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    建數(shù)學(xué)模型 促思維提升

    2018-12-15 10:30:30李祿強(qiáng)
    黑龍江教育·小學(xué) 2018年10期
    關(guān)鍵詞:等量天平等式

    李祿強(qiáng)

    教學(xué)內(nèi)容:人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第五單元第62~63頁(yè)“方程的意義”。

    教學(xué)目標(biāo):

    1.借助生活情境理解方程的意義——用含有未知數(shù)的等式表示兩件事情是等價(jià)的。

    2.經(jīng)歷從生活情境到方程模型的建構(gòu)過(guò)程,感受方程思想的核心之一,即建模。

    3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、描述、分類、抽象、概括、應(yīng)用等能力。

    教學(xué)重點(diǎn):準(zhǔn)確地從生活情境中提煉方程模型,然后用含有未知數(shù)的等式來(lái)表達(dá),理解方程的意義。

    教學(xué)難點(diǎn):理解方程的意義,即用數(shù)學(xué)符號(hào)表示兩件事情是等價(jià)的。

    教學(xué)過(guò)程:

    一、復(fù)習(xí)舊知,引入新課

    師:同學(xué)們,我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)了用字母表示數(shù),接下來(lái)就讓我們用這部分內(nèi)容來(lái)解決下面的問(wèn)題。請(qǐng)同學(xué)們拿出老師給大家準(zhǔn)備的練習(xí)題,認(rèn)真完成。(出示練習(xí)題。)

    這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是 平方厘米。

    師:哪位同學(xué)能來(lái)解決第一道題?

    生:長(zhǎng)方形的面積是50χ平方厘米。

    一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地,已經(jīng)行駛了b千米,還剩95千米。甲乙兩地相距 千米。

    師:第二道題怎么解決呢?

    生:甲乙兩地相距(b+95)千米

    他們每天一共投報(bào) 份。

    師:第三道題呢?

    生:他倆每天一共投報(bào)(a+b)份。

    師:剛才的幾位同學(xué)都匯報(bào)了他的答案,還有哪些同學(xué)的答案和他們是一致的,請(qǐng)舉手!

    師:同學(xué)們能熟練地用含有字母的式子表示某一個(gè)量,我們這節(jié)課就在用字母表示某一個(gè)量的基礎(chǔ)上,繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)新的內(nèi)容——方程的意義。

    二、情境呈現(xiàn),抽象模型

    師:同學(xué)們,這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)方程的意義,根據(jù)你的理解,你認(rèn)為什么是方程?

    生1:我覺(jué)得方程里邊有字母。

    師:你認(rèn)為方程和字母有關(guān)。

    生2:我覺(jué)得方程就是其中有一個(gè)未知數(shù),等號(hào)兩邊都是等量。

    師:你認(rèn)為方程和等式有關(guān)。

    生3:含有未知數(shù)的等式叫做方程。

    師:你真是一個(gè)善于預(yù)習(xí)的孩子。

    師:方程真的是同學(xué)們說(shuō)的那樣嗎?今天就讓我們從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究。

    師:同學(xué)們請(qǐng)看大屏幕,哪位同學(xué)能先大聲讀題,然后解答?

    (出示:校合唱隊(duì)有男生12人,女生20人,校合唱隊(duì)共有多少人?)

    生:12+20=32。

    師:為了方便我們接下來(lái)的研究,算式后的單位名稱省略不寫(xiě)了。

    師:12表示(生:男生人數(shù)),20表示(生:女生人數(shù)),32表示(生:總?cè)藬?shù))。

    師:那等號(hào)的左右兩邊表示的是一回事嗎?(生:是。)這么看來(lái)這個(gè)算式是根據(jù):男生的人數(shù)+女生的人數(shù)=總?cè)藬?shù)。像這樣的數(shù)量間的相等關(guān)系,被稱為等量關(guān)系(板書(shū):等量關(guān)系)。

    師:當(dāng)已知條件發(fā)生變化時(shí),這個(gè)問(wèn)題又應(yīng)該怎樣解答呢?你能用我們之前學(xué)過(guò)的知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題嗎?

    (出示:校合唱隊(duì)有男生12人,女生a人。校合唱隊(duì)共有32人。女生有多少人呢?)

