基于D-DEA交叉效率的混合型多屬性決策方法

張興賢，王應(yīng)明

（1.福州大學(xué) 決策科學(xué)研究所，福州 350116；2.銅陵學(xué)院 建筑工程學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

0 引言

目前，針對(duì)這類含有投入產(chǎn)出指標(biāo)的混合型多屬性決策問題已有學(xué)者進(jìn)行了有益的探索，相關(guān)研究成果大致分為兩類:第1類是將模糊綜合評(píng)價(jià)（FCA）和數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）兩種方法相結(jié)合，提出了不同類型的混合型多屬性決策方法[1-3]，第2類是將證據(jù)理論（DST）和數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）兩種方法相結(jié)合，提出一種基于證據(jù)理論與DEA交叉效率的決策評(píng)價(jià)方法[4,5]。

上述兩類決策方法在一定程度上解決了混合型多屬性決策問題，但這兩類方法仍然存在某些不足:第1類方法考慮了在語言評(píng)估中的模糊性，但是不能融合多個(gè)專家的判斷結(jié)果來提高評(píng)估結(jié)果的客觀性。第2類方法通過融合多個(gè)專家的評(píng)估結(jié)果來降低專家評(píng)估的主觀性，但是沒有考慮在語言評(píng)估中的模糊性。換言之，證據(jù)理論假設(shè)識(shí)別框架中的元素必須是相互排斥的。然而，在語言評(píng)價(jià)中，語言等級(jí)如“不好”，“一般”和“好”并不能完全滿足這個(gè)要求。

為了結(jié)合上述兩類方法的優(yōu)點(diǎn)，本文引入D數(shù)理論[6]，D數(shù)理論作為證據(jù)理論的擴(kuò)展，因其識(shí)別框架非排斥性的假設(shè)而廣泛用于語言評(píng)價(jià)中[7，8]。將D數(shù)理論與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析兩種方法相結(jié)合能很好地克服上述兩類方法的缺陷。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 DEA交叉評(píng)價(jià)方法

假設(shè)有n個(gè)決策單元（DMU）需要評(píng)估，每個(gè)評(píng)價(jià)單元均有m中投入和s種產(chǎn)出，對(duì)于第k個(gè)決策單元DMUk(k=1，2，…，n)，用χpk(p=1，2，…，m)表示DMUk的第p種投入量，用yrk表示DMUk的第r種產(chǎn)出量。在CCR模型下，對(duì)于任意第d個(gè)決策單元DMUd，利用下式計(jì)算得到最優(yōu)效率值Edd和投入產(chǎn)出指標(biāo)的最優(yōu)權(quán)重，（μ*rd，ω*pd）[9]:

根據(jù)交叉評(píng)價(jià)思想，通過下式計(jì)算得到其他決策單元DMUk相對(duì)于這個(gè)決策單元的交叉效率：

從而得到交叉效率評(píng)價(jià)矩陣E，通過集結(jié)矩陣中交叉效率值可實(shí)現(xiàn)對(duì)決策單元的充分評(píng)價(jià)。針對(duì)交叉效率評(píng)價(jià)中還可能存在多重最優(yōu)解問題，可采用壓它型策略或利眾型策略來消除交叉效率不唯一的問題。

1.2 證據(jù)理論

Dempster-Shafer理論（DST）[10]簡(jiǎn)稱證據(jù)理論用來處理不確定信息。該理論最早由Dempster提出并由Shafer進(jìn)一步發(fā)展。該理論需要弱化概率論的條件，因此被認(rèn)為是概率論的擴(kuò)展。作為一種不確定環(huán)境下的推理理論，證據(jù)理論擁有對(duì)多個(gè)目標(biāo)構(gòu)成的集合的子集分配概率來直接表達(dá)不確定性的優(yōu)勢(shì)，而不是直接分配給個(gè)體目標(biāo)。分配到每個(gè)子集的概率有上下限，分別表示測(cè)度子集總的信度函數(shù)和似真函數(shù)。此外，證據(jù)理論還能融合多個(gè)證據(jù)。

1.2.1 基本概念

定義1：設(shè)H為互不相容的基本命題（假定）組成的完備結(jié)合，H={H1,H2,….Hn}為一個(gè)識(shí)別框架（Frame of Discernment），2H為H的冪集：

2H={?，{H1},…{HN}，{H1，H2},…，{HN-1，HN},…{H1,…,HN}}，如果A∈2H，A稱為識(shí)別框架H中的一個(gè)命題（Proposition）。

