智能汽車橫向軌跡跟蹤的離散時間模型預測控制

高洪波 李升波 謝國濤 成波

控制技術是智能車輛研究的關鍵技術之一.車輛模型是一個非線性的復雜的時變系統(tǒng),使得車輛的控制變得異常復雜與困難.智能車輛的控制技術主要目標是提高控制的自適性、精度與魯棒性.控制技術及理論研究主要包括橫向運動跟蹤控制與縱向運動跟蹤控制及綜合跟蹤控制.

橫向運動控制方法主要包括分階控制[1]、PID控制[2]、模糊自適應控制[3]和神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制[4]等.縱向運動控制方法主要包括參考模型自適應控制[5]、模糊自適應控制[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制[7]和進化算法自適應控制[8]等. 綜合跟蹤控制主要包括基于“預瞄— 跟隨”的控制模型控制[9]、基于視覺引導的最優(yōu)控制[10]、基于視覺引導的模糊控制[11]、基于視覺引導的滑模變結構控制[12]、Backstepping控制[13]、非奇異終端滑模控制[14]、多模型分層切換控制[15]、自適應PID控制等.

用于智能車輛的控制方法有道路導航和區(qū)域導航控制、基于駕駛員行為模型的控制、基于導航器輸出規(guī)劃路徑和低層控制器輸出速度命令的控制、非線性PID縱向控制與線性的PI橫向控制.自2009年至2017舉辦的中國“智能車未來挑戰(zhàn)賽”中,智能車輛在縱向速度控制方面,表現(xiàn)為速度控制精度低.在橫向方向控制方面,表現(xiàn)為控制算法簡單,自適應性差,魯棒性差[16?17].

節(jié)1介紹車輛運動學建模,節(jié)2介紹橫向預測控制系統(tǒng),重點包括離散線性誤差模型建模、橫向預測控制系統(tǒng)目標函數(shù)設計、橫向預測控制系統(tǒng)約束條件設計;節(jié)3介紹橫向控制預測優(yōu)化問題設計及其參數(shù)選取;節(jié)4介紹橫向控制仿真實驗、結果分析與目標算法的對比;節(jié)5總結了全文.

1 車輛運動學建模

智能車輛運動相對于道路環(huán)境隨著時間的改變,車輛的速度、方向與位置也同時發(fā)生改變.由于智能車輛相對于道路環(huán)境運動的動力學過程非常復雜,在實際的道路環(huán)境中,過于復雜的車輛動力學模型達不到預期的控制目標,需要對其進行約束、簡化與近似,建立能夠盡量準確反映車輛運動特性、簡化、高效的運動控制方程,以達到預期的控制目標.因此,在良好路面的行駛工況下,一般不需要考慮車輛動力學問題,基于運動學模型的橫向控制便能夠達到預期控制的性能與目標.

圖1所示為車輛的運動學模型示意圖,在相對于道路環(huán)境的大地慣性坐標系XOY下,(xf,yf)為車輛的前軸軸心坐標,(xr,yr)為車輛的后軸軸心坐標,vf為車輛的前軸中心速度,代表前輪的速度,vr為車輛的后軸中心速度,代表后輪的速度,?為車輛的航向角(即車輛的橫擺角),δ為車輛的前輪轉向角,l為車輛的軸距長度,其中,lf為車輛前軸中心距車輛質心的長度,lr為車輛后軸中心距車輛質心的長度.

如圖1所示,為車輛轉向過程示意圖,C為車輛的瞬時轉動中心,r為車輛轉向時的后軸中心點的轉彎半徑,A為車輛的后軸軸心,B為車輛的前軸軸心.假設車輛在轉向過程中車輛的車輪無滑動現(xiàn)象且車輛質心側偏角保持不變[18],即車輛瞬時轉向半徑與道路曲率半徑相同.如圖1所示,可得車輛前軸軸心點的坐標與車輛后軸軸心點的坐標關系,如式(1)所示.

車輛在轉向過程中,假設車輛質心側偏角保持不變并且車輪無滑動現(xiàn)象[16],則可得車輛前后輪軌跡在垂直方向上的速度為0,進而可以得到車輛前軸與后軸的運動學約束,如式(2)所示.

