探測器對(duì)量子增強(qiáng)馬赫-曾德爾干涉儀相位測量靈敏度的影響?

李詩宇 田劍鋒 楊晨 左冠華 張玉馳 張?zhí)觳?

1)(山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

2)(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

(2018年6月19日收到;2018年10月8日收到修改稿)

1 引 言

相位的精密測量是物理學(xué)領(lǐng)域中的重要內(nèi)容,提高干涉儀相位測量的靈敏度和準(zhǔn)確度,一直是人們不懈追求的目標(biāo).作為性能優(yōu)異的相干光源,激光已被廣泛應(yīng)用于精密測量領(lǐng)域.采用相干光源的干涉儀相位測量靈敏度可以達(dá)到經(jīng)典極限,該極限由真空漲落決定的標(biāo)準(zhǔn)量子極限[1]確定.利用了高質(zhì)量、高強(qiáng)度相干光源的光學(xué)干涉儀已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了引力波探測[2].早在20世紀(jì)80年代,Caves[1]提出了利用壓縮真空態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀,可以獲得超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限的相位測量靈敏度并獲得了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[3,4].1993年,Holland和Burnett[5]證明了在無振幅差噪聲的情況下,利用孿雙數(shù)態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀可以實(shí)現(xiàn)海森伯極限的相位靈敏測量.1998年,Kim等[6]提出利用孿雙數(shù)態(tài)注入干涉儀,結(jié)合光強(qiáng)差漲落測量或符合計(jì)數(shù)測量,可以達(dá)到海森伯極限的靈敏測量.2003年,Campos等[7]提出利用宇稱探測也可以實(shí)現(xiàn)海森伯極限的測量.2007年,Higgins等[8]結(jié)合單光子數(shù)態(tài)、自適應(yīng)測量和反饋控制,可以精確地測量未知相位的大小,且靈敏度超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限.2010年,Anisimov等[9]提出利用雙模壓縮真空態(tài)結(jié)合宇稱探測,實(shí)現(xiàn)海森伯極限靈敏度的測量.2011年,Seshadreesan等[10]將相干態(tài)和壓縮真空態(tài)按相同的光強(qiáng)比例混合注入干涉儀,利用宇稱探測達(dá)到海森伯極限的靈敏測量.2014年,我們也提出了利用光子數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)結(jié)合光子數(shù)可分辨探測和宇稱探測等手段,有效提高法布里-珀羅干涉儀的分辨率和靈敏度的方案,實(shí)現(xiàn)超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限的量子增強(qiáng)測量[11].除了壓縮態(tài)、孿雙數(shù)態(tài)以外,人們發(fā)現(xiàn)糾纏態(tài)也可以用于量子增強(qiáng)的超靈敏測量中[12].2007年,Nagata等[13]利用四光子糾纏的NOON態(tài)和后選擇測量,在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了打破標(biāo)準(zhǔn)量子極限的超分辨相位估計(jì).2010年,Gerry和Mimih[14]利用雙相干態(tài)結(jié)合宇稱探測實(shí)現(xiàn)了海森伯極限的靈敏測量.2011年,Joo等[15]利用糾纏相干態(tài)結(jié)合宇稱探測達(dá)到海森伯極限的靈敏測量.