定義2：設(shè)H為識(shí)別框架，如果集函數(shù)m:2H→[0,1]滿足：則稱m為識(shí)別框架H上的基本可信度分配（Basic Probability Assignment），也稱 mass函數(shù)。如果 m(A)＞0，A稱為焦元（Focal Element），所有焦元的集合稱為mass函數(shù)的核（Core）。

定義3：設(shè)命題A?H，則信度函數(shù)Bel:2H→[0,1]定似真函數(shù)Pl：2H→[0,1]定義為顯然

Pl(A)≥Bel(A)，信度函數(shù)和似真函數(shù)分別為命題A的上下限。

1.2.2 Dempster合成法則

Dempster證據(jù)合成法則是一個(gè)反映證據(jù)的聯(lián)合作用的法則。如果已知在同一識(shí)別框架上幾個(gè)相互獨(dú)立的證據(jù)的信度函數(shù)，且它們不是完全沖突的，那么就可以利用Dempster證據(jù)融合規(guī)則得到這幾個(gè)證據(jù)的聯(lián)合信度函數(shù)，該信度函數(shù)稱為這幾個(gè)證據(jù)信度函數(shù)的直和。Dempster證據(jù)合成法則如定理1所述。

定理1：設(shè)m1,m2,…,mn是統(tǒng)一識(shí)別框架上的基本可信度分配，Bel1,Bel2,…,Beln是與之對(duì)應(yīng)的信度函數(shù)，如果這n個(gè)信度函數(shù)的組合Bel1⊕Bel2⊕…⊕Beln存在且基本可信度分配為m，則：

其中k為沖突因子，表達(dá)式為：

Dempster證據(jù)合成法則也稱作D-S證據(jù)合成法則，它滿足交換律和結(jié)合律。合成結(jié)果反映同一識(shí)別框架上幾個(gè)不同證據(jù)對(duì)命題A的聯(lián)合支持程度。

1.3 D數(shù)理論

證據(jù)理論的識(shí)別框架和基本概率分配都基于強(qiáng)烈的假設(shè)條件，這嚴(yán)重制約了證據(jù)理論表達(dá)各種不確定信息的能力。

第一，證據(jù)理論的識(shí)別框架必須要求是互不相容的基本命題（假設(shè)）組成的完備集合。但是，在多數(shù)情況在這些假設(shè)是難以被滿足的。例如，在語言評(píng)價(jià)中，經(jīng)常會(huì)用到“非常好”，“好”，“一般”，“不好”，“很不好”等語言評(píng)價(jià)等級(jí)。但是這些語言評(píng)價(jià)等級(jí)之間包含交叉部分，因此在這種情況下證據(jù)理論的識(shí)別框架很難保證完全獨(dú)立。

第二，基本概率分配必須滿足完整性約束，即基本概率分配中焦元的和等于1。但是，多數(shù)情況下，決策者并不具備所有知識(shí)，因此只能基于部分信息進(jìn)行評(píng)估，從而獲得不完全的基本概率分配。在開放世界，不完全的識(shí)別框架可能導(dǎo)致不完全的信息表達(dá)。證據(jù)理論不能融合含有不完全基本概率分配。此外，證據(jù)理論融合規(guī)則的計(jì)算量大，過于復(fù)雜，一定程度上限制了它的應(yīng)用。

為了克服證據(jù)理論的上述缺陷，鄧勇[6]提出了一種新的表達(dá)不確定信息的理論D數(shù)。

定義4：設(shè)Ω為有限非空集合，如果集函數(shù)D:Ω→[0,1]滿足：

其中，?表示空集，B表示Ω中的一個(gè)子集。

可以看出D數(shù)的定義類似于mass函數(shù)，但是不同之處在于，第一，不同于證據(jù)理論的識(shí)別框架，在D數(shù)中Ω所包含的元素并不要求相互獨(dú)立。第二，在D數(shù)中完整性約束不在被要求。如果，則稱信息完全，如果，則稱信息不完全。

例1：假設(shè)評(píng)估一個(gè)項(xiàng)目，評(píng)估得分用區(qū)間[0，100]表示，根據(jù)證據(jù)理論，專家可以給出BPA表達(dá)評(píng)估結(jié)果：

