淺談中心極限定理的性質(zhì)極其應(yīng)用

沈逸飛

摘要：中心極限定理在現(xiàn)代概率論中已經(jīng)起到了非常重要的作用，本文對(duì)三種常見的中心極限定理進(jìn)行了簡要的介紹，并通過實(shí)際問題的舉例對(duì)定理的應(yīng)用進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：概率；中心極限定理；應(yīng)用

1.概率論與中心極限定理

對(duì)于概率論這一理論而言，其最早是由兩個(gè)著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬以及帕斯卡所提出的。近些年來，伴隨著越來越多的數(shù)學(xué)家的不斷研究，這一理論已經(jīng)變成了數(shù)學(xué)理論中的一個(gè)獨(dú)立的分支了。不同于其他學(xué)科，概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)科所得到的結(jié)果不是必然的，這門學(xué)科主要是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象所具有的規(guī)律進(jìn)行一個(gè)解釋。由于現(xiàn)實(shí)生活里面大量的事物均是持續(xù)變化發(fā)展的，對(duì)于事物所產(chǎn)生的結(jié)果，我們并沒有辦法進(jìn)行完全的掌控，因此對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)而言，其條件和結(jié)果兩者間也不是存在著必然的聯(lián)系的，一般情況下，對(duì)于一個(gè)概率命題而言，其有可能出現(xiàn)A結(jié)果，同樣也有能出現(xiàn)B結(jié)果。對(duì)于我們而言，不但要針對(duì)于概率命題進(jìn)行一個(gè)精準(zhǔn)的計(jì)算，并且還應(yīng)該擁有分析實(shí)際問題的能力。在概率論里面有一個(gè)重要的定理就是中心極限定理，針對(duì)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及誤差分析理論而言，中心極限定理是其基礎(chǔ)。目前這一理論具有很廣泛的應(yīng)用前景，特別是對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，這一理論的運(yùn)用在企業(yè)進(jìn)行相關(guān)決策時(shí)有著很重要的作用。

2.三種中心極限定理的簡述

2.1林德貝格-勒維中心極限定理

定理1：這里現(xiàn)在假設(shè) 為一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序

列的集合，同時(shí) 并且記：

那么對(duì)于實(shí)數(shù)y，則：

這一定理是由兩個(gè)著名的數(shù)學(xué)家勒維以及林德貝格分別于1920年所提出來的，這一定理其告知我們針對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列而言，它的共同部分既能夠?yàn)檫B續(xù)分布的，同樣也能夠?yàn)殡x散分布的，能夠?yàn)檎龖B(tài)分布的，同樣也能夠?yàn)榉钦龖B(tài)分布的，只要是這個(gè)序列的共同分布存在著方差，同時(shí)這個(gè)方差的數(shù)值不是0，那么就能夠?qū)@個(gè)定理進(jìn)行使用。

這個(gè)定理也可以這樣理解：即當(dāng)n的數(shù)值充分大的時(shí)候，能夠通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)和有關(guān)事件的概率大小進(jìn)行計(jì)算，但是在n的數(shù)值相對(duì)較小的時(shí)候，便不能夠確保這種近似程度了。因此在

的時(shí)候，那么就有

2.2李雅普諾夫中心極限定理

定理2：這里現(xiàn)在假設(shè) 是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的集合，同時(shí) 記 符合

那么獨(dú)立隨機(jī)變量的總和 的標(biāo)準(zhǔn)化變

量 的分布函數(shù) ，針對(duì)于任意的數(shù)值x，

符合 。

對(duì)于該定理而言，其是由著名的數(shù)學(xué)家李雅普諾夫于上個(gè)世紀(jì)提出來的，其表示：當(dāng)處于一個(gè)理想的條件下的時(shí)候，隨機(jī)變量

在n的數(shù)值非常大的時(shí)候，能夠近似的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過這一點(diǎn)能夠看出，在n的數(shù)值非常大的時(shí)候，

會(huì)近似的服從正態(tài)分布 即對(duì)于每一個(gè)隨機(jī)變量而言，不管其服從于哪一個(gè)分布，只要能夠符合這個(gè)