上述工作中,人們通常假定探測過程是理想的,忽略了環(huán)境中的噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響.而實(shí)際過程中的傳輸損耗、相位擴(kuò)散、非理想的探測器都會(huì)不同程度減弱量子增強(qiáng)的效果.1999年,Kim等[16]分析了在非理想探測下,基于孿雙數(shù)態(tài)的符合計(jì)數(shù)測量對(duì)相位靈敏度的影響,發(fā)現(xiàn)不同的探測效率下最佳測量角不同,且被測相位在一定范圍內(nèi)可以打破標(biāo)準(zhǔn)量子極限.2008年,Gilbert等[17]分析了在干涉儀中存在損耗時(shí)基于NOON態(tài)的投影測量對(duì)相位靈敏度的影響,發(fā)現(xiàn)微小的損耗也會(huì)導(dǎo)致相位估計(jì)精度的急劇變差,甚至無法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限.2011年,Genoni等[18]分析了相位擴(kuò)散下的相位估計(jì)問題,利用量子Fisher信息對(duì)相移高斯態(tài)的測量精度極限進(jìn)行了評(píng)估,發(fā)現(xiàn)在很寬的噪聲范圍內(nèi),零差檢測幾乎是最優(yōu)的檢測方案.2012年,Genoni等[19]提出了一種可以控制相位擴(kuò)散的干涉方案,實(shí)驗(yàn)證明了在大相位擴(kuò)散下,相干態(tài)優(yōu)于壓縮態(tài)而成為最佳選擇,零差檢測和相干信號(hào)幾乎是檢測相移的最佳方法.2011年,Datta等[20]分析了孿雙數(shù)態(tài)注入干涉儀中,輸入狀態(tài)、損耗和檢測器效率對(duì)相位靈敏度量子增強(qiáng)效果的影響,發(fā)現(xiàn)損耗影響比較小,而輸入狀態(tài)的制備效率和檢測器效率的影響比較大.2012年,Xie和Peng[21]分析了干涉儀中光子損耗對(duì)壓縮疊加態(tài)注入干涉儀時(shí)相位靈敏度的影響,發(fā)現(xiàn)隨著損耗的增大,小壓縮下比大壓縮下靈敏度增大的速度要快得多.2016年,華東師范大學(xué)研究小組[22]在理論和實(shí)驗(yàn)上研究了SU(1,1)干涉儀中光場的衰減和吸收損耗對(duì)量子噪聲的影響,得到的結(jié)論是干涉儀中不同的損耗對(duì)輸出光場量子噪聲的影響不同,在某些情況下量子噪聲對(duì)損耗不敏感,幾乎不受損耗的影響.2017年,Xie和Chen[23]又分析了振幅阻尼、比特-相位翻轉(zhuǎn)這兩種量子噪聲對(duì)相干態(tài)、壓縮真空態(tài)、自旋壓縮態(tài)注入干涉儀時(shí)相位靈敏度的影響,發(fā)現(xiàn)靈敏度隨著振幅阻尼噪聲的增大而增大,甚至無法達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限,而相干態(tài)注入干涉儀的靈敏度不受比特-相位翻轉(zhuǎn)噪聲的影響,壓縮真空態(tài)、自旋壓縮態(tài)注入干涉儀的靈敏度隨著比特-相位翻轉(zhuǎn)噪聲的增大先增大后減小,且在大多數(shù)情況下,自旋壓縮態(tài)比其他兩種情況注入干涉儀時(shí)的增大速度快.

我們看到,損耗對(duì)不同量子資源和不同探測策略的影響不同.盡管人們已就光子數(shù)態(tài)和壓縮態(tài)對(duì)于相位測量靈敏度的量子增強(qiáng)作用進(jìn)行了討論[24],但損耗對(duì)相位測量靈敏度的影響針對(duì)某些特定量子態(tài)尚未研究.本文研究了非理想的探測效率,對(duì)采用光子數(shù)態(tài)、關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)三種量子光源注入的馬赫-曾德爾干涉儀相位測量靈敏度的影響,獲得了相位測量靈敏度與探測器量子效率的定量關(guān)系.研究表明,當(dāng)光子數(shù)態(tài)注入時(shí),相位測量靈敏度始終不能超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限;當(dāng)關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)注入時(shí),探測效率不得小于75%才可以超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限,獲得相位測量的量子增強(qiáng);對(duì)于壓縮真空態(tài),只要有壓縮光注入,就可以實(shí)現(xiàn)相位測量的量子增強(qiáng);相位靈敏度皆隨探測效率增大而不同程度的提高,壓縮真空態(tài)比關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)具有更好的量子增強(qiáng)效果.本文給出了量子增強(qiáng)的精密測量實(shí)驗(yàn)對(duì)探測效率的要求,這對(duì)結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行量子增強(qiáng)測量的研究具有重要意義.

2 馬赫-曾德爾干涉儀模型

馬赫-曾德爾干涉儀的基本模型如圖1所示.其中BS1和BS2是兩個(gè)無損且對(duì)稱的50:50的光學(xué)分束器,M1和M2是兩個(gè)全反鏡,1和2分別為馬赫-曾德爾干涉儀的入射端口,入射光場通過分束器BS1后沿著上下兩條路徑傳播,經(jīng)過分束器BS2后,被輸出端的兩個(gè)光電探測器所探測.通過分析探測器所輸出的光電流強(qiáng)度即可得到干涉儀兩條路徑間的相位信息.其中上下兩條路徑的相移分別為θ3和θ4,相位差θ=θ4?θ3.光學(xué)分束器在光學(xué)研究中是一種應(yīng)用廣泛且很重要的線性光學(xué)器件.在海森伯繪景下光場的湮滅算符與相應(yīng)的共軛產(chǎn)生算符滿足玻色對(duì)易關(guān)系[25]:馬赫-曾德爾干涉儀輸出端光場的湮滅算符滿足關(guān)系式:

圖1 馬赫-曾德爾干涉儀的基本模型Fig.1 .Mach-Zehnder interferometer.

