基于微分幾何方法的飛翼無(wú)人飛行器解耦飛行控制*

屈高敏,李繼廣

(1 西安航空學(xué)院,西安 710077;2 南京航空航天大學(xué),南京 210016)

0 引言

飛翼布局飛機(jī)以其良好的氣動(dòng)性能和隱身性能,受到各國(guó)的高度關(guān)注。許多現(xiàn)代飛機(jī)都采用了飛翼布局方式,如美國(guó)B-2轟炸機(jī),測(cè)試中的美國(guó)X-47B、中國(guó)的利劍、法國(guó)的神經(jīng)元和歐洲的雷神等。文獻(xiàn)[1]指出,有人機(jī)/無(wú)人機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)是可預(yù)見(jiàn)未來(lái)主要的作戰(zhàn)方式之一。無(wú)人機(jī)艦載機(jī)的價(jià)值已得到各國(guó)的普遍重視,各國(guó)正在研制的無(wú)人作戰(zhàn)飛機(jī)幾乎都選擇了飛翼布局形式。

線性控制理論的一些處理問(wèn)題的思想為非線性控制理論的發(fā)展提供了有益的借鑒。由于直接討論這些低維子流形比較困難,很多研究者希望把這類(lèi)問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)變換的方式將原問(wèn)題化為線性問(wèn)題來(lái)研究。這就是非線性系統(tǒng)的線性化思想,在理論上來(lái)講是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

動(dòng)態(tài)逆在無(wú)人機(jī)[2]、直升機(jī)[3]、先進(jìn)短距起飛/垂直著陸飛機(jī)[4]以及大迎角超機(jī)動(dòng)飛機(jī)[5]等飛控研究中都得以成功的應(yīng)用。動(dòng)態(tài)逆方法在求解的過(guò)程中計(jì)算量很大[6]。在理論上,動(dòng)態(tài)逆方法的時(shí)標(biāo)分離原理也被許多學(xué)者所詬病。

自1973年Krener的研究以來(lái)[7],學(xué)者紛紛關(guān)注于在幾何可行的條件下,非線性系統(tǒng)的精確線性化問(wèn)題。近年來(lái),微分幾何方法[8]已日益成為非線性系統(tǒng),尤其是對(duì)仿射非線性系統(tǒng)研究中的重要手段之一。

在文獻(xiàn)[9]中,基于微分幾何理論提出了一種新的非線性動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方法。對(duì)于強(qiáng)耦合系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題,文獻(xiàn)[10-11]給出了應(yīng)用微分幾何理論的解耦設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[12]在研究正則靜態(tài)線性化問(wèn)題的基礎(chǔ)上,對(duì)問(wèn)題可解性進(jìn)行了闡述說(shuō)明。文獻(xiàn)[13-14]解決了幾類(lèi)正則動(dòng)態(tài)線性化問(wèn)題,是通過(guò)加積分器實(shí)現(xiàn)線性化,并給出幾個(gè)充分條件得到的。二十世紀(jì)以來(lái),多種多樣的近似線性化方法,如線性化族[15]、奇異攝動(dòng)[16-17]、偽線性化[18]、擴(kuò)展線性化[19]和近似輸入-輸出線性化[20]等,是為了解決微分幾何方法的精確模型而發(fā)展的方法。

微分幾何方法在飛控中有許多應(yīng)用。例如,V/STOL[21]巧妙采用近似輸入輸出線性化,直升機(jī)[22]及CTOL飛機(jī)的控制設(shè)計(jì)中采用狀態(tài)反饋線性化,等等。G.Meyer等人[22]采用12個(gè)非線性常微分方程模擬直升機(jī)的動(dòng)態(tài)特性,將系統(tǒng)置于三角結(jié)構(gòu)中,對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制,導(dǎo)出控制系統(tǒng)——Frobenius I型直升機(jī)的自動(dòng)駕駛儀。

雖然基于微分幾何理論的精確線性化方法在理論和實(shí)踐方面取得了一系列成果,但是相對(duì)其它方法,該方法的成果依舊較少。在實(shí)踐方面,主要成果也主要集中在機(jī)器人和航天控制領(lǐng)域。造成這種情況的原因有:微分幾何理論在物理意義上抽象難懂,不便于工程上的推廣;該理論所要求的放射模型很多實(shí)際系統(tǒng)不能滿(mǎn)足。