如圖1所示,根據(jù)式(1)與式(2)可得車輛后軸軸心點的坐標與速度的關系,如式(3)所示.

如圖1所示,可得車輛后軸軸心點的速度vr、車輛的橫擺角速度ω與車輛的轉向半徑r的關系,如式(4)所示.

如圖1所示,可得車輛軸距的長度l、車輛的轉向半徑r與車輛的前輪轉向角δ的關系,如式(5)所示.

將式(4)與式(5)進行聯(lián)合求解,可得到車輛的橫擺角速度,如式(6)所示.

式(6)中,ω為車輛的橫擺角速度,它與車輛的航向角?的關系如式(7)所示.

聯(lián)合式(3)與式(5),可得到車輛的運動學模型,如式(8)所示.

式(8)中,vr與δ為車輛運動的輸入控制量,(xr,yr)與?為車輛運動的輸出狀態(tài)量.

2 橫向預測控制系統(tǒng)

如圖2所示,k表示當前時刻,(k+i|k)表示以k時刻信息對k+i時刻的預測,u代表橫向預測控制系統(tǒng)的控制輸入,y代表橫向預測控制系統(tǒng)的輸出,rh代表二次規(guī)劃軌跡,即參考軌跡.基于車輛運動學的離散線性誤差模型的橫向預測控制器包括:控制器、被控平臺.被控平臺是智能車輛,控制器包括基于車輛運動學的離散線性誤差模型、目標函數(shù)和系統(tǒng)約束條件.

2.1 離散線性誤差模型建模

根據(jù)節(jié)1,在相對于道路環(huán)境的大地慣性坐標系XOY下,車輛運動學模型如式(9)所示.

車輛運動學模型中,車輛的輸入控制量為u(vr,δ),車輛的狀態(tài)量為Φ(xr,yr,?).車輛的控制系統(tǒng)表達成狀態(tài)空間方程形式,如式(10)所示.

式 (10)中,φ=[xr,yr,?]T,u=[vr,δ]T.

根據(jù)圖2所示,基于離散線性誤差模型的橫向預測控制器的二次規(guī)劃軌跡上的每一個點都滿足車輛的運動學模型,因此,基于車輛運動學模型的二次規(guī)劃軌跡狀態(tài)空間方程表達式如式(11)所示.(注:用ref代表二次規(guī)劃軌跡).

式 (11)中,φref=[xref,yref,?ref]T,uref=[vref,δref]T.其中,(xref,yref)為二次規(guī)劃軌跡上目標坐標,?ref為二次規(guī)劃軌跡上目標的航向角,vref為二次規(guī)劃軌跡上目標所需的速度,δref為二次規(guī)劃軌跡上目標所需的車輛前輪轉角.

式(9)是一個非線性系統(tǒng),需要將非線性系統(tǒng)轉化為線性系統(tǒng)進行預測控制,將式(10)在二次規(guī)劃軌跡點上進行泰勒展開,對非線性系統(tǒng)進行近似化處理為線性系統(tǒng).根據(jù)二次規(guī)劃軌跡上每個周期的狀態(tài)量與控制量,通過預測輸出軌跡與二次規(guī)劃軌跡之間的誤差設計預測控制器來跟蹤二次規(guī)劃軌跡,將式(10)在二次規(guī)劃軌跡式(11)處進行泰勒展開,只保留一階項,忽略高階項,如式(12)所示.

將式(12)減去式(11),得到線性誤差模型,如式(13)所示.

將線性誤差模型式(13)表達成狀態(tài)空間方程形式,如式(14)所示.

式(14)為線性誤差模型狀態(tài)空間表示形式,為了讓其應用于模型預測控制器中,需要對其進行離散化處理,離散化的方法如式(19)所示.

式(19)中,I為單位矩陣,T為采樣周期,為100ms.根據(jù)式(14)與式(19),得到線性時變誤差模型離散化的狀態(tài)空間方程,如式(20)所示.

式(20)中,At,k與Bt,k分別如式(21)與式(22)所示.

式(20)中,在每一個控制周期內(nèi),實際輸出坐標與航向角是可以通過車載傳感器獲得,而需要求解的是每一個控制周期的控制輸入即車輛的后軸中心速度vr、車輛的前輪轉向角δ.