其中，a1=[0,40],a2=[41,70],a3=[71,100]。{a1,a2,a3}構(gòu)成識(shí)別框架。

然而，另一個(gè)專家根據(jù)D數(shù)表達(dá)評(píng)估結(jié)果：

其中b1=[0,45],b2=[38,73],b3=[61,100]。實(shí)際上，這里{b1,b2,b3}不是識(shí)別框架，因?yàn)閧b1,b2,b3}中的元素并不滿足相互排斥。由于D({b1})+D({b3})+D({b1，b2,b3})=0.9 ，因此信息是不完全的。本例表明了mass函數(shù)與D數(shù)之間的區(qū)別。

對(duì)于一個(gè)離散集合 Ω={b1,b2,…,bi,…bn} ，其中bi∈R，并且bi≠bj,i≠j，D數(shù)的特殊形式可以表示為：

或 者 簡(jiǎn) 化 表 示 成D{(b1,ν1) ，(b2,ν2),…，(bi,νi),…，(bn,νn)})，其中νi＞0，且定義5：置換不變性存在兩個(gè)D數(shù)滿足：則D1?D2。

例2：存在兩個(gè)D數(shù)：D1={( 0 ,0.7)，(1 , 0.3) }，且D2={(1 ,0.3)，(0 ,0.7) }，則D1?D2。

定義6：對(duì)于D={(b1,ν1) ，(b2,ν2),…，(bi,νi),…，(bn,νn)}，其D數(shù)集結(jié)表達(dá)式為：

其中bi∈R，νi＞0，且

例3：D={(1 ， 0.2) ，(2 ，0.1) ，(3 ，0.3) ，(4 ，0.3) ，(5 ，0.1)}，則I(D)=1×0.2+2×0.1+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.0

1.4 基于D-DEA交叉效率的評(píng)價(jià)方法

考慮到D數(shù)能很好地客服決策者的主觀性以及融合模糊屬性，本文運(yùn)用D數(shù)理論來集結(jié)交叉效率值，其過程如下：

第一步：計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中定量指標(biāo)的交叉效率值，交叉效率矩陣中每行的效率值利用每個(gè)決策單元的最優(yōu)權(quán)重分別計(jì)算得到。

第二步:對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中定量指標(biāo)的交叉效率值和定性指標(biāo)分別進(jìn)行模糊等級(jí)轉(zhuǎn)換，得到轉(zhuǎn)換后的評(píng)價(jià)指標(biāo)信息矩陣。模糊等級(jí)轉(zhuǎn)換方法具體如下:

其中，Hn(Ej)和Hn+1(Ej)分別表示定量指標(biāo)隸屬于等級(jí)Hn和Hn+1的隸屬度。

（2）對(duì)于定性指標(biāo)，建立評(píng)價(jià)等級(jí)，將評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中定性值與等級(jí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換。例如定性指標(biāo)采用5個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)，即H=（{很差）H1，（差）H2，（一般）H3，（好）H4，（很好）H5)。其中,H1對(duì)應(yīng)于1,H2對(duì)應(yīng)于2,H3對(duì)應(yīng)于3,H4對(duì)應(yīng)于2,H5對(duì)應(yīng)于5。

第三步:運(yùn)用式（8），按照評(píng)價(jià)指標(biāo)體系由下向上依次進(jìn)行集結(jié)，逐層計(jì)算不同指標(biāo)的（ID），并根據(jù)I（D）值的大小進(jìn)行排序。

2 算例分析

為便于說明本文方法的可行性和優(yōu)越性，運(yùn)用文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中的算例數(shù)據(jù)進(jìn)行說明。下面對(duì)8個(gè)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行評(píng)價(jià)，其中評(píng)價(jià)指標(biāo)體系分為人力財(cái)力和綜合管理2個(gè)一級(jí)指標(biāo)，人力財(cái)力包括3個(gè)定量的二級(jí)指標(biāo)，人數(shù)、資金投入2個(gè)輸入指標(biāo)和社會(huì)委托檢驗(yàn)1個(gè)輸出指標(biāo)，而綜合管理包括3個(gè)定性的二級(jí)指標(biāo)運(yùn)行管理、實(shí)驗(yàn)科研和資源共享。各指標(biāo)評(píng)價(jià)值和權(quán)重已知（見表1）。根據(jù)上述評(píng)價(jià)方法對(duì)8個(gè)實(shí)驗(yàn)室I1，I2，…I8進(jìn)行評(píng)價(jià)。

表1 評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

（1）本文采用壓它型策略的交叉效率評(píng)價(jià)模型[5],利用Excel軟計(jì)算得到人力財(cái)力指標(biāo)的DEA交叉效率矩陣，如表2所示。