定理，則總和 在n的數(shù)值非常大的時(shí)候，就會(huì)近似的服從于一個(gè)正太分布，正好解釋了為什么對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量而言，其在概率論里面會(huì)占有一個(gè)特別重要的地位。

2.3棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

定理3：這里現(xiàn)在假設(shè)n重伯努利試驗(yàn)里面，A事件在每一次試驗(yàn)里面發(fā)生的概率大小是p，記 是n次試驗(yàn)里面A事件發(fā)生的

次數(shù)，那么記 那么對(duì)于一個(gè)任意的實(shí)數(shù)y，則有

。

其實(shí)這個(gè)定理是林德貝格-勒維中心極限定理的一種特殊情況，同時(shí)也為時(shí)間最早的中心極限定理。在18世紀(jì)的三十年代，著名的數(shù)學(xué)家棣莫弗對(duì)p=1/2對(duì)上面的定理進(jìn)行了證明，到了后來，數(shù)學(xué)家拉普拉斯又將這個(gè)定理推廣至p為一個(gè)任意的不超過1的正數(shù)上去了。

3.中心極限定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用舉例

3.1在器件價(jià)格預(yù)算問題中的應(yīng)用

例1：對(duì)于某一種器件而言，其使用年限是服從指數(shù)分布的，并且使用年限的平均值大小是20h，在使用的過程中如果一個(gè)器件出現(xiàn)了損壞，那么就會(huì)換上一個(gè)新的，一直這樣下去，現(xiàn)在我們知道一個(gè)器件的成本是a元?，F(xiàn)在需要我們求年計(jì)劃里面應(yīng)該針對(duì)于這種期間作一個(gè)多少的預(yù)算，才會(huì)有95%的概率夠一年進(jìn)行使用，這里我們假設(shè)一年中有兩千個(gè)小時(shí)在進(jìn)行使用。

這里假設(shè)第k個(gè)器件的使用年限是 ，因?yàn)?是服從于參數(shù)是 的指數(shù)分布，同時(shí)

這里現(xiàn)在假設(shè)在一年的時(shí)間里面最少要準(zhǔn)備n個(gè)器件才可以存在95%的概率夠用，記 通過2.2節(jié)的定理能夠得出

也就是

因此 。通過查表得出：

因此，在年計(jì)劃里面要針對(duì)于這種器件作118元的預(yù)算才有95%的概率夠一年的時(shí)間進(jìn)行使用。

3.2在設(shè)置座位數(shù)量問題中的應(yīng)用

例2：某一所學(xué)校有900個(gè)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)進(jìn)行了選修，一共有6名老師講課，現(xiàn)在假設(shè)每一個(gè)學(xué)生都是隨機(jī)的對(duì)老師進(jìn)行選擇，同時(shí)學(xué)生和學(xué)生間進(jìn)行老師的選擇時(shí)也是相互獨(dú)立的。那么求針對(duì)于每一個(gè)高等數(shù)學(xué)老師而言，教師里面要設(shè)置多少個(gè)座位才可以確保由于作為不夠而導(dǎo)致學(xué)生離開的概率值會(huì)不超過1%。

解：僅僅需要對(duì)某一個(gè)老師甲的教室進(jìn)行考慮，這里假設(shè)教室要設(shè)置M個(gè)座位，下面對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行定義：

按照題意 同時(shí) 是互相獨(dú)立同分布的，對(duì)老師甲進(jìn)行選擇的學(xué)生總?cè)藬?shù)是 為了能夠使得學(xué)生不會(huì)因?yàn)樽徊粔蚨x開教室，一定要確保M≥X，所以要

使得M符合 注意到

通過2.1節(jié)定理能夠得出：

通過查表最后得出： ，

所以這里取M為177。

4.總結(jié)

本文通過中心極限定理對(duì)設(shè)置座位數(shù)量問題以及器件價(jià)格預(yù)算問題進(jìn)行了求解，從而了解到該定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用非常的廣泛，所以熟練的掌握這一定理對(duì)解決概率問題具有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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