2.2 橫向預測控制系統(tǒng)目標函數(shù)設計

在智能車輛行駛過程中,智能車輛的控制輸入通過求解獲得,根據(jù)橫向控制的要求設定符合目標的目標函數(shù),并對其進行優(yōu)化求解,得到智能車輛的控制輸入,目標函數(shù)一是保證智能車輛對二次規(guī)劃軌跡的跟蹤能力,二是保證智能車輛的控制輸入在控制約束的范圍內(nèi),根據(jù)文獻[16],智能車輛的優(yōu)化目標函數(shù)如式(23)所示.

式(23)中,Q與R為智能車輛橫向預測控制系統(tǒng)的權重矩陣.T(k+i)Q(k+i)反映了智能車輛橫向預測控制系統(tǒng)對二次規(guī)劃軌跡的跟蹤能力,T(k+i?1)R(k+i?1)反映了智能車輛橫向預測控制系統(tǒng)對輸入控制量變化的約束.該目標函數(shù)的優(yōu)點是:容易轉化為標準的二次規(guī)劃形式的問題進行求解,結構簡單,易于實現(xiàn).但存在的缺點為:無法對每一個控制周期內(nèi)的控制增量進行約束,也就是無法避免智能車輛控制輸入量突變的現(xiàn)象,達不到乘坐舒適性的目的.

為了達到乘坐舒適性的目的以及約束控制變量突變情況的發(fā)生,需要對目標函數(shù)進行轉化,轉化成對目標函數(shù)中控制增量的約束,以達到求解控制增量的目的.首先,需要對智能車輛離散線性誤差模型的狀態(tài)空間方程進行轉化.

根據(jù)式(24),將式(20)轉化為式(25)所示的形式.

式(25)中,x(k)為預測時域內(nèi)的狀態(tài)量,Ct,k如式(26)所示,Dt,k如式(27)所示.

式(25)中,Ct,k與Dt,k分別通過式(26)～式(27)給出.m=2,n=3,Im是2維的單位矩陣.其系統(tǒng)輸出如式(28)所示.

式(28)中,y(k)為預測時域內(nèi)的系統(tǒng)輸出,Ft,k如式(29)所示,為5×5的單位矩陣.

為了簡化計算,假設Ct,k=Ck,Dt,k=Dk,Ft,k=Fk,t=1,2,···,k+N? 1.

智能車輛的控制時域為Nc,預測時域為Np,預測時域內(nèi)的每一時刻的狀態(tài)量如式(30)所示.

根據(jù)式(30)所示,將預測時域內(nèi)的上一時刻狀態(tài)量作為下一時刻的輸入量,可以得到預測時域內(nèi)總的狀態(tài)量與系統(tǒng)總的輸出量的計算公式分別如式(31)與式(32)所示.

如式(31)所示,智能車輛在預測時域內(nèi)的下一時刻的狀態(tài)量都可以通過當前時刻的狀態(tài)向量x(t)與控制時域內(nèi)的控制增量的向量?u求得.在預測時域內(nèi)的系統(tǒng)輸出可以通過式(32)由當前時刻的狀態(tài)量向量x(t)與控制時域內(nèi)的控制增量的向量?u求得.便將離散線性誤差模型的橫向預測控制輸入由控制量轉化為控制增量.將離散線性誤差模型的橫向預測控制的目標函數(shù)由式(23)轉化為式(33)所示形式.

式 (33)中,ky(k+i)?yref(k+i)k2Q反映了橫向預測控制系統(tǒng)對二次規(guī)劃軌跡的跟蹤能力,k?u(k+i)k2R反映了乘坐舒適性目的的要求,也是防止控制輸入量突變的現(xiàn)象的保證.Nc為控制時域,Np為預測時域,Q與R為橫向預測控制系統(tǒng)的權重矩陣.由于離散線性誤差模型的橫向預測控制系統(tǒng)是一個實時變化的系統(tǒng),在控制周期內(nèi),可能出現(xiàn)的目標函數(shù)在約束范圍內(nèi)沒有可行解,所以,對式(37)進行相應的處理,根據(jù)文獻[16]的方法,對離散線性誤差模型的橫向預測控制系統(tǒng)的目標函數(shù)加入軟約束的方法,以提高式(33)的求解能力.式(33)轉化為式(34)的形式.

