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      三角函數(shù)最值問題的分類探究

      2018-12-15 07:50:34江蘇省啟東市第一中學(xué)邢華妹
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年23期
      關(guān)鍵詞:余弦分式分母

      ☉江蘇省啟東市第一中學(xué) 邢華妹

      三角函數(shù)最值問題處在代數(shù)、三角、幾何等知識(shí)的交匯處,解法靈活多變,能力要求高,是高考的??键c(diǎn).在求解時(shí),若能根據(jù)題目特征,合理選擇方法則可以快速解題.本文主要從y=asinx+b,y=Asin(ωx+φ),y=asin2x+bsinx+c類型問題等幾個(gè)方面進(jìn)行論述,以供參考.

      一、y=asinx+b型

      題中僅含正弦或余弦一種,且次數(shù)為1,這一類問題相對(duì)比較簡單,通常求解方法是將正弦或余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù),然后利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解決.

      例1 已知y=asinx+b,ymax=3,ymin=-1,求a,b.

      分析:設(shè)t=sinx,則問題可轉(zhuǎn)化為在t∈[-1,1]上,求一次函數(shù)y=at+b的最值問題.

      所以a=±2,b=1.

      評(píng)注:將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為在一定區(qū)間上求代數(shù)函數(shù)最值是常用的方法,還可以嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為斜率問題等方法來進(jìn)行求解.

      二、化成y=Asin(ωx+φ)的形式

      1.y=asinωx+bcosωx+c型

      評(píng)注:此類題目看起來較為復(fù)雜,難以厘清思路,巧妙變形轉(zhuǎn)化后,再結(jié)合三角函數(shù)有界性進(jìn)行求解,問題則迎刃而解.需要說明的是:若函數(shù)是條件函數(shù),則常需利用三角函數(shù)的圖像來解題.

      2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型

      先降次,再整理,然后化為上述類型,最后求y=Asin2x+Bcos2x的最值,含有sinx,cosx的二次式為該類顯著特征.

      例3已知函數(shù)(fx)=2cos2x+sin2x+m(m∈R).

      評(píng)注:題目看起來較為復(fù)雜,但厘清思路后發(fā)現(xiàn),此題的關(guān)鍵:把問題化歸為f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式.常見為:f(x)max=|A|+k,f(x)min=-|A|+k,但如果已附加x的取值范圍,通過圖像來解決為最佳辦法.

      特點(diǎn)是一個(gè)分式,分子、分母分別有正、余弦的一次式.不難發(fā)現(xiàn),幾乎所有的分式型都可以通過分子、分母的化簡,最后整理成這個(gè)形式,它的處理方式有多種,多半化歸為y′=Asinx+Bcosx型解或用數(shù)形結(jié)合法(常用直線斜率的幾何意義).

      三、y=asin2x+bsinx+c型

      使用換元法,化成二次函數(shù),設(shè)t=sinx,則y=at2+bt+c,再求其在t∈[-1,1]上的最值.

      例5 求函數(shù)y=-2cos2x+2sinx+3的值域.

      解析:原式化為y=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+t∈[-1,1].由二次函數(shù)圖像(此略)可知,當(dāng);當(dāng)t=1時(shí),ymax=5.

      四、y=sinx+ 型

      圖1

      五、y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c型

      例7 求函數(shù)y=4sinxcosx+3(sinx+cosx)+3的最值

      評(píng)注:sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα相互制約與關(guān)聯(lián).知其一,則能夠求出其二,令t=sinx-cosx換元后,則可使用配方法、函數(shù)的單調(diào)性、重要不等式等法去求函數(shù)的最值.

      總結(jié)規(guī)律,摸索經(jīng)驗(yàn).在解決三角函數(shù)的最值相關(guān)問題時(shí),常會(huì)出現(xiàn)一些忽視題設(shè)條件、概念模糊、方法不當(dāng)?shù)葐栴},導(dǎo)致求解困難.基于此,在解決相關(guān)問題時(shí),要注意三角函數(shù)的變形方向、正(余)弦的有界性、靈活選擇方法、多多練習(xí),確??紤]周全,準(zhǔn)確無誤,答題精準(zhǔn).W

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