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    淺談極值點偏移問題中構(gòu)造函數(shù)的兩種方法

    2018-12-19 06:42:50
    關(guān)鍵詞:普適性式子南通

    (江蘇省南通中學(xué) 江蘇南通 226000)

    一、構(gòu)造差函數(shù)

    例1.(2014江蘇南通二模第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R),其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1<x2.

    第一問的答案為a>e2.

    因為f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-a,所以x2>lna,f(1) >0,所以x1>1,則有當(dāng)a=e3時,③式不滿足,所以這條路無法走下去.

    那么這道題是不是無解呢,顯然不是,我們可以從另外一個角度來思考,利用①式和②式相減:

    設(shè)g(s)= 2s-(es-e-s),則g′(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是單調(diào)減函數(shù)。

    這個方法未免過于討巧了些,那我們能不能找一些更具有普適性的方法呢?

    我們都知道,在做極值點偏移的題目時,有一個常規(guī)的做法,就是構(gòu)造形如g(x) =f(x+c)-f(x-c)的式子(c為極值點的橫坐標(biāo))

    g(x) =a(ex-e-x-2x)

    ∴f(x1) =f(x2) =f[ lna-(x2-lna) ] >f[ l na-(x2-lna) ] =f(2lna-x2)因為f(x)在(0 ,ln )單調(diào)減,

    主元法構(gòu)造也屬于構(gòu)造差函數(shù)的一種.本題也可構(gòu)造g(x) =f(x) -f(2lna-x)(x< lna),具體解法與上相同,不再贅述了.

    二、齊次化構(gòu)造

    例2.(2017屆湖北省第一次八校聯(lián)考理科21題)已知函數(shù)f(x) = l n(x+ 2a) -ax,a>0.

    這種思路在思考是不容易將式子變形到我們所能夠進(jìn)行求導(dǎo)處理的函數(shù)形式,所以我們可以選擇在思維難度方面要求更低的齊次化構(gòu)造.

    所以,h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,h(t) >h(1) = 0,

    我們在解答有關(guān)極值點偏移的問題時,構(gòu)造函數(shù)能為我們省下不少時間和精力,但是依舊存有一些疑惑,在進(jìn)行構(gòu)造的時候該怎樣選取構(gòu)造方式?如例1,在使用齊次化構(gòu)造的時候會遇到比較難辦的構(gòu)造差函數(shù)則相對比較容易破解,而在例2中,齊次化構(gòu)造相對于構(gòu)造差函數(shù)又降低了思維難度困難, 怎樣快速選取構(gòu)造函數(shù)的方法還希望能和大家一起討論交流.

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