    生:32-12=20。

    師:你說(shuō)得真好。如果條件又發(fā)生了變化,你們還能解決嗎?

    (出示:校合唱隊(duì)有男生b人,女生20人。校合唱隊(duì)共有32人,男生有多少人呢?)

    生:32-20=12。

    師:剛才,我們用3個(gè)不同的等量關(guān)系寫(xiě)出了3個(gè)不同的算式。同學(xué)們注意了,老師現(xiàn)在要提高要求,你能不能用加法算式來(lái)表示這兩道題呢?

    生:12+a=32。

    師:這里的a表示什么?

    生:a表示女生的人數(shù)。

    師:a在這里是一個(gè)未知數(shù)。這么看來(lái),字母也可以像數(shù)一樣參與到運(yùn)算當(dāng)中。第二個(gè)算式應(yīng)該怎么寫(xiě)呢?

    生:b+20=32。

    師:這里b又表示什么?

    生:b表示男生的人數(shù)。

    師:觀察這3個(gè)算式,它們有什么共同的地方?

    生1:總?cè)藬?shù)都一樣。

    生2:它們的等量關(guān)系都是一樣的。

    師:他們的左邊都是男生人數(shù)加女生人數(shù),右邊都是表示總?cè)藬?shù)。所以,可以用等號(hào)連接。像這樣用等號(hào)連接的算式,在數(shù)學(xué)中被稱為等式。(圈出所有等號(hào),在等號(hào)下出示等式。)

    師:剛才我們從文字中找到了等量關(guān)系,并根據(jù)同一個(gè)等量關(guān)系列出了3個(gè)等式。其實(shí)在我們實(shí)際生活中的很多方面,也都存在著這樣的等量關(guān)系。(出示天平。)

    師:大家看,這是一個(gè)天平,現(xiàn)在的天平處于一個(gè)平衡的狀態(tài),同學(xué)們想一下,天平在什么情況下才能平衡呢?

    生:左右兩邊的重量相等的時(shí)候。

    師:當(dāng)天平的左邊重量(師晃動(dòng)左手)和天平右邊的重量(師晃動(dòng)右手),相等的時(shí)候(師晃動(dòng)雙手),天平就會(huì)平衡。

    師:請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察天平接下來(lái)發(fā)生的變化,你能用一個(gè)等式來(lái)表示天平現(xiàn)在的狀態(tài)嗎?

    生:50+50=100 。

    師:同學(xué)們注意看,接下來(lái)天平將再次發(fā)生變化,你還能用等式來(lái)表示天平的狀態(tài)嗎?

    生:100+χ=250。

    師:這個(gè)等式的左邊表示什么?右邊呢?

    生:等式的左邊表示杯子的重量+水的重量,右邊表示它們的總重量。

    師:所以水杯的重量+水的重量=砝碼的重量。

    師:我們能從天平中找到等量關(guān)系,并根據(jù)等量關(guān)系列出等式,現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看這個(gè)實(shí)物圖,根據(jù)實(shí)物圖你能列出怎樣的等式呢?(出示情境圖。)

    生: 3χ=2.4。

    師:在這個(gè)等式中,等式左邊表示什么?右邊又表示什么?

    生:等式左邊表示3本書(shū)一共多少錢(qián),右邊也表示3本書(shū)的總錢(qián)數(shù)。

    師:所以它們也是相等的。

    師:在這個(gè)情境圖中,大括號(hào)在這里相當(dāng)于等式中的什么?(生:等號(hào)。)

    師:我們?cè)趯?shí)物圖中同樣找到了等量關(guān)系,那在線段圖中呢?

    生: χ+73=166。

    師:在這個(gè)圖示中,什么相當(dāng)于等號(hào)呢?(生:下邊的大括號(hào)。)

    三、引導(dǎo)分類,構(gòu)建概念

    師:我們剛才從文字、天平、實(shí)物圖和線段圖中找到等量關(guān)系,并根據(jù)等量關(guān)系分別列出了這7個(gè)等式。

    師:在這7個(gè)等式中,有幾個(gè)就是我們今天要認(rèn)識(shí)的方程,你能把它們找出來(lái)嗎?

