挖掘試題價(jià)值，提升復(fù)習(xí)水平
——基于試題研究的高三復(fù)習(xí)策略談

☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 湯連峰

著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”我們知道，數(shù)學(xué)解題是貫穿高三復(fù)習(xí)中的一條主線，在高中復(fù)習(xí)中占有非常大的比例；同時(shí)，檢測(cè)高三復(fù)習(xí)的成果也是通過(guò)數(shù)學(xué)解題來(lái)實(shí)現(xiàn).如何提高學(xué)生的解題能力一直是高三復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要課題.作為教師，每天都和不同的試題打交道，試題可謂是師生手頭最豐富的備考資源，如何用好手頭試題，充分挖掘試題的利用價(jià)值，是全面提升備考復(fù)習(xí)水平的關(guān)鍵所在.

一、一題多思，在聯(lián)系中加深概念理解

高三復(fù)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的復(fù)習(xí)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，沒(méi)有知識(shí)就談不上能力，更談不上創(chuàng)新，“無(wú)知無(wú)能”.要落實(shí)好數(shù)學(xué)中基本概念、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，做到充分理解與掌握，一清二楚，不存在盲點(diǎn)，應(yīng)用準(zhǔn)確.要求復(fù)習(xí)時(shí)形成知識(shí)體系，知識(shí)間融會(huì)貫通了，理解才會(huì)更深入和透徹.具體表現(xiàn)為審題時(shí)能充分理解題目?jī)?nèi)涵，一題多思，準(zhǔn)確切入.

例1 （2018年江蘇卷13）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為_(kāi)_____.

分析：試題是以三角形為載體、解三角形為背景的代數(shù)式的最值問(wèn)題.解三角形是融合“數(shù)”“形”于一體，是代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、平面向量、平面解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，解決此類問(wèn)題主要是根據(jù)三角形這一直觀圖形，并以此為切入點(diǎn)尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，探究解題的思路和方法.

思路1：（解三角形法思維）從三角形的面積切入，根據(jù)三角形的面積可a·BD·sin60°+c·BD·sin60°，整理可得ac=a+c，接下來(lái)再探求4a+c的最小值.

從余弦定理切入，根據(jù)余弦定理可得AD2=c2+1-2×c×1×cos60°=c2+1-c，CD2=a2+1-2×a×1×cos60°=a2+1-a，而根據(jù)角平分線定理可得，可得a2c2+c2-ac2=a2c2+a2-a2c，整理可得ac=a+c，接下來(lái)再探求4a+c的最小值.

思路2：（平面幾何法思維）從張角定理切入，根據(jù)張角定理有，可得=1，整理可得ac=a+c，接下來(lái)再探求4a+c的最小值.

從相似比切入，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，由于∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，可知∠EDB=∠DBC=∠ABD=60°，則△BDE為等邊三角形，即EB=ED=BD=1，而由DE∥BC，可得=1，整理可得ac=a+c，接下來(lái)再探求4a+c的最小值.

思路3：（平面向量法思維）從平面向量的線性運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：一題多思，可以思考問(wèn)題中的相關(guān)概念，也可以思考問(wèn)題中的切入角度或是其他的問(wèn)題.一題多思，為解決問(wèn)題提供思維角度，從不同思維角度切入，選取自己更熟悉、更熟練的方法與知識(shí)，結(jié)合題目來(lái)分析與求解，為正確解決提供必要的條件.

二、一題多解，在比較中優(yōu)化解題方法

一題多解能有效構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、加強(qiáng)知識(shí)間的相互溝通、打破思維定勢(shì)、培養(yǎng)思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生從多角度、多途徑、多知識(shí)尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓解題思路，進(jìn)而通過(guò)多種解法的對(duì)比與分析來(lái)選取最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，提升解題能力，增強(qiáng)思維品質(zhì)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2（2018年全國(guó)Ⅰ卷文11）已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A（1，a），B（2，b），且cos2α=，則|a-b|=（ ）.

分析：三角函數(shù)的求值問(wèn)題一直是高考中的常見(jiàn)題型，本題通過(guò)精妙的設(shè)計(jì)，把三角函數(shù)的定義、二倍角公式、半角公式、萬(wàn)能公式等三角函數(shù)的相關(guān)公式加以交匯，并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)加以融合與應(yīng)用.該題在解法上具有多樣性，解題切入口也不唯一，這樣更能很好地考查學(xué)生思維的靈活性、多樣性、拓展性.