文中針對(duì)飛翼無(wú)人飛行器的耦合特點(diǎn),對(duì)無(wú)人飛行器姿態(tài)模型適當(dāng)處理以滿(mǎn)足基于微分幾何理論的精確線性化方法的要求。從而對(duì)飛翼無(wú)人飛行器的姿態(tài)控制進(jìn)行了解耦設(shè)計(jì)。

1 試飛數(shù)據(jù)分析及研究意義

無(wú)人機(jī)的飛行耦合現(xiàn)象(如圖1)出現(xiàn)在由平飛狀態(tài)轉(zhuǎn)入滾轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí),當(dāng)偏航與俯仰阻尼力矩忽略不計(jì)時(shí),側(cè)滑角和迎角是相互等幅轉(zhuǎn)化的。當(dāng)氣流快速變化時(shí),作用在無(wú)人機(jī)上的力和力矩的波動(dòng)是不可預(yù)知的,會(huì)造成無(wú)人機(jī)的轉(zhuǎn)彎不協(xié)同,帶來(lái)不利的影響。機(jī)動(dòng)性的強(qiáng)弱會(huì)影響耦合的效果。

圖1 無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)耦合

從試飛數(shù)據(jù)可以看出,無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中存在運(yùn)動(dòng)耦合現(xiàn)象,有側(cè)滑角出現(xiàn),使得無(wú)人機(jī)航跡的跟蹤出現(xiàn)誤差。在起飛第一次轉(zhuǎn)彎時(shí),出現(xiàn)了最大1 460.0 m的航跡跟蹤誤差,如圖2、圖3所示。由于飛翼無(wú)人飛行器獨(dú)特的氣動(dòng)外形,使其在飛行過(guò)程中呈現(xiàn)顯著的非線性,呈現(xiàn)出復(fù)雜的耦合效應(yīng)。除前文提到的運(yùn)動(dòng)耦合,飛翼無(wú)人飛行器的耦合現(xiàn)象還包括:舵面的氣動(dòng)力矩耦合,無(wú)人飛行器剛體運(yùn)動(dòng)的慣性耦合,氣流角交替變化的運(yùn)動(dòng)耦合。因此,對(duì)飛翼無(wú)人飛行器進(jìn)行解耦設(shè)計(jì),對(duì)提高無(wú)人飛行器的飛行品質(zhì)具有重要的意義。

圖2 無(wú)人機(jī)的姿態(tài)

圖3 無(wú)人機(jī)飛行航跡

2 無(wú)人飛行器解耦兩種常用方法分析

2.1 直接線性化方法與分析

設(shè)仿射非線性系統(tǒng):

(1)

式(1)的直接線性化方法是應(yīng)用求解微分方程的方式計(jì)算求得原系統(tǒng)的一個(gè)微分同胚T,使得原系統(tǒng)在坐標(biāo)變換(式(2))和控制率(式(3))作用下,變換得到線性狀態(tài)空間的形式(式(4))即:

z=T(x)

(2)

u=φ(x)+ω-1(x)υ

(3)

(4)

假定系統(tǒng)(式(1))經(jīng)坐標(biāo)變換(式(2))和控制率(式(3))作用下變換為如下形式:

(5)

由式(2)和式(1)可得:

(6)

比較式(5)和式(6)可得:

(7)

式(7)成立的充分必要條件是:

(8)

由此可得:滿(mǎn)足式(8)某個(gè)φ,ω,A,b和坐標(biāo)變換z=T(x)時(shí),均能將原系統(tǒng)變換為式(5)的線性空間形式。

在狀態(tài)空間系數(shù)A和b給定的情況下,求解式(8)確定的微分方程組,即可得到φ,ω和T(x)的具體形式。

上述計(jì)算過(guò)程具有嚴(yán)密的邏輯和近乎完美的結(jié)論形式,并且狀態(tài)空間系數(shù)A和b的選取具有一定的自由度,可以滿(mǎn)足特殊的設(shè)計(jì)要求。但是,完美的微分方程形式背后卻是求解的困難。在大多時(shí)候,這種困難是難以克服的。

以四階單輸入單輸出系統(tǒng),選取A和b可控標(biāo)準(zhǔn)型為例來(lái)說(shuō)明以上求解的困難。

單輸入單輸出系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)矩陣為:

將以上各式代入式(8)可得:

AcT(x)-bcω(x)φ(x)=

對(duì)于以上微分方程可解的系統(tǒng)而言,上述設(shè)計(jì)步驟是理想的設(shè)計(jì)方法,但很多系統(tǒng)并不是需要得到可控標(biāo)準(zhǔn)型的單輸入單輸出系統(tǒng)。即使是可控標(biāo)準(zhǔn)型的單輸入單輸出系統(tǒng)得到以上微分方程組的解析解也是困難的。根據(jù)解析幾何學(xué)可知,上述方程組在大多數(shù)情況下是不存在解析解的。

2.2 無(wú)人飛行器姿態(tài)方程的一種處理形式與分析

根據(jù)力矩定理,無(wú)人飛行器受到的力矩可表示為:

(9)

整理后可得到無(wú)人飛行器的角動(dòng)力學(xué)方程:

(10)

基于上述以控制力矩(L,M,N)為輸入變量的仿射模型進(jìn)行無(wú)人飛行器姿態(tài)解耦設(shè)計(jì),可以在很大程度上降低設(shè)計(jì)的難度,并且可以得到令人滿(mǎn)意的仿真結(jié)果。然而,上述設(shè)計(jì)思路并不能實(shí)現(xiàn)無(wú)人飛行器的姿態(tài)解耦控制。該設(shè)計(jì)只是實(shí)現(xiàn)了無(wú)人飛行器的力矩解耦,但在實(shí)際應(yīng)用中,無(wú)人飛行器的各種控制輸入都要落實(shí)到舵面輸入上。根據(jù)前文無(wú)人飛行器的耦合分析可知,無(wú)人飛行器的控制舵面對(duì)控制力矩存在強(qiáng)烈的耦合作用,依據(jù)該模型設(shè)計(jì)的結(jié)果依然具有強(qiáng)烈的耦合作用。

為了更好的對(duì)飛翼無(wú)人飛行器進(jìn)行解耦控制設(shè)計(jì),以下將首先建立無(wú)人飛行器姿態(tài)放射模型。

3 無(wú)人飛行器姿態(tài)方程的仿射模型

無(wú)人飛行器的姿態(tài)方程可表示為:

(11)

式中:

從力矩的表示公式可知,無(wú)人飛行器的飛行狀態(tài)產(chǎn)生的力矩只與無(wú)人飛行器的飛行狀態(tài)有關(guān),隨飛行狀態(tài)的改變而改變,將這部分力矩稱(chēng)為狀態(tài)量。控制舵面產(chǎn)生的力矩不僅與無(wú)人飛行器的飛行狀態(tài)相關(guān),還受到控制舵面的輸入的控制,這部分力矩稱(chēng)為控制變量。根據(jù)以上劃分,無(wú)人飛行器姿態(tài)方程的仿射模型為:

f(x)=

(12a)

g(x)=

(12b)

4 基于微分幾何方法的無(wú)人飛行器解耦設(shè)計(jì)

4.1 微分幾何方法的一些結(jié)論

仿射型m入m出系統(tǒng):

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)[7],有以下結(jié)論:

定理1:對(duì)于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。狀態(tài)空間精確線性化問(wèn)題可解的充要條件是:存在x0的一鄰域U和定義在U上的m個(gè)實(shí)值函數(shù)h1(x),…,hm(x),使系統(tǒng)(式(13))在x0有相對(duì)階{r1,…,rm},且r1+…+rm=n。

定理2:對(duì)于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。狀態(tài)空間精確線性化問(wèn)題可解的充要條件是:

1)對(duì)每個(gè)0≤i≤n-1,分布ζi在x0附近有常數(shù)維。

2)分布ζn-1的維數(shù)為n。

3)對(duì)每個(gè)0≤i≤n-2,分布ζi是對(duì)合的。

在條件中,分布式為:

(14)

定理3:對(duì)于系統(tǒng)(式(13)),設(shè)矩陣g(x0)的秩為m。存在x0鄰域U和定義在U上的m個(gè)實(shí)值函數(shù)λ1(x),…,λm(x),使系統(tǒng):

(15)

在x0有相對(duì)階{r1,…,rm},且r1+…+rm=n的充要條件是:

1)對(duì)每個(gè)0≤i≤n-1,分布ζi在x0附近有常數(shù)維;

2)分布ζn-1的維數(shù)為n;