式(34)中,ρ為權重系數(shù),ε為松馳因子.至此,智能車輛基于運動學的離散線性誤差模型的橫向預測控制系統(tǒng)的目標函數(shù)設計完成.

2.3 橫向預測控制系統(tǒng)約束條件設計

為保證系統(tǒng)對二次規(guī)劃軌跡的跟蹤能力與乘坐舒適性的目的,根據(jù)式(34),需要對輸出量、控制量與控制增量進行約束.約束條件表達式分別如式(35)～式(37)所示.

式(35)中,y(k+i)表示對智能車輛運動學的離散線性誤差模型橫向預測控制輸出坐標、航向角的約束,式(36)表示智能車輛運動學的離散線性誤差模型橫向預測控制的輸入量約束,包括車輛后軸中心速度vr與車輛前輪轉角δ的約束,式(37)中,?u(k+i)表示對控制輸入增量車輛后軸中心速度增量?vr與車輛前輪轉角增量?δ的約束.式(35)～式(37),就構成了一個完整的基于運動學的離散線性誤差模型的橫向預測控制約束條件表達式.

3 預測優(yōu)化問題設計及其參數(shù)選取

3.1 預測優(yōu)化問題設計及其參數(shù)選取

綜合節(jié)2,橫向預測控制的預測優(yōu)化問題是以式(34)為目標函數(shù),以式(35)與式(36)為系統(tǒng)輸入約束式,以式(37)為系統(tǒng)輸出約束式,且符合車輛運動學的離散線性狀態(tài)空間方程式(25)與式(28)的最優(yōu)化問題,即:

式(38)所示的預測優(yōu)化問題,其參數(shù)可分為3部分:1)智能車輛橫向預測控制系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的參數(shù);2)代價函數(shù)的參數(shù);3)約束條件的參數(shù).

橫向預測控制系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的參數(shù)有采樣時間為100ms,如表1所示.

表1 橫向預測控制系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程參數(shù)

代價函數(shù)的參數(shù)有代價函數(shù)的權系數(shù)、預測時域長度Np以及控制時域長度Nc.代價函數(shù)的權系數(shù)根據(jù)橫向預測控制的要求,通過對實車試驗測試獲得.本文設置代價函數(shù)的權重系數(shù)如表2所示.預測時域長度的設置與橫向預測控制系統(tǒng)的計算效率和控制效果相關,通過實車試驗測試獲得.

表2 橫向預測控制器代價函數(shù)的參數(shù)列表

除了上述兩部分參數(shù)外:1)智能車輛橫向預測控制系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的參數(shù);2)代價函數(shù)的參數(shù);還需要對智能車輛輸入約束進行驗證,以保證智能車輛行駛過程中轉向的可執(zhí)行性.分別對智能車輛實車方向盤向左轉向到極限狀態(tài)與向右轉向到極限狀態(tài)進行試驗,分別記錄方向盤的角度與對應車輛前輪轉向角的角度.測試結果如表3所示.

表3 智能車輛橫向跟蹤能力測試

通過實際測試,為了達到轉向約束的可執(zhí)行最小粒度,在本文中,智能車輛每一個控制周期內(nèi)的前輪轉角的可約束控制范圍為δ∈[?25?,25?],單位為度(?),每一個控制周期內(nèi)前輪轉角的增量可控制范圍為?δ∈[?0.45?,0.45?],單位為度 (?).

3.2 橫向控制律

基于車輛運動學的離散線性誤差模型的橫向預測控制的基本原理是:通過最小化代價函數(shù)J(y,u,|u),求解最優(yōu)控制增量u?(k+i|k),即前輪轉角增量?δ,且滿足橫向預測控制系統(tǒng)的約束條件和系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程;利用u?(k+i|k)的首元素進行反饋,實現(xiàn)橫向預測控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制.

橫向控制律如式(39)所示.

