如何講好曲線的凹向及拐點這一節(jié)課

摘 要 曲線的凹向是高等數(shù)學(xué)在實際問題中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)概念之一，在教學(xué)中如何講好這一節(jié)課，讓學(xué)生能正確理解這一數(shù)學(xué)概念，是本文的要點。

關(guān)鍵詞 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹向 拐點

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的數(shù)學(xué)概念，在實際問題中，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛。曲線的凹向是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這一章節(jié)中的重要內(nèi)容。如何講好這一節(jié)課，使學(xué)生能夠直觀的正確的理解這一數(shù)學(xué)概念。下面我談一談在這一節(jié)課的教學(xué)中自己的一點體會。

1對教材進(jìn)行客觀的分析

（1）本教材是21世紀(jì)高等教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材，由南京大學(xué)出版社出版，作者：趙文正、夏安銘。本教材以掌握概念、強(qiáng)化應(yīng)用為出發(fā)點，注重講清概念、減少論證，加強(qiáng)對學(xué)生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)。因此在教學(xué)中一定要把握好“直觀理解”這個度。

曲線的凹向及拐點是高等數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，在教材的第三章第六節(jié)，它研究的是曲線的彎曲方向，在實際應(yīng)用中有著廣泛的意義。通過對曲線的凹向及拐點的研究，能更準(zhǔn)確的描繪出函數(shù)的圖象，反映了函數(shù)的變化情況，揭示了函數(shù)變化的一種性態(tài)，為我們以后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究打下了堅實的基礎(chǔ)。

（2）教學(xué)重點、難點。

教學(xué)重點：曲線的凹向及拐點的定義。

教學(xué)難點：曲線的凹向及拐點的實際應(yīng)用。

解決問題的關(guān)鍵是如何運用曲線的凹向及拐點的定義及判別法，在授課中要講清判別法的實際意義及作用，求函數(shù)拐點的具體步驟。

（3）教學(xué)目標(biāo)：

①知識目標(biāo)：正確地掌握曲線的凹向及拐點的定義、定理及判別法，曲線的凹向及拐點的具體應(yīng)用和實際意義。

②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式，正確地運用定義、定理解決實際問題。

③情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，認(rèn)真求實的學(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的科學(xué)思想————量變與質(zhì)變。

2準(zhǔn)備好復(fù)習(xí)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)內(nèi)容要緊扣本節(jié)課的概念

（1）高等數(shù)學(xué)在高職高專的教學(xué)課程中是一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能興趣不高或?qū)W習(xí)不太認(rèn)真。

（2）學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的概念理解不深，尤其是對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解的不透，可能會導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課中，出現(xiàn)思維障礙。因此，本節(jié)課復(fù)習(xí)的內(nèi)容是：

①導(dǎo)數(shù)的概念：重點講清導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指的是函數(shù)的變化率，它反映了函數(shù)在某一點變化的快慢程度。

②導(dǎo)數(shù)的幾何意義：講清的意義是曲線在點處切線的斜率。而是曲線在任意點處切線的斜率，又稱為導(dǎo)函數(shù)。讓學(xué)生建立起導(dǎo)函數(shù)的概念。

3對本節(jié)課教法的探討

（1）本節(jié)課是以講解曲線的凹向及拐點的定義為教學(xué)重點，繼而推出定理及判別法。定義和定理都是直接給出的，不需作理論上的證明，因此，本節(jié)課應(yīng)該選用講練結(jié)合的方法。在講解的過程中，語言要富有啟發(fā)性，重點、難點要突出，定義要準(zhǔn)確，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，正確理解曲線的凹向及拐點的所有內(nèi)涵。

（2）借用教具，做出直觀的幾何圖形，加強(qiáng)學(xué)生對曲線的凹向及拐點的理解，讓學(xué)生充分理曲線的凹向及拐點的抽象的意義和直觀意義。

首先讓學(xué)生觀察上述函數(shù)的兩種單調(diào)遞增情況，啟發(fā)學(xué)生注意曲線與切線的位置關(guān)系，從而得出上凹與下凹的定義。

第二，觀察上凹時不同點處曲線切線傾斜角的變化情況，由公式得出曲線切線斜率是單調(diào)遞增的。再利用復(fù)習(xí)內(nèi)容得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增的，由函數(shù)單調(diào)性的判別法當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增。得出如果當(dāng)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增時，就應(yīng)，進(jìn)而得出當(dāng)時曲線上凹結(jié)論。以此類推得出當(dāng)時，曲線下凹。

第三，在講授判別法時要做出函數(shù)的示意圖，通過圖形中函數(shù)切線斜率的變化情況，來理解上凹、下凹的規(guī)律，讓學(xué)生理解指得是曲線切線的斜率，指得是曲線切線斜率的變化率，從而正確理解曲線上凹與下凹的意義。

4啟發(fā)學(xué)生利用直觀分析的方法去得出結(jié)論

（1）讓學(xué)生正確理解定義、定理，理解時，曲線為上凹，時，曲線為下凹的含義，再引出拐點的定義及求拐點的具體方法。要講清拐點是坐標(biāo)平面上的一個點，要有橫縱坐標(biāo)，即。在講授完定義之后，引出一道相關(guān)的例題加以講解，再出示一道相關(guān)的習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)，提高學(xué)生對定義的認(rèn)識。

例1：求曲線的凹向區(qū)間及拐點.

練習(xí)：求曲線的凹向區(qū)間及拐點.

（2）指導(dǎo)學(xué)生利用定理、定義處理習(xí)題中出現(xiàn)的問題，解題時要注意函數(shù)的定義域、極值點、單調(diào)區(qū)間、凹凸性等等，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，針對實際問題加以論證，做到講練結(jié)合。

5教學(xué)過程分析

（1）講述曲線的凹向及拐點在高等數(shù)學(xué)中的重要作用。

（2）授課格式：

①復(fù)習(xí)導(dǎo)入：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

②導(dǎo)入課題：函數(shù)的彎曲方向。

③展示課題：定義1，作出圖示說明。

④概括定義：凹性的判別法，拐點的定義及具體求法。

⑤課堂練習(xí)：教師指導(dǎo)，學(xué)生練習(xí)，講解帶有共性的習(xí)題。

⑥課堂總結(jié)：

（i）曲線的凹性及拐點的定義；

（ii）曲線的凹性及拐點的判別法；

（iii）練習(xí)中出現(xiàn)的問題。

⑦布置作業(yè)：作業(yè)題要針對本次授課的內(nèi)容。

以上是我對本次課授課情況的一點體會。