在研究馬赫-曾德爾干涉儀模型時(shí),可以將其看成是一個(gè)SU(2)群的線性裝置,其角動(dòng)量算符的Schwinger表達(dá)式為[25]:

利用光強(qiáng)差測量方案研究馬赫-曾德爾干涉儀的相位測量靈敏度,設(shè)光強(qiáng)差測量算符滿足關(guān)系式根據(jù)誤差傳遞公式得到相位測量靈敏度?θ,可由(4)式確定[26]:

3 理論分析

實(shí)驗(yàn)中,測量儀器不可能是理想的,探測器量子效率小于1[27].非理想探測會(huì)影響相位測量的靈敏度[16,20].本文分析了當(dāng)光子數(shù)態(tài)、關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)分別注入馬赫-曾德爾干涉儀時(shí),探測器量子效率對(duì)相位測量靈敏度的影響,其中相干光場作為本底光作為信號(hào)放大作用出現(xiàn).假設(shè)光電探測器量子效率為η,則在探測器處被探測到的光場模式的湮滅算符滿足關(guān)系式:其中和分別為光場進(jìn)入探測器時(shí)輸入模式和真空模式的湮滅算符.為了便于計(jì)算,假設(shè)在馬赫-曾德爾干涉儀兩個(gè)輸出口探測器量子效率都為η,則在干涉儀的兩個(gè)輸出端口處探測器對(duì)輸出光場的湮滅算符分別表示為實(shí)際探測到的平均光子數(shù)為

3.1 光子數(shù)態(tài)注入

此時(shí)θ為最優(yōu)測量相位.當(dāng)η=1時(shí),得到理想情況下的相位測量靈敏度為

另外,當(dāng)入射的光子數(shù)態(tài)和相干態(tài)的平均光子數(shù)相等時(shí),即m=n時(shí),根據(jù)海森伯?dāng)?shù)相不確定關(guān)系?n?θ>1[28]可知,當(dāng)?n=0,無論量子效率是多少,相位靈敏度發(fā)散為無窮大,即?θ→∞,此時(shí)不適合量子相位靈敏度測量.

下面分析η=1時(shí)被測相位的靈敏度如何隨數(shù)態(tài)光子數(shù)的變化.假設(shè)入射相干態(tài)的平均光子數(shù)m=1000,則測量相位在最優(yōu)處時(shí),歸一化相位測量靈敏度如圖2所示.可知數(shù)態(tài)的注入使得靈敏度降低,其中n=0表示只有相干態(tài)(m=1000)注入,歸一化相位測量靈敏度等于1,此時(shí)靈敏度最小,而隨著光子數(shù)的增加,對(duì)應(yīng)的歸一化標(biāo)準(zhǔn)量子極限為1.因此光子數(shù)態(tài)和相干態(tài)同時(shí)注入到干涉儀時(shí),并不能超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限.這與數(shù)態(tài)的性質(zhì)一致,因?yàn)閿?shù)態(tài)具有最穩(wěn)定的振幅,其相位起伏最大,不利于相位的測量.

圖2 歸一化相位測量靈敏度隨數(shù)態(tài)光子數(shù)的變化Fig.2 .Normalized phase measurement sensitivity as the number of photons.

3.2 關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)注入

早在1986年,Yurke等[25]就提出過可以構(gòu)造一種關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀,實(shí)現(xiàn)相位測量的靈敏度接近海森伯極限.考慮這樣一種入射態(tài):

由此可知當(dāng)測量相位在最優(yōu)處時(shí)有sinθ=0,最佳靈敏度為

當(dāng)η=1時(shí),得理想情況下的相位測量靈敏度為[25]

當(dāng)N ? 1時(shí),靈敏度?θ～ 2/N,接近海森伯極限. 為了實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng),對(duì)探測器量子效率有一定的要求. 當(dāng)?θη,N< ?θη,SQL時(shí),為存在損耗時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)量子極限,即

由此可知,N ? 2時(shí),η>75%,即探測器量子效率必須大于75%才可以實(shí)現(xiàn)相位測量的量子增強(qiáng).