式(39)中,u?(k)是第k步的最優(yōu)控制輸入,u(k-1)為第k-1步的控制輸入,u?(k+0|k)為最優(yōu)控制增量的首元素.最優(yōu)控制增量u?(k+i|k)是預測優(yōu)化問題的最優(yōu)解.如式(40)所示.

Subj.to:

1)橫向預測控制系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程:式(25)和式(28)

2)橫向預測控制系統(tǒng)的I/O約束:式(35)、式(36)和式(37).

該控制律通過最小化代價函數(shù)J(y,u,?u)實現(xiàn)軌跡跟蹤橫向誤差的優(yōu)化控制,通過約束不等式限制橫向預測控制系統(tǒng)的控制輸入和系統(tǒng)輸出,滿足橫向預測控制的跟蹤性、穩(wěn)定性與安全性要求,達到跟蹤性和乘坐舒適性的多目標協(xié)調控制的目的.橫向控制律式(40)中,控制輸入是前輪轉角增量?δ.

4 橫向控制仿真實驗及結果分析

4.1 仿真模型建立

為了驗證所設計的橫向預測控制器,在相同軌跡下對不同速度的跟蹤能力進行仿真測試.選取圓形軌跡進行跟蹤.圓形參考軌跡以參數(shù)方程的形式給出,如式(41)所示.

式(41)中,δ為車輛的期望前輪轉角,?t為車輛的航向角,v為車輛的目標跟蹤速度.仿真過程中,v分別為8m/s,10m/s和12m/s,δ設定為5.03deg,l設定為2640mm,設置初始時刻t0=0,終點時刻tfinal=30s,初始狀態(tài)設置為x0=x(t0)=0,y0=y(t0)=0,?0=?(t0)=0.基本參數(shù)設置為:控制周期為0.1s,預測時域Np=10,控制時域Nc=5.圖3為圓形參考軌跡的Carsim/Simulink聯(lián)合仿真平臺的建立.

4.2 仿真結果及分析

仿真結果分別如圖4～圖6所示.其中,圖4為在不同速度下圓形軌跡跟蹤結果,所設計的預測控制器能快速跟蹤期望軌跡,系統(tǒng)跟蹤誤差最終收斂為0.不同速度行駛的車輛都具備良好的軌跡跟蹤性,體現(xiàn)出對速度很強的抗干擾能力.圖5為在不同速度下軌跡跟蹤誤差,誤差的平均值保持在0cm～20cm范圍內(nèi),總體具有良好的全局穩(wěn)定性.圖6為前輪轉角隨時間變化的軌跡跟蹤曲線,穩(wěn)定情況下,前輪轉角基本為恒定值,轉角誤差最終收斂為0,達到航向角誤差保持在0?～1.03?范圍內(nèi),但隨著目標速度的增大,前輪轉角誤差隨速度的增大而增大,但都在控制器所給出的控制量設定的范圍內(nèi),控制器不僅實現(xiàn)了快速跟蹤期望軌跡,也保證了跟蹤過程的平穩(wěn)性.

4.3 算法對比分析

對比于文獻[19?20]中的方法,以圓形為參考軌跡,如圖7～圖9所示.圖7表示圓形軌跡跟蹤示意圖,圖8表示速度跟蹤曲線圖,圖9表示前輪轉角跟蹤曲線圖.實驗結果表明,本文所提的算法控制效果優(yōu)于預瞄跟蹤最優(yōu)控制算法,預瞄跟蹤最優(yōu)控制算法在跟蹤過程中,達到所需的穩(wěn)定時間相比本文的提出的算法時間長,誤差大,穩(wěn)定性差.

5 結論

本文首先介紹車輛二自由度運動學模型,分析車輛橫向運動.將車輛的橫向運動轉化為橫向控制,用狀態(tài)空間進行描述,基于二次規(guī)劃軌跡建立橫向預測控制線性誤差模型并進行離散化處理.并設計了基于車輛運動學的離散線性誤差模型的橫向預測控制器,進行仿真驗證與分析,所設計的控制器對相同軌跡不同速度具有高的準確性、強的魯棒性和強的自適應性.達到了橫向預測控制的目標要求,提高了控制系統(tǒng)的動態(tài)特性,并具備一定的抗干擾能力.