偶極玻色-愛因斯坦凝聚體在類方勢(shì)阱中的Bénard-von Kármán渦街?

席忠紅1)2)3) 楊雪瀅1)2) 唐娜1)2) 宋琳1)2) 李曉霖1)2) 石玉仁1)2)?

1)(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

2)(甘肅省原子分子物理與功能材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730070)

3)(甘肅民族師范學(xué)院物理與水電工程系,合作 747000)

(2018年8月28日收到;2018年9月26日收到修改稿)

1 引 言

當(dāng)玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate,BEC)體系中存在大量渦旋成核時(shí),這些渦旋的排列方式是一個(gè)非常值得研究的物理問題[1,2].俄國物理學(xué)家Abrikosov[3]在研究超導(dǎo)理論時(shí)最先討論了量子化的渦旋結(jié)構(gòu),并提出了Abrikosov三角渦旋晶格,之后其他物理學(xué)家在單分量BEC中也發(fā)現(xiàn)了Abrikosov三角渦旋晶格[4].然而,隨著對(duì)此類問題研究的不斷深化,研究人員發(fā)現(xiàn),BEC中的渦旋結(jié)構(gòu)不僅僅局限在三角晶格結(jié)構(gòu)[5].實(shí)驗(yàn)和理論研究表明,由于BEC系統(tǒng)受到相互作用、外勢(shì)、多分量、旋轉(zhuǎn)角頻率等諸多因素的影響,系統(tǒng)有更加新奇的渦旋結(jié)構(gòu)[1,5].

當(dāng)經(jīng)典流體流過障礙物時(shí),一種普遍而有趣的現(xiàn)象是在尾流中交替產(chǎn)生渦旋對(duì),這就是著名的Bénard-von Kármán渦街[6?8].自從實(shí)驗(yàn)和理論上發(fā)現(xiàn)von Kármán渦街以后,物理學(xué)家對(duì)其做了大量研究.眾所周知,當(dāng)黏性流體流過障礙物時(shí)其行為主要取決于表征流體黏性的雷諾系數(shù)Re[6,7],然而,由于超流體無黏性,導(dǎo)致無法定義其黏性系數(shù)[9].超流體渦旋的量子化使得其動(dòng)力學(xué)行為與經(jīng)典流體有很大區(qū)別[10],因此在超流體的尾流中能否產(chǎn)生并形成穩(wěn)定的von Kármán渦街就成為一個(gè)有意義的課題.近幾年物理學(xué)家就該領(lǐng)域做了大量研究,取得了很多成果.Sasaki等[11]通過數(shù)值求解Gross-Pitaevskii(GP)方程,成功模擬了無偶極相互作用BEC尾流中出現(xiàn)的穩(wěn)定von Kármán渦街,給出了其相圖.Kwon小組[12?14]從實(shí)驗(yàn)上研究了障礙勢(shì)在稀薄原子氣體BEC中運(yùn)動(dòng)時(shí)尾流中的von Kármán渦街.Sasaki等[15]研究了雙組分BEC中分離相的動(dòng)力學(xué)行為,發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)相分離情形下,組分1的原子在組分2中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)分裂成量子化渦旋并在尾流中形成von Kármán渦街.

當(dāng)超冷原子氣體的電偶極或磁偶極的相互作用不可忽略時(shí),須考慮原子間的偶極效應(yīng).偶極效應(yīng)遠(yuǎn)比各向同性的s波作用復(fù)雜得多,是一種長(zhǎng)程各向異性的相互作用,會(huì)對(duì)超冷原子氣體的基態(tài)相圖、穩(wěn)定性以及動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生重要影響[15?19].此外,偶極間的各向異性相互作用也提供了一個(gè)可控參量,使得偶極凝聚體在量子模擬和計(jì)算等許多高水平的研究領(lǐng)域有了應(yīng)用的可能[20].但據(jù)我們所知,偶極BEC中的渦街現(xiàn)象一直未有報(bào)道.

本文對(duì)偶極BEC在類方勢(shì)阱中的Bénard-von Kármán渦街現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值研究.結(jié)果表明,當(dāng)障礙勢(shì)在BEC中的運(yùn)動(dòng)速度與尺寸在適當(dāng)范圍內(nèi)時(shí),系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的兩列渦旋對(duì)陣列,即Bénard-von Kármán渦街.本文也研究了偶極相互作用強(qiáng)弱、障礙勢(shì)尺寸以及運(yùn)動(dòng)速度對(duì)尾流中產(chǎn)生的渦旋結(jié)構(gòu)的影響,得到了相圖結(jié)構(gòu),并對(duì)障礙勢(shì)所受拖拽力進(jìn)行計(jì)算,分析了渦旋對(duì)產(chǎn)生的力學(xué)機(jī)理.