3.3 壓縮真空態(tài)注入

利用光強(qiáng)差探測方案得到在探測器量子效率為η時(shí),相位測量靈敏度為

當(dāng)η=1時(shí),得到理想情況下我們熟知的相位測量靈敏度[24]

該靈敏度超越了標(biāo)準(zhǔn)量子極限.考慮探測不理想情況下,要實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng)需滿足?θη,ξ<是存在損耗時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)量子極限,即

因?yàn)閑?2r<1,所以(19)式恒成立,即只要有壓縮光注入,原則上只要探測效率不為0,就總是可以實(shí)現(xiàn)一定程度的量子增強(qiáng).

4 結(jié)果與討論

1999年,Kim等[16]討論了探測器效率對(duì)孿雙數(shù)態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀相位靈敏度的影響,得到的結(jié)論是相位角在很小的范圍內(nèi)可實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng),并且存在一個(gè)最優(yōu)的相位角,隨著探測效率的增大,獲得量子增強(qiáng)的相位角的范圍也變大,在不同的探測效率下,最優(yōu)相位角也不同.而探測效率對(duì)于關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入的馬赫-曾德爾干涉儀相位靈敏度的影響之前沒有討論過.在這里我們進(jìn)一步分析關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀,探測器量子效率η對(duì)相位測量靈敏度的影響.將相位測量靈敏度歸一化到標(biāo)準(zhǔn)量子極限.為了討論的一致性,利用壓縮度s和平均光子數(shù)的關(guān)系得到和壓縮度對(duì)應(yīng)的平均光子數(shù),將壓縮度采用平均光子數(shù)進(jìn)行描述.這樣我們就可以得到關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀,當(dāng)測量相位處于最優(yōu)處,歸一化相位測量靈敏度隨探測器效率的變化,結(jié)果如圖3所示.圖3(a)為不同光子數(shù)(4,6,8,10,100)下的結(jié)果.光子數(shù)4,100對(duì)應(yīng)的線和標(biāo)準(zhǔn)量子極限(黑色虛線)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的效率分別為83.33%,75.25%,對(duì)應(yīng)于該條件下獲得量子增強(qiáng)所需要的最小探測效率;隨著光子數(shù)的增大,需要的最低探測效率逐步降低,直到最低要求的量子效率75%.圖3(b)為壓縮真空態(tài)注入的結(jié)果.由此可以看出,靈敏度都隨探測效率的增加而不同程度地提高.比較而言,相同能量下,壓縮真空態(tài)的相位測量靈敏度比關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)更加超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限,顯示了壓縮真空態(tài)具有更好的量子增強(qiáng)效果.

為了進(jìn)一步比較關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入干涉儀的量子增強(qiáng)受探測效率的影響,我們定義量子增強(qiáng)參數(shù)p為歸一化到標(biāo)準(zhǔn)量子極限的相位測量靈敏度的負(fù)對(duì)數(shù)值.這樣定義的量子增強(qiáng)參數(shù)p是大于零的實(shí)數(shù),值越大量子增強(qiáng)越大.根據(jù)該定義,得到對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)和壓縮真空態(tài)注入時(shí)的量子增強(qiáng)參數(shù)pN和pξ分別為

兩種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的量子增強(qiáng)比為rp=pξ/pN.如果rp>1,壓縮真空態(tài)獲得的量子增強(qiáng)大;如果rp<1,關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)獲得的量子增強(qiáng)大.圖4為關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入干涉儀,當(dāng)測量相位處于最優(yōu)處的量子增強(qiáng)比較.從圖4可以看到,rp總是大于1,說明壓縮真空態(tài)所獲得的量子增強(qiáng)總是比關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)大.關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)在光子數(shù)4,6,8,10,20,100時(shí),實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng)所需最小探測器量子效率分別為83.33%,80%,78.57%,77.78%,76.32%,75.25%.另外當(dāng)關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)光子數(shù)為2,需要探測器量子效率為1才能實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng);基于以上分析可知,當(dāng)探測器量子效率和平均光子數(shù)都相同時(shí),壓縮真空態(tài)比關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)注入馬赫-曾德爾干涉儀所獲得的量子增強(qiáng)效果更好.