3)對(duì)每個(gè)0≤i≤n-2,分布χi是對(duì)合的。

定理4:(Frobenius定理)一個(gè)非奇異分布完全可積的充要條件是該分布是對(duì)合的。

定理5:系統(tǒng)線性化過(guò)程,先坐標(biāo)變換后狀態(tài)反饋和先狀態(tài)反饋后坐標(biāo)變換是等價(jià)的。

以上定理是文中推理和計(jì)算的依據(jù)。其中定理1和定理2給出了系統(tǒng)能夠進(jìn)行反饋線性化的充要條件。定理3給出了構(gòu)造滿(mǎn)足定理1和定理2條件的系統(tǒng)輸出的方法。定理4是構(gòu)造滿(mǎn)足可線性化輸出函數(shù)過(guò)程中計(jì)算的依據(jù)。定理5則可以避免下文解耦計(jì)算中一些不必要麻煩。

4.2 標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)的構(gòu)造

由定理1和定理2知,系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)反饋線性化需要滿(mǎn)足以下條件:1)系統(tǒng)的輸入輸出量在數(shù)量上相等;2)系統(tǒng)的相對(duì)階之和等于系統(tǒng)狀態(tài)個(gè)數(shù)。以上兩個(gè)條件很多系統(tǒng)是難以滿(mǎn)足的,則在進(jìn)行反饋線性化之前需要對(duì)不滿(mǎn)足條件的系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的處理。

假設(shè)系統(tǒng)的輸入個(gè)數(shù)為m,在系統(tǒng)中一些狀態(tài)量是設(shè)計(jì)要求的解耦量,這些變量是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的直接反映,或者是評(píng)判控制器好壞標(biāo)準(zhǔn)量。因此,這些狀態(tài)量的解耦線性化是系統(tǒng)必須線性化的量。這里把這些必須線性化的量稱(chēng)為解耦輸出量。假設(shè)這部分狀態(tài)量的個(gè)數(shù)為m1。根據(jù)上面的條件1),則還應(yīng)該有m2=m-m1個(gè)量作為系統(tǒng)的輸出。這部分輸出量線性化與否并不是設(shè)計(jì)工作所關(guān)心的。下面論述選取這部分輸出的方法步驟。

根據(jù)定理2,系統(tǒng)的輸出應(yīng)滿(mǎn)足如下條件:

1)正交條件。由相對(duì)階定義,對(duì)所有x0附近的x滿(mǎn)足:

(16)

此式等價(jià)于:

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

2)矩陣非奇異要求。根據(jù)相對(duì)階定義,矩陣A(x0)在x0附近非奇異。其中:

3)相對(duì)階總和等于n要求,即r1+…+rm=n。

根據(jù)以上條件,來(lái)構(gòu)造標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)。根據(jù)定理2,標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)既要獨(dú)立解耦輸出量,又要滿(mǎn)足式(17c)。根據(jù)定理4可知,標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)是可積的。因此可得標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)。

4.3 仿射模型反饋線性化

經(jīng)過(guò)上面標(biāo)稱(chēng)輸出函數(shù)的構(gòu)造,系統(tǒng)已滿(mǎn)足定理1和定理2,所以系統(tǒng)可以精確線性化。系統(tǒng)的線性化步驟如下:

選擇定義在x0鄰域的坐標(biāo)變換函數(shù)集:

(18)

把系統(tǒng)變換為m組方程:

(19)

式中:

(20)

可解得精確線性化的反饋為

u=A-1(ξ)[-b(ξ)+v]

(21)

經(jīng)過(guò)以上坐標(biāo)變換和狀態(tài)反饋,原系統(tǒng)變換為Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng):

(22)

經(jīng)過(guò)以上步驟,可將仿射系統(tǒng)變換為標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)。但是,計(jì)算的過(guò)程并不都是容易的。特別是式(21)中A-1矩陣的求解是很困難的。不過(guò)要得到A的表達(dá)形式并不困難。根據(jù)定理5,A-1的求解并不是必須的。

4.4 無(wú)人飛行器姿態(tài)方程線性化解耦

觀察無(wú)人飛行器飛行器姿態(tài)仿射模型式(12)可知,無(wú)人飛行器的俯仰角受升降舵控制,與其他舵面的耦合較小。所以文中的設(shè)計(jì)的首要目標(biāo)是對(duì)無(wú)人飛行器的偏航角和滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行解耦,同時(shí)兼顧俯仰角通道的解耦。

