☉江蘇省海門市證大中學(xué) 張志華
在考試或練習(xí)的時(shí)候,學(xué)生總會出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.就數(shù)學(xué)教學(xué)而言,這些錯(cuò)誤也是一種非常好的教育資源,對發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)大有幫助.
例1已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)存在極值為零,請確定m和n的取值.
學(xué)生在處理本題時(shí),出現(xiàn)以下錯(cuò)誤解法:
因?yàn)閒′(x)=3x2+6mx+n,結(jié)合題意可得
就上述問題的處理來講,需要學(xué)生靈活進(jìn)行化歸和轉(zhuǎn)化,而且在求解最后的結(jié)果時(shí),學(xué)生還要結(jié)合題設(shè)條件,能夠?qū)栴}進(jìn)行巧妙地變形.就函數(shù)的極值問題,學(xué)生還必須意識到針對函數(shù)f(x),“f′(x0)存在且等于0”是“函數(shù)f(x)在x=x0時(shí)取極值”的必要不充分條件.換言之,學(xué)生必須在邏輯層面區(qū)分條件的必要性和充分性,若邏輯混亂,則必然導(dǎo)致思路模糊,最終的處理必然會出現(xiàn)偏差.因此,在進(jìn)行問題分析和解決時(shí),學(xué)生采用某些知識和方法來處理問題時(shí),厘清邏輯關(guān)系是第一要務(wù),它是思維準(zhǔn)確性的基本前提.
例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0,x∈R,a∈R}有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的值.
學(xué)生在分析這個(gè)問題時(shí),給出了以下錯(cuò)誤解法:
因?yàn)閍x2+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,
上述問題出現(xiàn)在學(xué)生對集合概念的認(rèn)識過程中,是嚴(yán)格意義上的高中數(shù)學(xué)入門課,我們在這一課上尤其要關(guān)注學(xué)生思維的培養(yǎng).學(xué)生也沒有讓老師“失望”,絕大多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)了上述意料之中的錯(cuò)誤.因?yàn)閷W(xué)生對一元二次方程太過熟悉,思維定式產(chǎn)生了很強(qiáng)的負(fù)面影響——看到帶有二次項(xiàng)的方程式就想到了根的判別式和求根公式.當(dāng)學(xué)生將錯(cuò)誤暴露出來之后,筆者認(rèn)為,我們學(xué)生的軟肋不在于對集合概念的把握,而在于思維上沒有準(zhǔn)確把握方程.為了幫助學(xué)生提出針對性的引導(dǎo),筆者對問題進(jìn)行了更進(jìn)一步地設(shè)計(jì),將問題轉(zhuǎn)化為“既然方程ax2+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根”,再明確提出問題:“這個(gè)方程屬于什么方程?”這個(gè)問題就非常明顯了,很快有學(xué)生給出了不同的意見,不少學(xué)生指出:“方程的二次項(xiàng)系數(shù)為a,這個(gè)參數(shù)的取值要進(jìn)行討論,若a=0,則方程為一元一次方程,x的值等于-1,也是一個(gè)實(shí)數(shù)根;若a≠0,則屬于一元二次方程,可以按照原先的做法來解答.”
例3 現(xiàn)有△APB是一個(gè)直角三角形,其中∠P=90°,∠A=60°,AP=1,現(xiàn)在從頂點(diǎn)P引出一條射線l,與AB邊的交點(diǎn)為D,求AD長度小于1的概率.
學(xué)生在處理本題時(shí),出現(xiàn)以下錯(cuò)誤的解答:
如果AD邊恰好等于1時(shí),那么D點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn),
對于學(xué)生所暴露出的錯(cuò)誤,筆者在教學(xué)中沒有當(dāng)即給出評價(jià),而是引導(dǎo)學(xué)生再嘗試分析一道變式:“現(xiàn)有△APB是一個(gè)直角三角形,其中∠P=90°,∠A=60°,AP=1,現(xiàn)在AB邊上任意取一點(diǎn)D,求AD長度小于1的概率.”面對這個(gè)變式問題,學(xué)生的處理方式和原先例題的處理完全一致,為此筆者提醒學(xué)生概率的關(guān)鍵還是在于試驗(yàn).經(jīng)過提醒,學(xué)生意識到,原題的試驗(yàn)是“現(xiàn)在從頂點(diǎn)P引出一條射線l,與AB邊的交點(diǎn)為D”,l在這個(gè)角度中所出現(xiàn)位置的可能性都是均等的,因此最終應(yīng)該用角度之比來確定概率大小;后來變式問題的試驗(yàn)是“現(xiàn)在AB邊上任意取一點(diǎn)D”,這里D點(diǎn)在線段上所出現(xiàn)的位置都是等可能的,因此可以用線段長度之比來確定概率的大小.