解法1：（三角函數(shù)定義法1）根據(jù)三角函數(shù)定義，對(duì)照點(diǎn)A（1，a），可得，結(jié)合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=對(duì)照點(diǎn)B（2，b），可得，結(jié)合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=，解得b2=又由題可知ab＞0，不妨取，所以

解法6：（直線斜率公式+萬(wàn)能公式法2）根據(jù)三角函數(shù)定義有，根據(jù)萬(wàn)能公式可得，根據(jù)直線的斜率公式可得k=，所以

解法7：（直線斜率公式+萬(wàn)能公式法3）根據(jù)直線的斜率公式可得，根據(jù)萬(wàn)能公式可得，解得（b-a）2=，即|a-

點(diǎn)評(píng)：一道好的習(xí)題之所以能引起大家強(qiáng)烈的共鳴與反響，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想和思維方法.而一些高考真題就能很好地達(dá)到此目的.在日常教學(xué)過(guò)程中，教師精心選擇此類具有代表性的“一題多解”題目作為習(xí)題，通過(guò)一題多解等訓(xùn)練，可以極大地增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、一題多探，在研究中深化思維角度

針對(duì)高三復(fù)習(xí)中的試題，大部分是以往的高考題或模擬題，這些精選試題不少都凝結(jié)了命題專家的智慧和心血，有的背景深刻，有的內(nèi)涵豐富，有的立意高遠(yuǎn)，有的創(chuàng)意新穎等.解題時(shí)不能停留在表面，淺嘗輒止，要進(jìn)一步探究問(wèn)題深層次的內(nèi)涵，培養(yǎng)深入思考問(wèn)題的習(xí)慣，提升探究問(wèn)題的意識(shí)，培育核心素養(yǎng).

例3 （2018年上海卷12）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則最大值為_(kāi)_____.

分析：充分體會(huì)題目條件，以及對(duì)應(yīng)條件所代表的幾何意義，通過(guò)不同角度的轉(zhuǎn)化，以及不同知識(shí)點(diǎn)的滲透與交匯來(lái)達(dá)到綜合與應(yīng)用的目的，進(jìn)而利用幾何法與不等式的基本性質(zhì)法，分別從“形”的角度與“數(shù)”的角度來(lái)進(jìn)行解決與處理.

探究1：本題如何從題目條件切入？

探究2：本題有哪些基本的數(shù)學(xué)模型？

探究3：本題有哪些不同的解題方法？

探究4：本題中的一些條件或結(jié)論的改變可否進(jìn)行變式？

探究5：本題能否推廣到一般性的結(jié)論？

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)一道多探，可以提升解題的深度與廣度，掌握豐富的數(shù)學(xué)方法，學(xué)習(xí)樸素的數(shù)學(xué)原理，完成火熱的數(shù)學(xué)思考，使我們領(lǐng)悟解題方法，領(lǐng)悟解題思想，領(lǐng)悟問(wèn)題的深層次聯(lián)系，不停留表面，不拘泥題海，使同學(xué)們的解題能力和思維品質(zhì)向更深層次發(fā)展和升華.

四、一題多變，在辨析中夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

一題多變是在有效思考、探究的基礎(chǔ)上，不妨從一個(gè)熟悉的基本問(wèn)題著手，不斷改變題設(shè)中的某些關(guān)鍵條件或結(jié)論，將相近的問(wèn)題串起來(lái)，給學(xué)生形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提升學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心謹(jǐn)慎的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與能力都大有幫助.

例4（2018年全國(guó)Ⅱ卷文10）若f（x）=cosx-sinx在［0，a］上是減函數(shù)，則a的最大值是（ ）.

分析：結(jié)合三角恒等變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，通過(guò)三角函數(shù)單調(diào)性來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.也可以借助導(dǎo)數(shù)法或選項(xiàng)排除法來(lái)處理此題.而通過(guò)該題深入分析，拓展思維，改變條件，可以得到意想不到的效果.

變式1：若f（x）=sinx-cosx在［0，a］上是增函數(shù)，則a的最大值是（ ）.

（答案：C）

變式2：（2018年全國(guó)Ⅱ卷理10）若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］上是減函數(shù)，則a的最大值是（ ）.

（答案：A）

變式3：若f（x）=sinx-cosx在［-a，a］上是增函數(shù)，則a的最大值是（ ）.

（答案：A）

點(diǎn)評(píng)：看似簡(jiǎn)單的一道三角函數(shù)問(wèn)題，其實(shí)認(rèn)真分析，仔細(xì)探究，可以從不同角度展開(kāi)來(lái)解決，也可以通過(guò)不同方式加以拓展深入，得到變式，真正達(dá)到“認(rèn)真解答一個(gè)題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的目的.

喬治·波利亞對(duì)“善于解題”的進(jìn)一步闡述：“善于解題不完全在于解題的多少，還在于解題前的分析、探索和解題后的反思.”“工欲善其事，必先利其器”，高三復(fù)習(xí)千頭萬(wàn)緒，以試題為抓手，挖掘其潛在價(jià)值，促進(jìn)科學(xué)有效備考，無(wú)疑是值得嘗試、行之有效的一種方法.H