根據(jù)式(18),可得系統(tǒng)的坐標(biāo)變換函數(shù)為:

(23)

由式(21)可得:

(24)

(25)

5 無(wú)人飛行器航跡跟蹤控制

無(wú)人飛行器的航跡跟蹤包括縱向航跡跟蹤和橫側(cè)向航跡跟蹤兩部分。其中,縱向航跡跟蹤控制主要有升降舵通道和發(fā)動(dòng)機(jī)控制通道。控制器邏輯分別為:

1)升降舵控制

(26)

(27)

(28)

2)發(fā)動(dòng)機(jī)控制

(29)

式中：δp 0為不同高度下的配平值,VIASg為當(dāng)前高度的平飛速度。

橫側(cè)向航跡跟蹤控制主要包括副翼通道控制和方向舵控制。其中,方向舵通道反饋信號(hào)為側(cè)滑角,以實(shí)現(xiàn)無(wú)人飛行器的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制。其控制率結(jié)構(gòu)為:

1)副翼舵通道

(30)

(31)

(32)

式中:φc為滾轉(zhuǎn)角前饋指令，且：

(33)

其中：Yg為預(yù)定的航線,ψg為預(yù)定航線的航跡角。

2)方向舵通道

(34)

6 控制結(jié)果驗(yàn)證

6.1 無(wú)人飛行器布局和氣動(dòng)舵面分配

樣例飛翼無(wú)人飛行器的布局如圖4所示。

無(wú)人飛行器為無(wú)垂尾升力體飛翼布局,氣動(dòng)舵面包括機(jī)翼后緣6片舵面和機(jī)身上一對(duì)阻力式方向舵。

發(fā)動(dòng)機(jī)安裝在機(jī)身中心軸線上,推力方向通過(guò)重心。各舵面編號(hào)如圖5所示。

圖4 無(wú)人飛行器示意圖

圖5 無(wú)人飛行器舵面分布

為了減小由于飛翼無(wú)人飛行器特定氣動(dòng)特性引起的各舵面間的耦合作用,對(duì)無(wú)人飛行器8片舵面進(jìn)行分配組合,使得各組舵面完成不同的控制功能,并在舵面分配時(shí),對(duì)每一個(gè)控制通道留有一個(gè)控制余度。針對(duì)樣例無(wú)人飛行器相對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)的8片舵面的組合復(fù)用分配表如表1所示。

表1 執(zhí)行器組合復(fù)用分配表

在表1中,將無(wú)人飛行器的氣動(dòng)舵面分為7種組合方式,對(duì)每種組合方式進(jìn)行如下定義并分析其產(chǎn)生的力矩效應(yīng):

1)δ1:1、5號(hào)舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

2)δ2:2、6號(hào)舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

3)δ3:3、7號(hào)舵面同偏,只產(chǎn)生俯仰力矩;

4)δ4:3、7號(hào)舵面差動(dòng),只產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩;

5)δ5:2、6號(hào)舵面差動(dòng),只產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩;

6)δ6:4、8號(hào)舵面單偏,以阻力方向舵的形式既產(chǎn)生偏航力矩也產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩,同時(shí)帶有一定的俯仰力矩;

7)δ7:3、7號(hào)舵面單偏,與δ6作用相同。

當(dāng)δ2與δ5以及δ3與δ4復(fù)用時(shí)會(huì)帶來(lái)較小的偏航作用,此處忽略其影響。對(duì)于這7種執(zhí)行器的組合方式,其在整個(gè)舵面偏轉(zhuǎn)區(qū)間上的操縱效率呈一種非線性的變化規(guī)律。

6.2 仿真結(jié)果

根據(jù)上文空置率,無(wú)人飛行器俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道對(duì)正弦信號(hào)的跟蹤如圖6、圖7所示。

圖6 俯仰通道響應(yīng)

圖7 滾轉(zhuǎn)通道響應(yīng)

無(wú)人飛行器對(duì)航跡跟蹤的仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 無(wú)人飛行器航跡

從仿真結(jié)果可知,基于微分幾何方法可以很好的實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)通道和俯仰通道上的解耦,并能快速精確的跟蹤指令。

綜上所述,基于微分幾何方法的飛翼無(wú)人飛行器解耦控制是滿(mǎn)足工程實(shí)踐要求的。