    等式

    (1)12+20=32

    (2)12+a=32

    (3)b+20=32

    (4)50+50=100

    (5)100+χ=250

    (6)3χ=2.4

    (7)χ+73=166

    生:第2、3、5、6、7個(gè)等式是方程。

    師:大家和他找得一樣嗎?你們和老師想的也都是一樣的,它們確實(shí)都是方程,那你們認(rèn)為什么是方程呢?

    生1:因?yàn)檫@5個(gè)等式中都有未知數(shù)。

    生2:這5個(gè)算式兩邊都相等。

    師:是的,像這樣含有未知數(shù)的等式,叫做方程。

    師:作為一個(gè)方程,它必須要含有未知數(shù),而且還要是等式。如果用韋恩圖來(lái)表示方程和等式之間的關(guān)系的話,大的這個(gè)集合表示等式,小的這個(gè)集合就表示方程。從這個(gè)韋恩圖中,我們可以清楚地看到方程一定是等式,而等式不一定是方程。

    四、出示練習(xí),鞏固新知

    師:我們現(xiàn)在知道了什么是方程,接下來(lái)我們來(lái)判斷一下,下邊哪些式子是方程。(出示練習(xí)題。)

    1.下邊哪些式子是方程?

    ①33+47=80 ②x+15>72

    ③6(y+2)=42 ④3m+32=47

    ⑤21<17+10 ⑥6x+2y=42

    師:請(qǐng)同學(xué)們把自己認(rèn)為是方程的等式找出來(lái),跟你的同桌互相交流一下,為什么你認(rèn)為它是方程。(同桌交流。)

    師:哪位同學(xué)來(lái)匯報(bào)一下你找的結(jié)果?

    生:我認(rèn)為第3個(gè)、第4個(gè)、第6個(gè)是方程,因?yàn)樗鼈兌际堑仁?,還含有未知數(shù)。

    師:同學(xué)們請(qǐng)看第2個(gè)等式,它為什么不是方程?

    生:因?yàn)樗皇堑仁健?/p>

    師:它確實(shí)不是一個(gè)等式,而是一個(gè)不等式。

    師:我們能準(zhǔn)確地判斷一個(gè)等式是不是方程,那能不能寫(xiě)出幾個(gè)方程呢?哪位同學(xué)愿意到黑板上寫(xiě)一個(gè)方程?寫(xiě)完的同學(xué),同桌之間互相檢查。

    師:大家看他們寫(xiě)的是不是方程?(生:是。)為什么是方程?(生:它們都是含有未知數(shù)的等式。)

    師:從同學(xué)們寫(xiě)出的方程我們可以看出來(lái),方程可以有這么多的形式??磥?lái)同學(xué)們對(duì)于方程有了一定的了解,讓我們一起回到課前用字母表示數(shù)的3道題,首先看第一題,老師補(bǔ)充了一個(gè)條件,你能不能根據(jù)等量關(guān)系列出方程?(課件呈現(xiàn):這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是3500平方厘米。)

    這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是3500平方厘米。

    生1:50x=3500。

    生2:等量關(guān)系:長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積。

    師:同學(xué)們請(qǐng)看第二道題,你也能根據(jù)等量關(guān)系列出方程嗎?(課件呈現(xiàn):一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地,已經(jīng)行駛了b千米,還剩95千米。甲乙兩地相距260千米。)

    生:b+95=260,根據(jù)等量關(guān)系:已經(jīng)行駛的路程+還剩的路程=總路程。

    師:只要我們有足夠的已知條件,能找到等量關(guān)系,就能列出方程。同學(xué)們請(qǐng)注意,第三道題有變化了。請(qǐng)同學(xué)們自己補(bǔ)充一個(gè)條件,列出方程。(課件呈現(xiàn)。)

    自己補(bǔ)充一個(gè)條件,列出方程。

    生:王叔叔和李阿姨一天一共投報(bào)80份。列出的方程是a+b=80。

    師:我們先來(lái)看他列的這個(gè)方程,他列的是不是一個(gè)方程?(生:是。)但是同學(xué)們,你們感覺(jué)他補(bǔ)充的這個(gè)條件怎么樣???

    生:每天投報(bào)80份有點(diǎn)太少了。

    師:你的意思就是不符合我們的生活實(shí)際。那你能幫他改一個(gè)更大的數(shù)嗎?

    生:他們每天一共投報(bào)200份。

    師:那根據(jù)這個(gè)條件,應(yīng)該怎么列方程呢?

