☉江蘇省常州市金壇區(qū)第一中學(xué) 宮雞明
著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出:“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處:它們都是成串生長.找到一個以后,我們應(yīng)該四處看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而,當(dāng)我們解完一道題以后,要不斷領(lǐng)悟反思,多角度切入進(jìn)行深度挖掘,從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.
題目 (2018年全國卷Ⅰ文20)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn) A(2,0),B(-2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;
(2)證明:∠ABM=∠ABN.
分析:本題涉及拋物線的方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線的方程與斜率、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.關(guān)鍵是證明∠ABM=∠ABN時(shí)所切入的角度,可以利用直線的斜率和為零,也可以利用角平分線的性質(zhì),還可以利用幾何法、參數(shù)方程法等來轉(zhuǎn)化.不同的切入點(diǎn)有不同的解法,多點(diǎn)思維,多面開花.
解法1:(官方標(biāo)準(zhǔn)答案)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).
(2)證明:當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
直線BM,BN的斜率之和為
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.
綜上,∠ABM=∠ABN.
解法2:(官方標(biāo)準(zhǔn)答案的改進(jìn))通過改進(jìn),巧設(shè)直線l的方程為x=my+2(m∈R),省去對直線l的斜率是否存在的分類討論,從而結(jié)合kBM+kBN=0的證明來確定直線BM,BN的傾斜角互補(bǔ),得以證明∠ABM=∠ABN.
(1)同解法1.
(2)證明:由于直線l的斜率可能不存在但不會為0,則可設(shè)直線l:x=my+2(m∈R),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
直線BM,BN的斜率之和為
將x1=my1+2,x2=my2+2及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2my1y2+4(y1+y2)=-8m+8m=0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.
解法3:(角平分線性質(zhì)法1)通過改進(jìn),巧設(shè)直線l的方程為x=my+2(m∈R),結(jié)合∠MBN的角平分線上的點(diǎn)A到兩直線BM、BN的距離相等的性質(zhì),進(jìn)而確定x軸為∠MBN的平分線,得以證明∠ABM=∠ABN.
(1)同解法1.
(2)證明:由于直線l的斜率可能不存在但不會為0,則可設(shè)直線l:x=my+2(m∈R),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
所以x軸為∠MBN的平分線,故∠ABM=∠ABN.
解法4:(角平分線性質(zhì)法2)通過改進(jìn),巧設(shè)直線l的方程為x=my+2(m∈R),通過分析,結(jié)合角平分線的性質(zhì),若有∠ABM=∠ABN,則有成立,利用兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化,以及比值的應(yīng)用得到關(guān)系式成立,得以證明∠ABM=∠ABN.
法律制度的制定與修改,其背后都蘊(yùn)含著社會現(xiàn)實(shí)生活對某一特定問題的關(guān)注和期待。然而并非所有的社會問題都會通過國家專項(xiàng)立法的方式予以明確性規(guī)定。以兒童健康權(quán)保護(hù)為例,我國目前并未就兒童健康權(quán)保護(hù)問題作出單獨(dú)立法,而有關(guān)于專項(xiàng)保護(hù)未成年人健康成長的法律規(guī)范,主要規(guī)定在了《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》等法律當(dāng)中。
(1)同解法1.
(2)證明:由于直線l的斜率可能不存在但不會為0,則可設(shè)直線l:x=my+2(m∈R),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
由得y2-2my-4=0,可知y1+y2=2m,y1y2=-4.
而A(2,0),B(-2,0),
可得|MA|2=m2y12+y12,|NA|2=m2y22+y22,|MB|2=(my1+4)2+y12,|NB|2=(my2+4)2+y22.
亦即(1+m2)[(my1+4)2y22-(my2+4)2y12]=0成立.
而(my1+4)2y22-(my2+4)2y12=[2my1y2+4(y1+y2)]·4(y2-y1)=(-8m+8m)·4(y2-y1)=0,
所以∠ABM=∠ABN.
解法5:(幾何法)通過改進(jìn),巧設(shè)直線l的方程為x=my+2(m∈R),通過分析,利用平面幾何方法,根據(jù)∠ABM=∠ABN的等價(jià)條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉(zhuǎn)化,結(jié)合平面幾何中對應(yīng)直角三角形相應(yīng)邊的比值的關(guān)系式的建立與轉(zhuǎn)化來分析,得以證明∠ABM=∠ABN.
(1)同解法1.
(2)證明:由于直線l的斜率可能不存在但不會為0,則可設(shè)直線l:x=my+2 (m∈R),M(x1,y1),N(x2,y2),結(jié)合圖1可知,y1>0,x1>0,x2>0,y2<0.
分別過點(diǎn)M,N作x軸的垂線,垂足分別為E,F(xiàn).
要證∠ABM=∠ABN,即證Rt△BFN∽Rt△BEM,即即證(my2+4)y1+(my1+4)y2=0.
而(my2+4)y1+(my1+4)y2=2my1y2+4(y1+y2)=-8m+8m=0,所以∠ABM=∠ABN.
(1)同解法1.
代入y2=2x得t2sin2θ-2tcosθ-4=0,可知
直線BM,BN的斜率之和為
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.
通過從多個不同角度來處理,巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來,多角度出發(fā),多方面求解,真正體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融會貫通,充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合,達(dá)到提升能力,拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”,在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”W