電磁矢量互質(zhì)陣中基于降維Capon的DOA和極化估計(jì)算法

張小飛 沈金清 汪云飛

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，210016)

引 言

信號(hào)波達(dá)方向(Direction of arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域研究的主要問題之一[1]。電磁矢量傳感陣列可同時(shí)獲取信號(hào)的DOA信息和極化信息，而傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器陣由于所有陣元的極化方式相同，只能接收電磁信號(hào)的某一分量，其陣列輸出僅反映信號(hào)強(qiáng)度的復(fù)幅度，無法檢測信號(hào)的極化信息。與標(biāo)量陣列相比，電磁矢量傳感陣列具有較強(qiáng)的抗干擾能力、穩(wěn)健的檢測能力、較高的系統(tǒng)分辨能力和極化多址能力，為陣列性能的進(jìn)一步改善提供了物理基礎(chǔ)[2]。文獻(xiàn)[3,4]將標(biāo)量傳感器陣列中的借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法(Estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)推廣到電磁矢量傳感器陣列，其中文獻(xiàn)[3]在正交偶極子構(gòu)成均勻線陣中利用陣列兩方面的旋轉(zhuǎn)不變特性，實(shí)現(xiàn)了一維角度和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[4]將線陣算法推廣到均勻矩形面陣，實(shí)現(xiàn)了電磁矢量均勻面陣中的二維角度和極化參數(shù)的估計(jì)。文獻(xiàn)[5]通過構(gòu)造拉格朗日代價(jià)函數(shù)，對(duì)電磁矢量均勻線陣的多重信號(hào)分類(Multiple signal classification,MUSIC)空間譜函數(shù)進(jìn)行降維，算法可以適應(yīng)不規(guī)則的陣列結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[6]針對(duì)電磁矢量傳感器多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output,MIMO)雷達(dá)，將傳統(tǒng)MUSIC算法的四維譜峰搜索降至一維搜索，用極低的復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)了離開角(Direction of Departure,DOD),DOA和極化聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[7]提出的DOA和極化聯(lián)合估計(jì)算法，適用于陣列陣元間距大于入射信號(hào)半波長的情況，有效擴(kuò)展了陣列孔徑。

但在傳統(tǒng)電磁矢量陣的參數(shù)估計(jì)算法中，陣列布陣往往為滿陣，相鄰陣元的間距必須滿足d≤λ/2，其中λ為入射信號(hào)波長。而滿陣存在相鄰陣元互耦嚴(yán)重、陣列孔徑小、分辨率差和測向精度低等不足，無法滿足實(shí)際環(huán)境需求。在這種背景下稀疏陣列被提出并開始推廣應(yīng)用。稀疏陣列[8-16]是指相鄰陣元以間距大于半波長均勻或非均勻稀疏排布的一種陣列。稀疏陣列相比傳統(tǒng)滿陣具有更多優(yōu)勢，如相同陣元數(shù)時(shí)能夠有效擴(kuò)展陣列孔徑，減小了陣元的互耦效應(yīng)，改善了DOA估計(jì)的測向精度和分辨率等。

互質(zhì)陣列是稀疏陣列的一種重要形式，由兩個(gè)陣元數(shù)和陣元間距存在互質(zhì)關(guān)系的均勻子陣穿插拓?fù)錁?gòu)成，通過子陣的互質(zhì)關(guān)系可以有效消除測向模糊。與陣元數(shù)相等的均勻線陣相比，互質(zhì)陣列具有更大的陣列孔徑，在DOA估計(jì)中具有相對(duì)更高的自由度[11]，正成為稀疏陣列中一個(gè)熱門研究方向。文獻(xiàn)[16]最早提出互質(zhì)線陣的概念，證明了M+N-1個(gè)陣元的互質(zhì)線陣可獲得OMN的自由度。文獻(xiàn)[17]在互質(zhì)陣列的互質(zhì)特性基礎(chǔ)上，提出了互質(zhì)陣中的聯(lián)合MUSIC估計(jì)算法。文獻(xiàn)[18]提出了一種互質(zhì)面陣，將均勻面陣中的傳統(tǒng)二維MUSIC算法推廣到該陣列，并進(jìn)一步提出局部譜峰搜索算法，實(shí)現(xiàn)了較低復(fù)雜度的二維參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[19，20]通過互質(zhì)稀疏子陣結(jié)構(gòu)的優(yōu)化組合，實(shí)現(xiàn)了無自由度性能損失的DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[21]利用和陣列與差陣列，得到一個(gè)大于實(shí)際陣列的虛擬陣列，引入稀疏恢復(fù)方法，大大擴(kuò)展了自由度與陣列孔徑。文獻(xiàn)[22]提出了一種離網(wǎng)型(off-grid)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法。目前將互質(zhì)陣列與電磁矢量傳感器陣列相結(jié)合的研究相對(duì)還比較少，文獻(xiàn)[23]主要利用平滑的極化多重信號(hào)分類法進(jìn)行電磁矢量互質(zhì)面陣中的參數(shù)估計(jì)，文獻(xiàn)[24]在假設(shè)極化信息已知的條件下，研究了電磁矢量互質(zhì)陣中由傳統(tǒng)MUSIC算法改進(jìn)的綜合極化信息的MUSIC算法。

