導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析

李奉沂

摘要：導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，而且在高考中占有十分重要的地位。導(dǎo)數(shù)，可以與函數(shù)、不等式和方程求根等知識(shí)相結(jié)合，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)和使解題方式多樣化的目的。因此，導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中備受關(guān)注的重要部分。本文在導(dǎo)數(shù)含義的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例分析了導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，以期提高人們對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題；運(yùn)用

一、導(dǎo)數(shù)的含義

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念。具體來(lái)說(shuō)，就是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得增量?x，（x0+?x）仍在這個(gè)鄰域內(nèi)時(shí)，那么函數(shù)就取得增量△y=f （x0+?x）-f（x0）；如果極限存在，那么這個(gè)極限就是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

導(dǎo)數(shù)，是數(shù)學(xué)微積分中的重要組成部分，而且在近幾年的高考題目類型中，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程和解析幾何等其他知識(shí)結(jié)合的題型越來(lái)越多，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用越來(lái)越廣泛。因此，作為高中生的我們，也要有綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的能力。接下來(lái)，讓我們通過(guò)實(shí)例來(lái)討論下導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

（一）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用

不管是導(dǎo)數(shù)的引出還是定義都與函數(shù)有著不可分割的關(guān)系，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，我們可以利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值。

1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。利用定義法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性是之前常用的方法，但定義法只適用于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，一旦遇到較復(fù)雜的函數(shù)，利用定義法判斷單調(diào)性是非常繁瑣的。因此，導(dǎo)數(shù)就成為判斷函數(shù)單調(diào)性的有效方法。

例1：已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1（aR），求當(dāng)a≤時(shí)，f（x）的單調(diào)性。

∵函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1，∴f（x）=-a+=，x（0，+）。令g（x）=ax2-x+1-a，x（0，+）。

（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+1，x（0，+），所以當(dāng)x（0，1）時(shí)，g（x）>0，f（x）<0，那么函數(shù)f（x）單調(diào)遞減。當(dāng)x（1，+）時(shí)，g（x）<0，f（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增。

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）=0得出g（x）=ax2-x+1-a=0，x1=1，x2=-1。當(dāng)a=時(shí)，x1=x2，g（x）≥0恒成立，f（x）≤0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞減。當(dāng)01>0，此時(shí)x（0，1）時(shí)，g（x）>0，f（x）<0，那么函數(shù)f（x）單調(diào)遞減。x（1，-1），g（x）<0，f（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增。

綜上所述，a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增；

a=時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞減；

0

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

函數(shù)的最值問(wèn)題一直是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。函數(shù)的最值包括函數(shù)的最大值與最小值，導(dǎo)數(shù)為函數(shù)最大值與最小值求解的問(wèn)題提供了一種方法與思路。

例2：求函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最值。

根據(jù)f（x）=ln（1+x）-x2得出f（x）=-x。當(dāng)f（x）=0求得x=1或x=-2。因?yàn)閒（0）=0，f（1）=ln2->0，f（2）=ln3-10，所以函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最大值是f（1）=ln2-，最小值是f（0）=0。

（二）導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的運(yùn)用

不等式的證明也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，常用的方法有很多，而導(dǎo)數(shù)是一個(gè)行之有效的方法。它通過(guò)建立一個(gè)函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)，將一些不等式的證明過(guò)程化繁為簡(jiǎn)，提高我們的解題效率。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法很多，比如函數(shù)的性質(zhì)、中值定理和泰勒公式等。下面以函數(shù)的單調(diào)性證明不等式為例，討論導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的運(yùn)用。

例3：證明當(dāng)x>1時(shí)，有l(wèi)n2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

通過(guò)觀察我們可以看出不等式可以變形為>，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性就可以完成證明。

設(shè)函數(shù)f （x） =（x>1），那么f（x） ==

?！? < x < x+1，0f（x+1），即 >，于是ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

（三）導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的運(yùn)用

解析幾何又稱為坐標(biāo)幾何，是利用解析式來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科。而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線切線的斜率是導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的重要運(yùn)用之一。

例4：求曲線y=和y=x2交點(diǎn)處的兩條切線和x軸所圍成的三角形的面積。

根據(jù)兩條曲線y=和y=x2求得交點(diǎn)P（1，1），曲線y=在P點(diǎn)處的切線斜率是k1=ylx=1=-lx=1=-1，那么它的切線方程是l1：y=-（x-1）+1。曲線y=x2在P點(diǎn)處的切線斜率是k2=ylx=1=2xlx=1=2，那么它的切線方程是l2：y=2（x-1）+1。于是l1與x軸的交點(diǎn)A（2，0），l2與x軸的交點(diǎn)B（，0），所以圍成的三角形的面積是SPAB=lABl·lyPl=。

三、總結(jié)

導(dǎo)數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，并不是孤立存在的，而是與函數(shù)、不等式和解析幾何等有著密切的關(guān)系。我們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的廣泛運(yùn)用，從而提升我們做題的效率與質(zhì)量。

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