☉山東省肥城市第一高級(jí)中學(xué) 陰嘉輝
題目 已知函數(shù)(fx)=ex+1-x2-2ax+1(a∈R)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x(2x1<x2),求證:x1+x2>-2.
分析:通過求導(dǎo),由于函數(shù)(fx)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,可得兩個(gè)對(duì)應(yīng)的方程,而對(duì)應(yīng)的兩個(gè)變?cè)獂1,x2不能通過相互表示來達(dá)到減少變量個(gè)數(shù)的目的,那么就得巧妙通過對(duì)應(yīng)的方程之間的運(yùn)算后再合理換元,減少變量個(gè)數(shù),再通過構(gòu)造函數(shù),利用求導(dǎo)以及函數(shù)的單調(diào)性等來轉(zhuǎn)化與證明;也可采用運(yùn)算后利用對(duì)數(shù)平均值不等式來處理,顯得更為簡單快捷;采用極值點(diǎn)偏移法也可達(dá)到證明的目的.通過相應(yīng)的方程式的加減運(yùn)算變形,利用分析法,通過t=x2-x1的整體形式換元處理,進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.
證法1:由(fx)=ex+1-x2-2ax+1,可得f(′x)=ex+1-ax-2a,而f(″x)=ex+1-a.
當(dāng)a≤0時(shí),f(″x)>0,f(′x)單調(diào)遞增,且至多有一個(gè)零點(diǎn),則(fx)至多有一個(gè)極值點(diǎn),與題意矛盾,于是a>0.
令f(″x)=0,可得x=lna-1.
而函數(shù)(fx)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有f(′lna-1)=-alna<0,解得a>1.
由題可知,f′(x)=ex+1-ax-2a=0的兩個(gè)解為x1,x2(x1<x2),
兩式相加可得ex1+1+ex2+1=a(x1+x2+4). ①
要證x1+x2>-2成立,即證成立,亦即證ex1+1+ex2+1>2a成立, ②
上述不等式的兩邊同時(shí)除以ex1+1,可得即證1+ex2-x1>
令t=x2-x1>0,即證,亦即證(t-2)et+t+2>0,t>0.
構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t-2)et+t+2,t>0,可得g′(t)=(t-1)et+1,g″(t)=tet,
由于t>0,則由g″(t)>0知,則g′(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則有g(shù)′(t)>g′(0)=0,
則進(jìn)一步可知,g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則g(t)>g(0)=0,則證得(t-2)et+t+2>0,t>0成立,
根據(jù)以上分析可知,x1+x2>-2成立.
通過相應(yīng)的方程式的作商運(yùn)算變形,通過ex1-x2=的整體形式換元處理,進(jìn)而把x1+x2表示成參數(shù)t的關(guān)系式,通過構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.
證法2:由(fx)=ex+1-x2-2ax+1,可得f(′x)=ex+1-ax-2a,而f(″x)=ex+1-a.
若f(″x)>0或f(″x)≤0,則f(′x)單調(diào)遞增或遞減,f(′x)至多有1個(gè)解,與題意矛盾,故必有f(″x)=0.
令f(″x)=0,可得x=lna-1,
而函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有f′(lna-1)=-alna<0,解得a>1.
由題可知,f′(x)=ex+1-ax-2a=0的兩個(gè)解為x1,x2(x1<x2),
可得x1-x2=lnt,與聯(lián)立解得
可得
故φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,則有φ(t)<φ(1)=0,
則有g(shù)′(t)<0,則進(jìn)一步可知,g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.
根據(jù)洛必達(dá)法則可知,
通過相應(yīng)的方程式的兩邊取對(duì)數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算,再結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式的作差變形,通過的整體形式換元處理,進(jìn)而把x1+x2表示成參數(shù)t的關(guān)系式,通過構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性來證明即可.
若a≤0,f″(x)>0,f′(x)單調(diào)遞增,不符合題意,故a>0.
令f″(x)=0,可得x=lna-1.
而函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有f′(lna-1)=-alna<0,解得a>1.
由題可知,f′(x)=ex+1-ax-2a=0的兩個(gè)解為x1,x2(x1<x2),
故φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,則有φ(t)<φ(1)=0,
則有g(shù)′(t)<0,則進(jìn)一步可知,g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.
根據(jù)洛必達(dá)法則可知,
通過相應(yīng)的方程式的兩邊取對(duì)數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算,再結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式的作差變形,得到利用對(duì)數(shù)平均值不等式加以轉(zhuǎn)化即可得以證明.
證法4:由(fx)=ex+1-x2-2ax+1,可得f(′x)=ex+1-ax-2a,而f(″x)=ex+1-a.
若a≤0,f(″x)>0,f(′x)單調(diào)遞增,不符合題意,故a>0.令f″(x)=0,可得x=lna-1.
而函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有f′(lna-1)=-alna<0,解得a>1.
由題可知,f′(x)=ex+1-ax-2a=0的兩個(gè)解為x1,x2(x1<x2),
兩式相減可得x1-x2=ln(x1+2)-ln(x2+2),
則有(x1+2)-(x2+2)=ln(x1+2)-ln(x2+2),
通過相應(yīng)的方程式的兩邊取對(duì)數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算,利用構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+1-ln(x+2),此時(shí)滿足g(x1)=g(x2)=lna>0且g(-1)=0,通過分類討論,結(jié)合極值點(diǎn)偏移法,根據(jù)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-g(-2-x)的單調(diào)性并結(jié)合g(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性來確定相應(yīng)的不等式,進(jìn)而證明對(duì)應(yīng)的不等式成立.
通過從多個(gè)不同角度來處理,巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來,多角度出發(fā),多方面求解,真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通,充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合,達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”,在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”W