本文將傳統(tǒng)電磁矢量均勻陣列推廣為電磁矢量互質(zhì)陣列，突破了陣元間距不大于半波長的限制，提出了電磁矢量互質(zhì)陣列中基于降維Capon的DOA和極化聯(lián)合估計(jì)算法，無需假設(shè)極化信息已知，且參數(shù)估計(jì)只需一維搜索，避免了多維搜索。陣元數(shù)相同時(shí)，與電磁矢量均勻線陣中的估計(jì)性能相比，本文陣列明顯提高了降維Capon的角度估計(jì)性能，并拓展了天線孔徑，具有相對(duì)較高的自由度，且降低了運(yùn)算復(fù)雜度。同時(shí)，在相同陣列條件下，本文算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于ESPRIT算法和三線性分解算法。

1 數(shù)據(jù)模型

考慮如圖1所示的電磁矢量互質(zhì)線陣，該陣列由M1+M2-1個(gè)正交偶極子對(duì)稀疏排布構(gòu)成。互質(zhì)線陣具體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2，由兩個(gè)均勻子陣構(gòu)成，記作子陣1和子陣2，其中，每個(gè)陣元由一對(duì)分別平行于x軸和y軸方向的正交偶極子構(gòu)成，各陣元沿y軸正半軸排列，子陣1和子陣2的陣元數(shù)分別為M1和M2，陣元間距分別為d1=M2λ/2和d2=M1λ/2，M1和M2互為質(zhì)數(shù)，λ為波長。子陣1和子陣2只在原點(diǎn)處有一個(gè)陣元重合。假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場獨(dú)立信號(hào)入射到該陣列，每個(gè)信號(hào)到達(dá)角均不同，第k個(gè)信號(hào)的到達(dá)角記作θkk=1,2,…,K，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)為γk,ηk。

圖1 雙極化互質(zhì)線陣Fig.1 Coprime linear array of crossed dipoles 圖2 互質(zhì)線陣拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topology of coprime linear array

雙極化敏感陣元接收到的第k個(gè)信源的電壓為[2]

(1)

其中，sk∈C2×1為接收極化矢量，其表達(dá)式為

(2)

將電磁矢量互質(zhì)線陣分成子陣1和子陣2來單獨(dú)分析陣列信號(hào)接收模型。分析子陣時(shí)，相當(dāng)于分析電磁矢量均勻線陣中的信號(hào)接收模型，此時(shí)方位角φk=90°(k=1,2,…,K)。在M個(gè)陣元的均勻線陣中，記原點(diǎn)的陣元為參考陣元，相鄰陣元間距為d，第m個(gè)陣元相對(duì)參考陣元的相位滯后為-2π(m-1)dsinθ/λ。故對(duì)于K個(gè)入射信號(hào)、J個(gè)快拍的情況，不考慮噪聲的條件下，第i個(gè)子陣(i=1,2)的接收信號(hào)可表示為[25]

Xi=ai1?s1，ai2?s2，…，aiK?sKBT=Ai⊙SBT

(3)

