一道高考不等式題引發(fā)的研究性學(xué)習(xí)①

趙思林 王 佩

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641112)

2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第23題是一道具有數(shù)學(xué)探究?jī)r(jià)值的不等式題，對(duì)該題多角度的思路分析與探究能夠激活發(fā)散思維，對(duì)該題的推廣可以培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)并激發(fā)創(chuàng)新思維，對(duì)該題從解題思路分析與探究、問(wèn)題的拓展與推廣等角度思考可引發(fā)如下的研究性學(xué)習(xí)．

1 試題介紹與評(píng)注

2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第23題是：

已知a>0,b>0，a3+b3=2，證明：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2．

評(píng)注：此題形式對(duì)稱，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，給人以優(yōu)美的感受．該題背景深刻，思路寬、解法多，能夠激發(fā)思考和探究的欲望．因此，該題是一道研究性學(xué)習(xí)的好問(wèn)題．第(2)問(wèn)是一個(gè)經(jīng)典的題目．

2 解題思路的分析與探究

2.1 第(1)問(wèn)的思路分析與探究

分析與探究1證明不等式最常用方法是求差法．考慮到不等式的左邊是6次式，右邊是0次式(即常數(shù)項(xiàng))，若用求差法，則需將右邊的0次式變成6次式．因此，有

(a+b)(a5+b5)-(a3+b3)2

=a5b+ab5-2a3b3

=ab(a2-b2)2

≥0，

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b．(注：以下不再說(shuō)明等號(hào)成立的條件)

故(a+b)(a5+b5)≥4．

(a+b)(a5+b5)≥4

?(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2

(說(shuō)明：左右兩邊次數(shù)相同，同除以b6并通過(guò)整體代換將問(wèn)題化為一元問(wèn)題)

?(t+1)(t5+1)≥(t3+1)2

(說(shuō)明：這就化為一元問(wèn)題了)

?t5+t≥2t3

?t4+1≥2t2.

最后這個(gè)不等式是顯然成立的，故原不等式獲證．

評(píng)注：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的本質(zhì)是化歸與轉(zhuǎn)化，本方法通過(guò)“非齊次化齊次”、“多元化一元”，使問(wèn)題簡(jiǎn)潔獲解，其思維策略及方法具有普適性，值得體會(huì)與借鑒．

分析與探究3考慮到不等式的左邊比較復(fù)雜，可考慮從左邊下手．

(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5

=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5

=4，

故(a+b)(a5+b5)≥4．

分析與探究4考慮用柯西不等式

因?yàn)閍>0，b>0，則由柯西不等式，得

2.2 第(2)問(wèn)的思路分析與探究

分析與探究1考慮從結(jié)論下手．由于條件a3+b3=2的左邊是3次式，待證結(jié)論a+b≤2的左邊是1次式，可考慮把1次式變成3次式．注意到a+b>0，則有

(a+b)3-8=(a+b)3-4(a3+b3)

=3a2b+3ab2-3a3-3b3

=3a2(b-a)+3b2(a-b)

=3(a-b)(b2-a2)

=-3(a-b)2(a+b)

≤0，

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1．(注：以下不再說(shuō)明等號(hào)成立的條件)

即(a+b)3≤8.

又因?yàn)閍>0,b>0，所以a+b>0，

故a+b≤2.

因?yàn)閍>0,b>0，所以a+b>0，從而有

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)

所以(a+b)3≤8，故a+b≤2．

分析與探究3考慮用反證法．

假設(shè)a+b>2，則a>2-b．注意到，函數(shù)y=x3在(-∞,+∞)上是增函數(shù)，則有a3>(2-b)3，此即a3>8-12b+6b2-b3．

又由a3+b3=2，則0>6-12b+6b2，

即0>6(1-b)2，矛盾.

故a+b≤2．

評(píng)注：由a>2-b推出a3>(2-b)3，需要以“函數(shù)y=x3在(-∞,+∞)上是增函數(shù)”為依據(jù),否則，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?/p>

因?yàn)閍>0,b>0，

所以，a+b=a·1·1+b·1·1

評(píng)注：若去掉條件“a>0,b>0”，則本解法就不能用了．

分析與探究6注意到，待證不等式a+b≤2中有兩數(shù)之和a+b的結(jié)構(gòu)，可考慮構(gòu)造兩數(shù)之積ab的結(jié)構(gòu)，從而可構(gòu)造一元二次方程，利用判別式法．由

2=(a+b)(a2+b2-ab)

令a+b=m，ab=n，則由a3+b3=2，得

2=(a+b)(a2+b2-ab)=m(m2-3n)，

又顯然有m2+2m+4=(m+1)2+3>0，

故a+b≤2．

評(píng)注：此解法表明，對(duì)于第(2)問(wèn)，條件a>0，b>0是多余的．命題者給出條件a>0，b>0的意圖可能有二：一是可以降低試題的難度，二是讓本問(wèn)的解答更具多樣性．

分析與探究7采用消元法．

評(píng)注：用消元法把問(wèn)題變成一元函數(shù)，就可用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具．

評(píng)注：分析與探究8的方法具有推廣價(jià)值．本題的高等數(shù)學(xué)背景是函數(shù)的凸性．

3 試題的推廣

張景中院士指出，“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣．?dāng)?shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問(wèn)題推廣出各種各樣的新概念、新問(wèn)題．”[1]推廣是研究數(shù)學(xué)的重要方法，也是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的重要方法．推廣可以把問(wèn)題一般化，從而實(shí)現(xiàn)從“一個(gè)題”到“一類題”的認(rèn)知內(nèi)化．推廣可以培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．

考慮把題目中的條件削弱，即可得到推廣1．

推廣1(1)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且ab≥0，a3+b3=2，則(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，a3+b3=2，則a+b≤2．

評(píng)注：由2.1之分析與探究1知，(1)真；由2.2之分析與探究6知，(2)真．

推廣2設(shè)a>0,b>0,c>0，a3+b3+c3=3，則

(1)(a+b+c)(a5+b5+c5)≥9；

(2)a+b+c≤3．

證明(1)因?yàn)閍>0，b>0，則由柯西不等式，得

(a+b+c)(a5+b5+c5)

(2)由均值不等式，得

a+b+c=a·1·1+b·1·1+c·1·1

=3.

推廣3設(shè)a>0,b>0，n∈N+，n≥2，an+bn=2，則

(1)(a+b)(a2n-1+b2n-1)≥4；

評(píng)注：(1)的證明可用柯西不等式；(2)的證明可用2.2之分析與探究7、8的方法．

推廣4設(shè)a>0,b>0，n∈N+，n≥2，an+bn=2，則

(an+1+bn+1)(an-1+bn-1)≥4．

推廣5設(shè)a>0,b>0，n,k∈N+，n≥2，n>k，an+bn=2，則

(an+k+bn+k)(an-k+bn-k)≥4．

推廣4和推廣5的證明可用柯西不等式．

評(píng)注：(1)的證明可用柯西不等式；(2)的證明用琴生不等式較為簡(jiǎn)潔．

上述推廣1-5可以納入課堂，推廣6不宜納入課堂．