表2 DEA交叉效率值

（2）假設(shè)評(píng)價(jià)等級(jí)為5級(jí)，即（1，2，3，4，5）?（很差，差，一般，好，很好），等級(jí)效用分別為（0，0.25，0.5，0.75，1）。假設(shè)人力財(cái)力指標(biāo)交叉效率值對(duì)應(yīng)的不同等級(jí)定性值為（0，0.25，0.5，0.75，1）。

（3）運(yùn)用式（9）將表2中每個(gè)決策單元的交叉效率值進(jìn)行模糊等級(jí)轉(zhuǎn)換，得到轉(zhuǎn)換后的評(píng)價(jià)指標(biāo)D數(shù)矩陣。然后運(yùn)用式（8）對(duì)其進(jìn)行集結(jié)，在集結(jié)過程中仍采用文獻(xiàn)[12]的思路，即實(shí)驗(yàn)室自身評(píng)價(jià)權(quán)重為0.8，其他實(shí)驗(yàn)室評(píng)價(jià)權(quán)重均為0.0285。計(jì)算得到的D數(shù)矩陣和I（D）。表略。

（4）將評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中定性值與等級(jí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換，得到轉(zhuǎn)換后的評(píng)價(jià)矩陣（見表3）。

表3 基于模糊等級(jí)轉(zhuǎn)化后的評(píng)價(jià)矩陣

（5）運(yùn)用式（8），按照評(píng)價(jià)指標(biāo)體系由下向上依次進(jìn)行集結(jié)，分別得到8個(gè)實(shí)驗(yàn)室的I（D），即得到實(shí)驗(yàn)室的優(yōu)劣順序?yàn)镮4? I2? I3? I8? I7? I6? I5? I1，見表4、表5。

表4 基于D數(shù)理論集結(jié)交叉效率計(jì)算結(jié)果

表5 基于D數(shù)理論集結(jié)交叉效率計(jì)算結(jié)果及排序

與文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行對(duì)比分析，分析結(jié)果如下：

與文獻(xiàn)[11]方法相比，評(píng)價(jià)結(jié)果基本一致，但本文方法區(qū)分度更高（見表6）。

表6 文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[4]方法與本文方法的評(píng)價(jià)結(jié)果比較

與文獻(xiàn)[12]方法相比，本文排序結(jié)果只在實(shí)驗(yàn)室I4，I5和 I6上有所不同，文獻(xiàn)[12]中實(shí)驗(yàn)室I4，I5，I6的優(yōu)劣順序?yàn)镮4? I6? I5，而本文中實(shí)驗(yàn)室I4，I5，I6的優(yōu)劣順序?yàn)镮6? I5? I4，從原始數(shù)據(jù)上看對(duì)比實(shí)驗(yàn)室I4和I6，在綜合管理指標(biāo)上提供的是相同的信息，而在人力財(cái)力指標(biāo)上通過D數(shù)集結(jié)計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)室I6的I（D）大于實(shí)驗(yàn)室I4的I（D），說明實(shí)驗(yàn)室I6優(yōu)于實(shí)驗(yàn)室I4，此結(jié)論與文獻(xiàn)[4]是一致的。

與文獻(xiàn)[4]方法比較，本文排序結(jié)果只在實(shí)驗(yàn)室I5和I6上有所不同，對(duì)比實(shí)驗(yàn)室I5和I6的原始數(shù)據(jù)，在綜合管理指標(biāo)上I5明顯弱于I6，而在人力財(cái)力指標(biāo)上通過D數(shù)集結(jié)計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)室I5的I（D）略大于實(shí)驗(yàn)室I6的I（D），從綜合的I（D）看實(shí)驗(yàn)室I6優(yōu)于實(shí)驗(yàn)室I5。這與文獻(xiàn)[12]的結(jié)論一致。

3 結(jié)論

本文將D數(shù)理論與DEA交叉評(píng)價(jià)效率相結(jié)合，提出了一種新的混合型多屬性決策方法。該方法通過將定量指標(biāo)和定性指標(biāo)進(jìn)行模糊等級(jí)轉(zhuǎn)換，采用D數(shù)理論對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)信息進(jìn)行集結(jié)，從而克服了現(xiàn)有研究成果中存在的缺陷。最后通過與文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[4]比較分析看出，本文方法是可行的且得出的優(yōu)劣順序更為合理，而且計(jì)算過程更為簡(jiǎn)便，為含有投入產(chǎn)出指標(biāo)的混合型多屬性決策問題提供了新的視角。