淺談函數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

陳鑫妍 華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)

一、引言

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的背景下，數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中。而函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 在實(shí)際生活中，很多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題都可歸結(jié)為函數(shù)問(wèn)題[1]，通過(guò)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論來(lái)解決經(jīng)濟(jì)實(shí)際問(wèn)題。由此可見(jiàn),在經(jīng)濟(jì)生活中,處處離不開(kāi)函數(shù)知識(shí),函數(shù)與經(jīng)濟(jì)分析緊密相連。下面就函數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活方面的應(yīng)用做一些探析。

二、函數(shù)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用實(shí)例

（一）分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)是一類常見(jiàn)的函數(shù)，此類函數(shù)蘊(yùn)含著分類討論的數(shù)學(xué)思想。日常生活中的很多問(wèn)題，例如水電費(fèi)階梯計(jì)費(fèi)、的士費(fèi)按里程階段計(jì)價(jià)等都涉及到分類討論的問(wèn)題，從而分段函數(shù)成為解決此類問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)模型。

案例1：優(yōu)惠活動(dòng)問(wèn)題

隨著社會(huì)發(fā)展，消費(fèi)成為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的三駕馬車之一。很多消費(fèi)者購(gòu)物都會(huì)貨比三家，針對(duì)這樣消費(fèi)心理，商家經(jīng)常開(kāi)展各種促銷活動(dòng)。但是到底參與哪個(gè)方案買(mǎi)東西劃算，這就要利用分段函數(shù)[2]來(lái)計(jì)算并判斷。

例如：某淘寶網(wǎng)店實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物付款總額：如果不超過(guò)300元，不予優(yōu)惠；如果超過(guò)300元，但不超過(guò)500元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠；如果超過(guò)500元，500內(nèi)部分按9折優(yōu)惠第實(shí)施，超過(guò)500元部分給予8折。某人兩次購(gòu)物，分別付款232元和466元。假設(shè)他只去購(gòu)物一次，上述同樣商品，則應(yīng)付款多少元？

問(wèn)題分析：設(shè)未參加優(yōu)惠活動(dòng)前所有付款總數(shù)為x元，參加活動(dòng)后應(yīng)付款額為y元。

當(dāng)0≤x≤300時(shí)，應(yīng)付款額y=x；

當(dāng)300＜x≤500時(shí), 應(yīng)付款額y=0.9x；

當(dāng)500＜x時(shí)，應(yīng)付款額y=500＊0.9+(x-500)＊0.8；

故得分段函數(shù)：

此人分開(kāi)付款參加活動(dòng)的話，總付款y=232+466=698元。

而根據(jù)分段函數(shù)公式可知，第二次付款的466是打8折后的價(jià)格，代入第三段則可求出未打折前的價(jià)格x=520。

則如果一次性付款，則總數(shù)x=232+520=752時(shí)，所以根據(jù)分段函數(shù)，參加活動(dòng)后應(yīng)付款額是y=651.6，比分次付款節(jié)約46.4元?？梢?jiàn)利用分段函數(shù)提前分析規(guī)劃的話就能省下不少錢(qián)。

案例2：個(gè)人所得稅問(wèn)題

納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，但近來(lái)某演藝界人士被爆偷稅漏稅丑聞，并罰以巨款，此事提醒公民一定要依法辦事。稅法規(guī)定，公民個(gè)人所得超過(guò)一定數(shù)額時(shí)，要依法繳納。那么個(gè)人如何計(jì)算自己的納稅額度？按照稅法建立一個(gè)簡(jiǎn)單的分段函數(shù)就能算出納稅額度。

例如：新的《個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月薪金所得不超過(guò)5000元的部分不必納稅，超過(guò)5000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。全月應(yīng)納稅所得額不超過(guò)3000元的部分，所納稅率為3%；超過(guò)3000元至12000元的部分，所納稅率為10%；超過(guò)12000元至25000元的部分，所納稅率為20%。

（1）若三位納稅人每月薪金分別為4900元、9600元、19800元，則應(yīng)繳納個(gè)人所得稅分別為多少？

（2）若某納稅人繳納個(gè)人得稅為150元，則此納稅人每月薪金為多少？

問(wèn)題分析：設(shè)納稅人每月薪金為x元，應(yīng)繳納個(gè)人所得稅為y元

當(dāng)x≤5000時(shí)，y=0；

當(dāng)5000＜x≤8000時(shí)，y=(x-5000)＊3%；

當(dāng)8000＜x≤17000時(shí)，y=3000＊3%+(x-8000)＊10%；

當(dāng)17000＜x≤30000時(shí)，y=3000＊3%+9000＊10%+(x-17000)＊20%；

故得分段函數(shù)：

則納稅人每月薪金為x=4900元，應(yīng)繳納個(gè)人所得稅為y=0元；納稅人每月薪金為x=9600元，應(yīng)繳納個(gè)人所得稅為y=0.1＊9600-710=250元；納稅人每月薪金為x=19800元，應(yīng)繳納個(gè)人所得稅為y=0.2＊19800-2410=1550元。

當(dāng)某納稅人應(yīng)繳納個(gè)人所得稅為150元時(shí)，由分段函數(shù)看出第二段的最高繳稅額為90元，第三段的最高繳稅額為990元，則此納稅人每月薪金應(yīng)在8000元至17000元之間，為（150+710）/0.1=8600元。

（二）指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)是極具意義的數(shù)學(xué)工具，與生活中的實(shí)際問(wèn)題有著非常廣泛的聯(lián)系。諸如細(xì)胞分裂、輻射衰減、銀行復(fù)利等問(wèn)題都是涉及指數(shù)函數(shù)的例子。

案例3：存款利率問(wèn)題

日常生活中，人們習(xí)慣于將富余資金進(jìn)行投資理財(cái)，利息的計(jì)算中將會(huì)用到指數(shù)函數(shù)模型。

例如：假設(shè)存入的本金為10000元，每年的理財(cái)收益利率為20%。那么25年后的本利和是多少?

