平面向量奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用

（四川省德陽中學校 四川德陽 618000）

奔馳定理：

已知O 是 ?ABC內(nèi)的一點， ?BOC , ?AOC,?AOB 的面積分別為

圖1

圖2

如圖2延長OA與BC邊相交于點D則

有此定理可得三角形四心向量式

三角形“四心”的相關(guān)向量問題與“重心”有關(guān)的向量問題

A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

2.知△ABC 中，G是重心，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

解：由奔馳定理可知：

5 6a = 4 0b =3 5c， 不妨設(shè)a=5k ,b =7k,c =8k，由余弦定理可得：B=6 0o

●與“垂心”有關(guān)的向量問題

3.已知O是平面上一定點，A，BC是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：

則動點P 的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

●與“內(nèi)心”有關(guān)的向量問題

4.已知O 是平面上一定點，A，BC是平面上不共線的三個點，動點P 滿足

則動點P 的軌跡一定通過△ABC的（ ）.

A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

●與“外心”有關(guān)的向量問題

5.已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：

則動點P的軌跡一定通過△ABC的（ ）。

A.重點 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

●四心的相互關(guān)系

1.設(shè)△ABC 的外心為O，則點H為△ABC 的垂心的充要條件是

2.設(shè)△ABC 的外心為O，則點G為△ABC的重心的充要條件是

3.設(shè)△ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線（O、G、H三點連線稱為歐拉線），