結(jié)構(gòu)，并得到一系列可解性條件.隨后，許多學(xué)者研究了二階哈密頓系統(tǒng)周期解、次調(diào)和解和同宿軌的存在性.特別地，當具有線性增長非線性項，即存在函數(shù)f,g∈L1([0,T];R+)，使得

|F(t,x)|≤f(t)|x|+g(t)，

(2)

對于a.e.t∈[0,T]和?x∈RN成立時，學(xué)者們[2-10]利用臨界點理論探討了二階哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性.筆者擬用一類控制函數(shù)w(|x|)替換(2)式中的|x|，從而推廣文獻[2-10]中的結(jié)果.

1 假設(shè)與主要結(jié)果

假設(shè)以下條件成立:

(H1)存在常數(shù)Mi(i=0，1，2)和非負函數(shù)ω∈C([0,+∞),[0,+∞))，滿足：(ⅰ)ω(s)≤ω(t)，?s≤t，s,t∈[0,+∞)；(ⅱ)ω(s+t)≤M0(ω(s)+ω(t))，?s,t∈[0,+∞)；(ⅲ)0≤ω(s)≤M1s+M2，?s,t∈[0,+∞)；(ⅴ)當s→+∞時，ω(s)→+∞.

|F(t,x)|≤f(t)ω(|x|)+g(t)，

(3)

對于a.e.t∈[0,T]和?x∈RN成立.

(H3)

(4)

對于a.e.t∈[0,T]和x∈span{er+1,er+2,…,eN}成立，{ei}為RN中的標準基.

(H4)位勢函數(shù)F(t,x)關(guān)于xi(1≤i≤r≤N)是Ti-周期的，即

(5)

對于a.e.t∈[0,T]和?x∈RN成立，其中{ei}為RN中的標準基.

注1易知當控制函數(shù)ω(|x|)=|x|時，(H2)退化為線性增長條件，即(2)式.

(5)式中，當r=N時，稱位勢函數(shù)F(t,x)是周期的；當0≤r

其中β(t)∈L1([0,T];R+)，則F(t,x)滿足定理1的所有條件，但不滿足文獻[1-10]中定理的條件.

2 預(yù)備知識

(6)

(7)

引理1[1]設(shè)X是巴納赫空間，G是X上的離散子群.若泛函φ∈C1(X,R)有下界且G-不變，φ在X上滿足(PS)G條件且r=dim(spanG)<+∞，則φ在X上至少有r+1個不同的臨界點.

3 主要結(jié)果的證明

定理1的證明由條件(H1)，對于s∈[0,1]，有

(8)

由(6)—(8)式，有

(9)

從而，由(9)式可得

(10)

由(10)式，有

(11)