圖3 相位測量靈敏度隨探測效率的變化 (a)關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)注入的結(jié)果;(b)壓縮真空態(tài)注入的結(jié)果Fig.3 .Phase sensitivity as a function of detection quantum efficiency:(a)Results of correlated Fockstate injection;(b)results of squeezed vacuum state injection.

圖4 關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)注入干涉儀的量子增強(qiáng)比較(虛線對(duì)應(yīng)的值等于1)Fig.4 .Comparison of the quantum enhancement for correlated Fock-state,squeezed vacuum state injection(The black dotted line is equal to 1).

前面我們討論了探測效率對(duì)壓縮態(tài)和相干態(tài)注入到馬赫-曾德爾干涉儀中相位靈敏度的影響.這一結(jié)果可以應(yīng)用到引力波探測系統(tǒng)中,探測效率的提高可以提高引力波探測器的靈敏度.在GEO 600[29,30]引力波探測中,利用高質(zhì)量、高強(qiáng)度的相干光和壓縮光注入到邁克耳孫干涉儀,演示了探測靈敏度的增強(qiáng).當(dāng)考慮探測效率時(shí),引力波探測的靈敏度為

式中

為信號(hào)放大因子,T為信號(hào)回收鏡的功率透射率;λ,P和c分別為入射的相干光的波長、功率和波速,l為干涉儀的臂長;f是由于引力波通過干涉儀而引起反射鏡振蕩的頻率.根據(jù)GEO 600[29]引力波探測中提供的參數(shù):T=1.9%,λ=1064 nm,P=3.7 kW,c=3×108m/s,l=1200 m,當(dāng)壓縮光是16 dB時(shí),e?2r=0.025.η是光功率輸入到輸出的傳輸系數(shù),可等效為我們討論的干涉儀系統(tǒng)中的探測效率;1?η是總損耗的累積,包括光的散射、吸收、模式失配、光探測等,可等效為探測的總損耗.當(dāng)頻率低于100 Hz時(shí)量子輻射壓力噪聲(quantum radiation pressure noise)為主要噪聲,當(dāng)頻率高于100 Hz時(shí)散粒噪聲為主要噪聲[30,31].本系統(tǒng)是在打破散粒噪聲情況下分析的,所以考慮頻率高于100 Hz的情形.圖5為在頻率為300—5000 Hz時(shí),引力波探測器的靈敏度隨探測效率的變化曲線,當(dāng)探測效率提高時(shí),引力波探測器的靈敏度也提高了.

圖5 引力波探測器的靈敏度隨探測效率的變化Fig.5 .Sensitivity of gravitational-wave detector versus detection efficiency.

5 結(jié) 論

本文研究了強(qiáng)度差測量方案下,探測效率對(duì)光子數(shù)態(tài)、關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)、壓縮真空態(tài)三種量子光源注入馬赫-曾德爾干涉儀相位測量靈敏度的影響.研究表明:光子數(shù)態(tài)注入時(shí),相位測量靈敏度始終不能超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限;對(duì)于關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)的注入,要獲得相位測量的量子增強(qiáng)效應(yīng),探測器量子效率不得小于75%;對(duì)于壓縮真空態(tài),只要存在壓縮,原則上就可以實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng).無論何種情況,相位測量靈敏度皆隨探測器的量子效率增大而不同程度的提高,且在相同的探測效率和平均光子數(shù)下,壓縮真空態(tài)比關(guān)聯(lián)數(shù)態(tài)所獲得的量子增強(qiáng)效果要好.一般情況下,探測效率對(duì)量子增強(qiáng)有顯著影響,而這種影響與量子資源和測量策略有關(guān).這項(xiàng)研究針對(duì)壓縮真空等已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生的優(yōu)質(zhì)量子資源和常用的馬赫-曾德爾干涉儀,因此所得到的結(jié)論具有一定的代表性,使我們認(rèn)識(shí)到實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng)必須對(duì)探測器提出相應(yīng)的要求.這對(duì)人們在實(shí)際應(yīng)用中,比如引力波的探測,希望通過馬赫-曾德爾干涉儀實(shí)現(xiàn)相位靈敏度超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限的測量,具有重要的指導(dǎo)意義.