面對學(xué)生所出現(xiàn)的錯(cuò)誤,筆者靈活設(shè)計(jì)變式問題,為學(xué)生提供了兩個(gè)極其相似的問題情境,由此讓學(xué)生展開比較和分析,這兩個(gè)問題也就只有幾個(gè)文字的差別,但是其本質(zhì)卻出現(xiàn)了很大的差異,可以說是“一語驚醒夢中人”.很多時(shí)候也是這樣,當(dāng)問題孤立出現(xiàn)時(shí),學(xué)生很難產(chǎn)生深度思考和比較的意識,但是一旦問題以對比的形式展示在學(xué)生的面前時(shí),學(xué)生將自發(fā)地溯本求源,探求事物的本質(zhì),進(jìn)而對幾何概型形成更加深入的認(rèn)識和理解,這樣他們也將對其他相同類型的問題產(chǎn)生深層次的思考.為此,我們在教學(xué)實(shí)踐中,可以采用一題多變,并且培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的探究能力,有助于學(xué)生思維深刻性的發(fā)展.
生1:結(jié)合基本不等式的有關(guān)理論,由于a>0,b>0,所以有0,由①可得最小值為8.
大部分學(xué)生都采用了生1的解答方法,第二種方法也不能說毫無道理,兩種貌似都合情合理的解題方法卻得出了兩個(gè)截然不同的答案,這是怎么回事呢?面對學(xué)生答案中出現(xiàn)的矛盾,筆者沒有給出直接的評價(jià),而是鼓勵學(xué)生再變換角度,是否還能提出一些其他的處理方法.
生3:我采用三角換元來進(jìn)行處理,由于a>0,b>0,所以可以假設(shè)a=sin2x,b=cos2x,則
隨后,又有學(xué)生從柯西不等式、構(gòu)造法等多種角度著手,最終確認(rèn)了答案應(yīng)該為9,他們自然也就發(fā)現(xiàn)了原本方法是錯(cuò)誤的,那錯(cuò)在哪里呢?這時(shí),筆者就引導(dǎo)學(xué)生刨根究底,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度地發(fā)掘和探索,他們經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn),幾乎所有的解題方法(除了柯西不等式之外),都用到了基本不等式,所不同的是第一種方法使用了兩次,而最終最值成立的根本條件在于兩次基本不等式的等號都要成立,這樣學(xué)生也就明確了為什么之前發(fā)生錯(cuò)誤,因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)成立.
客觀來講,上述第一種做法是學(xué)生普遍會犯的錯(cuò)誤,而且雖然教師屢次強(qiáng)調(diào),但是學(xué)生還是會在類似的地方犯下類似的錯(cuò)誤,這其實(shí)也反映著學(xué)生在批判性思維方面的缺失,教學(xué)過程中,我們創(chuàng)造條件,讓學(xué)生通過一題多解的方式來對自己的思路進(jìn)行剖析,這樣的教學(xué)有助于學(xué)生提升對問題的認(rèn)識,有助于學(xué)生進(jìn)行更加深刻地反思.
生1:本函數(shù)是兩數(shù)乘積的形式,應(yīng)該可以從基本不等式的角度展開分析.由于0<x<,所以這個(gè)數(shù)都是正數(shù),因此有(但是問題來了,不等式的右邊并不等于常數(shù),怎么確定最值呢?學(xué)生的處理陷入僵局)
生2:可以將f(x)的二次項(xiàng)拆解一下,拆成兩個(gè)一次項(xiàng)的乘積形式,這樣可以使得不等式右側(cè)化為一個(gè)常數(shù),即f(x)=x·x·(1-3x)≤
生3:不等式的右側(cè)距離等式還有一點(diǎn)點(diǎn)距離,可以繼續(xù)這樣處理:
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生面對困難無法突破的原因在于缺乏切入點(diǎn),因此教師要鼓勵學(xué)生展開討論,并在討論中獲得啟發(fā)并促成思維的轉(zhuǎn)換.在上述討論的過程中,學(xué)生僅僅完成拆項(xiàng)操作之后卻沒有將問題解決,但是另外的同學(xué)又通過自己的思考將思路向前推進(jìn)了一步,但是問題還是沒有解決,因?yàn)橐サ忍?,需要三?xiàng)都相等,所以在更進(jìn)一步地思考中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將二次項(xiàng)拆成兩個(gè)相等項(xiàng)的乘積x, 由此可以發(fā)現(xiàn)最終是在時(shí),有最大值為
犯錯(cuò)并不可怕,但是要將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)生思維發(fā)展的土壤,這就需要教師細(xì)致入微地分析和研究,需要教師在教學(xué)中隨機(jī)應(yīng)變地創(chuàng)造,更需要教師教學(xué)智慧的發(fā)揮.