    生: a+b=200。

    師:其他同學(xué)還補(bǔ)充了不同的條件嗎?

    師:同學(xué)們請(qǐng)看老師寫(xiě)出的這個(gè)方程,你知道這個(gè)方程表示的意義嗎?[7(a+b)=1400]。

    生:他們7天一共投報(bào)1400份。

    師:那你還能像老師這樣補(bǔ)充條件再列出一個(gè)方程嗎?

    生:我補(bǔ)充的條件是31天一共投報(bào)6200份,我列出的方程是:31(a+b)=6200。

    師:你真是個(gè)善于思考的孩子。

    五、總結(jié)

    師:現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們坐好。今天我們初步學(xué)習(xí)了有關(guān)方程的知識(shí),同學(xué)們回憶一下:

    1.什么是方程?

    2.方程是根據(jù)什么來(lái)的?

    生1:方程是通過(guò)等量關(guān)系得來(lái)的。

    生2:方程是把未知數(shù)帶入到等量關(guān)系中。

    師:所以說(shuō),無(wú)論這個(gè)方程是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜,它的背后一定隱藏著一個(gè)等量關(guān)系。

    師:同學(xué)們,你們知道嗎?方程也有著悠久的歷史。請(qǐng)看視頻。(出示視頻。)正是由于笛卡爾確定了方程的基本形式,所以才有了我們現(xiàn)代的方程,而我們今天學(xué)習(xí)的方程只是最簡(jiǎn)易的方程,在以后的學(xué)習(xí)中我們還會(huì)學(xué)到更復(fù)雜的方程。(課件出示。)

    這是我們以后會(huì)學(xué)到的一元二次方程:

    x2+2x+1=4

    這是二元一次方程組:

    2x+3y=23x-2y=1

    這是二元二次方程組:

    x2+y2=54x2-2y=10

    而這個(gè)就是數(shù)學(xué)界最偉大的發(fā)明——?dú)W拉公式

    歐拉公式eпi+1=0是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)方程,被數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)為“上帝創(chuàng)造的方程”。

    由此可見(jiàn)方程的偉大之處。

    其實(shí)方程還有許許多多的奧秘等待著我們?nèi)ヌ剿鳎信d趣的同學(xué)可以在課后自己去搜集一些有關(guān)方程的資料。這節(jié)課我們就上到這里。下課!

    反思:

    本節(jié)課是建立在學(xué)生能夠用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的?!胺匠痰囊饬x”教學(xué)無(wú)論是教材還是以往教學(xué)實(shí)踐,無(wú)一例外都是借助天平進(jìn)行導(dǎo)入。授課教師根據(jù)天平進(jìn)行演示,先呈現(xiàn)一組等式(方程)、不等式,再引導(dǎo)學(xué)生分類,進(jìn)而揭示方程的概念,這幾乎成了“方程的意義”一課教學(xué)的不二選擇。就個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而言,常規(guī)的天平導(dǎo)入法雖有利于學(xué)生對(duì)“方程的意義”這節(jié)課的知識(shí)掌握,但也同樣給課堂教學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn)與困惑——學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確迅速地找出數(shù)量間的相等關(guān)系。筆者認(rèn)為出現(xiàn)這種情況一方面與初次教學(xué)“方程的意義”時(shí),學(xué)生對(duì)方程概念的理解出現(xiàn)偏誤有關(guān);另一方面也與課堂上學(xué)生對(duì)于天平的過(guò)分關(guān)注有關(guān)。天平可以幫助學(xué)生理解“方程表示數(shù)量間的相等關(guān)系”,但是通過(guò)天平揭示的只是一種特殊的等量關(guān)系,即天平兩端所置物品的質(zhì)量相等,而“方程表示數(shù)量間的相等關(guān)系”的涵義要豐富得多。

    帶著這樣的思考,筆者請(qǐng)教了多位教研員和有經(jīng)驗(yàn)的教師,同時(shí)也查閱相關(guān)資料,對(duì)“方程的意義”也有了一個(gè)較為明晰的認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為,應(yīng)將“方程的意義”這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)著眼于“知道方程式表示數(shù)量間的關(guān)系”上,而不是單純地強(qiáng)調(diào)“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這個(gè)形式化的定義。