式中：aik=[1,e-j2πdisinθk/λ,…,e-j2πdi(Mi-1)sinθk/λ]T為第i個(gè)子陣接收的第k個(gè)信源的導(dǎo)向矢量，sk為第k個(gè)信源的極化矢量,B=[b1,b2,…,bK]∈CJ×K為信源矩陣，bk為入射到陣列的第k個(gè)信源，Ai=ai1,ai2,…,aiK為第i個(gè)子陣的方向矩陣，S=[s1,s2,…,sK]為極化矩陣，?和⊙分別為Kronecker積和Khatri-Rao積。

對(duì)于圖1的信號(hào)模型，第i個(gè)子陣(i=1,2)通過獲取J個(gè)快拍得到協(xié)方差矩陣Rix的估計(jì)為

(4)

2 DOA和極化估計(jì)算法

根據(jù)電磁矢量互質(zhì)線陣的兩個(gè)子陣都是均勻線陣，且同一種陣列分析方法相同，故本文首先分別在子陣1和子陣2的基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。但電磁矢量均勻線陣條件下的傳統(tǒng)Capon算法需進(jìn)行三維譜峰搜索，運(yùn)算復(fù)雜度過高。因此本文通過降維處理，只需在兩個(gè)子陣中分別進(jìn)行一維譜峰搜索即可實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)，復(fù)雜度得到降低，后利用兩個(gè)子陣的互質(zhì)特性解模糊得出真實(shí)角度估計(jì)，最后進(jìn)一步得出與真實(shí)角度匹配的極化參數(shù)估計(jì)。

2.1 3D-Capon算法

Capon算法將陣列中可控的自由度用來形成期望的波束形狀，達(dá)到對(duì)有用信號(hào)進(jìn)行提升和對(duì)無用信號(hào)進(jìn)行抑制，第i個(gè)子陣(i=1,2)的多維Capon譜函數(shù)可通過類比一維Capon算法得到[26]

(5)

(6)

(7)

當(dāng)不存在角度模糊時(shí)，在各子陣中搜索θ，γ和η，式(5)的K個(gè)較大的峰值對(duì)應(yīng)θ，γ和η即為待估計(jì)的DOA和極化參數(shù)。由于存在角度模糊，因此各子陣通過三維搜索得到式(5)所有峰值對(duì)應(yīng)的θ中包含真實(shí)角度和模糊角度，角度模糊需利用解模糊方法消除。但三維搜索復(fù)雜度過高，故先用降維方法降低搜索維數(shù)。

2.2 降維Capon算法

sH(θ,γ,η)Q1(θ)s(θ,γ,η)

(8)

(9)

構(gòu)造如下代價(jià)函數(shù)

L(θ,γ,η)=sH(θ,γ,η)Q1(θ)s(θ,γ,η)-λ1(eHs(θ,γ,η)-1)

(10)

其中λ1是常數(shù)，對(duì)s(θ,γ,η)求導(dǎo)有

(11)

(12)

將式(12)代入式(9)，可以得到

(13)

(14)

進(jìn)一步推導(dǎo)可得

(15)

最后得到

(16)

2.3 角度模糊消除

結(jié)合式(13,16)以及角度模糊產(chǎn)生原理[16]，可知電磁矢量互質(zhì)線陣中角度模糊產(chǎn)生只與ai(θ)有關(guān)。因此通過找到兩個(gè)均勻子陣得到的相同角度值，即可消除角度模糊，證明如下：

當(dāng)一個(gè)信源以θ0入射到M個(gè)陣元的均勻線陣中，產(chǎn)生角度模糊時(shí)有

(17)

考慮單個(gè)信源入射到互質(zhì)線陣時(shí)，假設(shè)子陣1和子陣2存在兩個(gè)相同的估計(jì)結(jié)果θ和θ′。對(duì)于子陣1，陣元間距為d1=M2λ/2，根據(jù)式(17)有

sin(θ)-sin(θ′)=2k1/M2

(18)

其中k1=-(M2-1),…,-1,1,…,(M2-1)。

同理，對(duì)于子陣2有

sin(θ)-sin(θ′)=2k2/M1

(19)

其中k2=-(M1-1),…,-1,1,…,(M1-1)。

結(jié)合式(18)和式(19)可以得到

(20)