問(wèn)題分析：按復(fù)利計(jì)算收益，本金為a元，每年的利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x年，建立一個(gè)指數(shù)函數(shù)關(guān)系式：

將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式就可得到25年后本利和y≈237萬(wàn)?？梢?jiàn)，若每年堅(jiān)持投資1萬(wàn)元，理財(cái)收益利率為20%時(shí)，25年之后將成為百萬(wàn)富翁。因此，愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，復(fù)利的威力比原子彈還可怕。

案例4：人口爆炸問(wèn)題

人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題，認(rèn)識(shí)人口的數(shù)量變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。

例如：表1是1950-1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料。那么在大約1950年后68年（既2018年）我國(guó)人口數(shù)為多少？

表1 是1950-1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料

問(wèn)題分析：根據(jù)英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯模型[3]，自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y = y0ert。t指經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0指t=0時(shí)的人口數(shù)，r 指人口的平均增長(zhǎng)率。

令y0=55196，則我國(guó)在1950-1959年期間的人口增長(zhǎng)率約為r=0.022，依公式可得億人口。

由此可見(jiàn)，改革開(kāi)放初，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力。當(dāng)然計(jì)劃生育政策也顯現(xiàn)其負(fù)面效應(yīng)，年輕人口數(shù)量減少，老年人所占比例增加，我國(guó)的人口年齡結(jié)構(gòu)已經(jīng)呈現(xiàn)出了顯著的老齡化特征。

（三）函數(shù)最值的應(yīng)用

在生活中經(jīng)常出現(xiàn)追求利潤(rùn)最大、耗材最少、效率最高等現(xiàn)象，此類問(wèn)題從數(shù)學(xué)角度上來(lái)看，就是求取函數(shù)的最大值，最小值問(wèn)題，而利用函數(shù)求導(dǎo)即可解決此類問(wèn)題[4]。

案例5：利潤(rùn)最大問(wèn)題

例如：某網(wǎng)店銷售甲、乙兩種商品，若初始投入 x 萬(wàn)元資金，可分別獲利 M 萬(wàn)元和 N萬(wàn)元。若已知所投資金與獲利的關(guān)系式為，那么，今欲投資 10萬(wàn)元銷售甲、乙兩種商品，如何分配在甲、乙兩種商品的投入資金，能使該網(wǎng)店獲利最大？ 能獲得多大利潤(rùn)？

問(wèn)題分析：該問(wèn)題是二次函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題，同樣是按照題意寫(xiě)出相關(guān)變量的函數(shù)表達(dá)式，然后可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值。設(shè)投資x萬(wàn)元給甲商品，則（10-x）萬(wàn)元給乙種商品，所能獲得總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則根據(jù)題意得，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的最大值。

令y′=0，得：，則x=7.75。

此x為函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以x=7.75是函數(shù)的極值點(diǎn)，故甲商品投資7.75萬(wàn)元，乙商品投資2.25萬(wàn)元，此時(shí)所獲最大利潤(rùn)為3.06萬(wàn)元。

案例6：最佳存、貸款利息問(wèn)題

在經(jīng)濟(jì)生活中，存、貸款利息問(wèn)題，是最常見(jiàn)的問(wèn)題。如何存款、貸款，才能收到最好的效益，這是一個(gè)最值問(wèn)題，其間離不開(kāi)函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用[5]。

例如：某理財(cái)公司，準(zhǔn)備推出某種理財(cái)業(yè)務(wù)，假設(shè)吸引投資人獲得的存款量與存款利息成正比，理財(cái)公司貸款投資的收益率為20%。那么存款利息定為多少時(shí)，理財(cái)公司才能收到最大的貸款純收益?

問(wèn)題分析：設(shè)存款總額為s，存款利率為x，則由題意吸引的存款總額s與x成正比，既s=ax(a 是正常數(shù))。由于所有存款s都會(huì)被貸出以獲得收益，故設(shè)貸款總額也為s，則理財(cái)公司的貸款收益為：0.2s=0.2ax。

而這筆貸款 s要付給投資人的利息為 xs=ax2

從而理財(cái)公司的投資純收益為F(x)：

F(x)= 貸款收益-付給存戶的利息=0.2ax-ax2

x為函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以x=0.1是F（x）的最大值點(diǎn)。故當(dāng)存款利率為10%時(shí)，可創(chuàng)最高投資純收益。

三、小結(jié)

數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用舞臺(tái)，利用函數(shù)知識(shí)建立模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題很多時(shí)候特別有效。其能在日益變化的經(jīng)濟(jì)生活中，科學(xué)描述和客觀分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中因素與變量的關(guān)系，使得復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變得簡(jiǎn)單、清晰,為經(jīng)濟(jì)分析帶來(lái)更加有效的計(jì)算方法，使經(jīng)濟(jì)決策更加科學(xué)化，進(jìn)而促進(jìn)社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展。