    從學(xué)者的視角出發(fā),多位專家、學(xué)者也對(duì)“方程的定義”有著不同的認(rèn)知和理解。張奠宙教授認(rèn)為:“這個(gè)定義其實(shí)并不重要,那只是方程式的一個(gè)外觀描述,沒(méi)有體現(xiàn)方程的本質(zhì)?!?史寧中教授也曾提到:“雖然教科書(shū)中定義為含有未知量的等式,但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個(gè)故事,這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn),在這個(gè)共同點(diǎn)上兩個(gè)故事的數(shù)量相等?!?也就是說(shuō),從史教授等人的觀點(diǎn)出發(fā)去判斷一個(gè)算式是不是方程,意義不大。關(guān)鍵是要知道方程是怎么回事,是做什么用的。方程是一種思想,是把未知量視為與已知數(shù)具有同等性質(zhì)且可參與運(yùn)算的量,利用等量關(guān)系構(gòu)造方程,求出問(wèn)題的解。

    因此,在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí),筆者改變傳統(tǒng)教學(xué)中將天平作為主要媒介的慣用做法,沒(méi)有單純地讓學(xué)生根據(jù)天平的狀態(tài)列出算式,繼而進(jìn)行分類、歸納,最終簡(jiǎn)單地得出方程的概念。而是從復(fù)習(xí)“用字母表示數(shù)”引入新課。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“你認(rèn)為什么是方程”,調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備,激發(fā)學(xué)生對(duì)方程的樸素認(rèn)識(shí)。接下來(lái),筆者出示三道最簡(jiǎn)單的練習(xí)題,學(xué)生將加法算式改寫(xiě)成含有字母的加法算式,使學(xué)生經(jīng)歷從算數(shù)方法到方程的思維的轉(zhuǎn)變,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,未知數(shù)也可以像已知數(shù)一樣參與到運(yùn)算。這時(shí)學(xué)生在頭腦中已經(jīng)初步建立方程的思維。然后學(xué)生觀察天平、實(shí)物圖、線段圖等,利用幾何直觀找到等量關(guān)系,列出方程,使他們的思維從熟悉的、簡(jiǎn)單的等量關(guān)系中,過(guò)渡到方程的產(chǎn)生過(guò)程,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)方程所表示的數(shù)量間的相等關(guān)系,即等量關(guān)系是組成方程的必要條件。在這個(gè)過(guò)程中,筆者并沒(méi)有根據(jù)教材出示不等式,而是讓學(xué)生在等式的基礎(chǔ)上找到方程,其目的是避免學(xué)生對(duì)方程的概念產(chǎn)生偏誤。然后,通過(guò)找出下面哪些算式是方程的練習(xí)中出示不等式,再次重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)方程必須是等式這一概念。這樣更有利于學(xué)生理解方程,加深學(xué)生對(duì)方程概念的認(rèn)識(shí)。在課堂教學(xué)中,筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)讓學(xué)生自己寫(xiě)方程的練習(xí)環(huán)節(jié)。在此環(huán)節(jié)中,筆者還特意將比較有個(gè)性的方程進(jìn)行展示,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的多樣性。最后階段的練習(xí)重新回到課前的3道練習(xí)題中,有梯度地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件列出方程,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)方程的理解。其具體做法是:第一步,讓學(xué)生自己補(bǔ)充一個(gè)已知條件,然后列方程練習(xí);第二步,給出一個(gè)方程,讓學(xué)生說(shuō)明這個(gè)方程表示什么意義;第三步,精準(zhǔn)的練習(xí)與鞏固,其目的是反復(fù)強(qiáng)化“每個(gè)方程背后都一定有一個(gè)等量關(guān)系”這一觀念,使學(xué)生能充分理解方程的意義。

    在本節(jié)課的最后,為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,引發(fā)學(xué)生新的思考,筆者采用視頻播放的形式向?qū)W生介紹了方程的發(fā)展過(guò)程,并簡(jiǎn)單介紹了在后續(xù)學(xué)習(xí)中還會(huì)學(xué)習(xí)到不同類型的方程,尤其是歐拉公式的出現(xiàn),讓學(xué)生眼前一亮,激發(fā)了學(xué)生對(duì)方程探究的興趣,有利于將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)由課內(nèi)引向課外。

    (作者單位:哈爾濱市泰山小學(xué))

    編輯/魏繼軍

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