由于M1,M2互為質(zhì)數(shù)，除k1=k2=0外，沒有符合條件的k1,k2使式(20)成立。由此可以說明，互質(zhì)線陣中兩個(gè)子陣得到的相同角度估計(jì)值，即為真實(shí)的角度估計(jì)結(jié)果。因此通過對(duì)比子陣1和子陣2的所有模糊DOA估計(jì)信息，找到其中的相同角度值θk即為真實(shí)的DOA估計(jì)值。

2.4 極化估計(jì)

(21)

2.5 算法主要步驟

上述推導(dǎo)已經(jīng)給出了電磁矢量互質(zhì)線陣中基于降維Capon的參數(shù)估計(jì)實(shí)現(xiàn)過程，算法主要步驟如下：

(3)對(duì)比子陣1和子陣2的所有模糊DOA估計(jì)信息，找到其中的相同角度值θk即為真實(shí)的DOA估計(jì)值。

3 算法仿真結(jié)果與性能分析

通過Monte Carlo仿真中的求根均方誤差(Root mean squares error, RMSE)評(píng)估算法性能，Monte Carlo仿真次數(shù)為1 000，定義角度求根均方誤差RMSEa，極化求根均方誤差RMSEγ和RMSEη分別為

(22)

(23)

(24)

圖3為本文算法在信噪比SNR=25 dB條件下，仿真100次的角度和極化參數(shù)估計(jì)的散點(diǎn)圖。仿真過程中，M1=4,M2=5,J=200。從圖3中可以看出，本文算法可以有效地估計(jì)出角度和極化參數(shù)，且角度和極化參數(shù)是有效配對(duì)的。

圖3 DOA和極化估計(jì)結(jié)果Fig.3 DOA and polarization estimation results

圖4 不同陣列下算法的參數(shù)估計(jì)性能對(duì)比Fig.4 Parameter estimation performance of algorithm under different arrays

圖4為降維Capon算法在陣元數(shù)相同的互質(zhì)線陣和均勻線陣中的性能對(duì)比。仿真過程中，M1=4,M2=5,M=8,J=200。其中，CLA表示互質(zhì)線陣，ULA表示均勻線陣。由圖4可以看出，與陣元數(shù)相同的電磁矢量均勻線陣相比，電磁矢量互質(zhì)線陣下的降維Capon算法具有更優(yōu)越的DOA估計(jì)性能。

圖5為本文算法與相同陣列條件下的ESPRIT算法、三線性分解算法的性能對(duì)比。仿真過程中，M1=7,M2=9,J=200。從圖5中可以看出，相同陣列條件下，本文中降維Capon算法的DOA估計(jì)性能優(yōu)于ESPRIT算法、三線性分解算法。

圖6為本文算法參數(shù)估計(jì)性能在不同陣元數(shù)下的仿真結(jié)果，仿真中快拍數(shù)J=200。從圖6可以看出，算法的DOA和極化參數(shù)估計(jì)性能都隨著陣元數(shù)的增加而改善。

圖5 相同陣列下不同算法的參數(shù)估計(jì)性能對(duì)比Fig.5 Parameter estimation performance of different algorithms under the same array

圖6 不同陣元數(shù)下算法的參數(shù)估計(jì)性能Fig.6 Parameter estimation performance with different numbers of sensors

圖7 不同快拍數(shù)下算法的參數(shù)估計(jì)性能Fig.7 Parameter estimation performance with different numbers of snapshots

4 結(jié)束語

本文將互質(zhì)陣空間譜算法與電磁矢量傳感器陣列相結(jié)合，利用降維Capon算法解決了電磁矢量互質(zhì)陣中DOA和極化聯(lián)合估計(jì)問題。首先在子陣基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后利用互質(zhì)線陣解模糊方法得出真實(shí)角度估計(jì)，最后進(jìn)一步得出與真實(shí)角度匹配的極化參數(shù)估計(jì)。本文算法將三維譜峰搜索降至一維搜索，大大降低了運(yùn)算復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，與陣元數(shù)相同的均勻陣列中降維Capon算法相比，本文陣列中的算法具有更優(yōu)越的角度估計(jì)性能，并拓展了天線孔徑，且運(yùn)算復(fù)雜度更低；相同陣列條件下，本文算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于ESPRIT算法和三線性分解算法。