2 理論模型

考慮質(zhì)量為m的偶極原子BEC束縛在勢(shì)阱Vext中,障礙勢(shì)VOP在BEC中沿x方向以速度υ運(yùn)動(dòng).設(shè)原子沿軸n=(nx,ny,nz)極化,其中在平均場(chǎng)近似下,可以得到描述系統(tǒng)的GP方程[19?22]

偶極相互作用為

實(shí)驗(yàn)中,BEC原子通常被置于諧振子勢(shì)阱中.若諧振子勢(shì)頻率滿足ωz?ωx,ωy,則BEC將被束縛在xoy平面內(nèi).此時(shí),可先進(jìn)行準(zhǔn)2維近似[22],然后進(jìn)行無量綱化處理:,并略去變量上的”～”號(hào),其中,ω0= ωx,從而得無量綱化準(zhǔn)二維GP方程[25]

方程(4)中

為完全誤差函數(shù),γz=ωz/ω0.

數(shù)值計(jì)算針對(duì)方程(4)進(jìn)行,計(jì)算范圍取為{(x,y)||x|<512,|y|<128}.用φ=1作為初始波函數(shù),利用虛時(shí)演化法[26]得到系統(tǒng)的基態(tài).然后取該基態(tài)作為初始條件,利用時(shí)間劈裂傅里葉譜方法[27]對(duì)GP方程(4)進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)演化,從而對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.

3 數(shù)值結(jié)果

考慮外勢(shì)為下面的類方勢(shì)阱[28]

其中V0是無量綱化的外勢(shì)深度;±x0,±y0分別表示x,y方向上阱壁所在位置.該勢(shì)阱的特點(diǎn)是在阱壁處勢(shì)很強(qiáng)而阱內(nèi)離開阱壁處勢(shì)很快降為接近于0,故可視為對(duì)無限深方勢(shì)阱的一種近似.當(dāng)V0=1000時(shí)外勢(shì)形狀如圖1所示.

圖1 外勢(shì)形狀圖 (取外勢(shì)深度V0=1000,阱壁位置x0=512,y0=128)Fig.1 .Shape of external potential(The depth of external potential is V0=1000,and the position of a potential wall is x0=512,y0=128).

將N=2.5×105個(gè)164Dy原子BEC束縛在該勢(shì)阱中,164Dy原子磁偶極矩為10μB(μB為玻爾磁子),原子質(zhì)量m=2.72×10?25kg.取諧振子勢(shì)頻率(ωx,ωy,ωz)=2π×(4.3,56,350)Hz,這與Berkeley等團(tuán)隊(duì)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)一致[11].由此可得偶極相互作用系數(shù)add≈0.2.通過Feshbach共振調(diào)節(jié)s波散射長(zhǎng)度使as≈8.0×10?13m時(shí),由得g≈1.故在計(jì)算中取add=0.2,g=1.考慮無量綱化的圓柱形障礙勢(shì)

圖2 障礙勢(shì)在偶極BEC中運(yùn)動(dòng)時(shí)尾流密度分布 (a)υ=0.25,d=1.2;(b)υ=0.49,d=1.2;(c)υ=0.48,d=1.8;(d)υ=0.55,d=1.82Fig.2 .Density distributions of a condensate past an obstacle potential:(a)υ=0.25,d=1.2;(b)υ=0.49,d=1.2;(c)υ=0.48,d=1.8;(d)υ=0.55,d=1.82.

從圖2可以看出,當(dāng)障礙勢(shì)的運(yùn)動(dòng)速度υ足夠小時(shí),障礙勢(shì)周圍的凝聚體是穩(wěn)定的層流形式,沒有渦旋產(chǎn)生(圖2(a)).當(dāng)障礙物勢(shì)的運(yùn)動(dòng)速度υ達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí),尾流中開始產(chǎn)生如圖2(b)所示的渦旋-反渦旋對(duì).這個(gè)臨界值主要取決于障礙物勢(shì)的形狀和原子之間的相互作用[9].當(dāng)一對(duì)渦旋從障礙勢(shì)脫落后,附近的凝聚體很快達(dá)到產(chǎn)生渦旋的臨界條件并產(chǎn)生新的渦旋對(duì),這樣就在障礙勢(shì)后面產(chǎn)生了上下兩列渦旋對(duì)陣列.由于一個(gè)渦旋對(duì)中的兩個(gè)點(diǎn)渦旋有著不同的旋量±h/m(h為普朗克常量),使得兩列對(duì)稱分布的渦旋對(duì)陣列不穩(wěn)定[11].受到小的擾動(dòng)時(shí),渦旋對(duì)會(huì)沿著垂直于渦旋對(duì)連線的方向(圖2(b)黑色箭頭所示方向)平動(dòng),從而在尾流中形成V字形渦旋對(duì)陣列結(jié)構(gòu).一些學(xué)者在研究經(jīng)典流體時(shí)也發(fā)現(xiàn)了這種交替的渦旋模式[29?31].這種渦旋結(jié)構(gòu)在υ比較大、d比較小時(shí)更加明顯,與經(jīng)典流體中的尾流模式非常類似[11].

當(dāng)障礙勢(shì)的運(yùn)動(dòng)速度υ增大到一定程度并且障礙物的尺寸d在適當(dāng)范圍內(nèi)時(shí),其后同時(shí)產(chǎn)生的一組渦旋對(duì)具有相同的旋量h/m或?h/m,以角頻率2~/(md20)繞著它們的中心運(yùn)動(dòng)[11],在運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)點(diǎn)渦旋之間的距離d0基本保持不變.這樣,在尾流中交替產(chǎn)生的旋量相反的渦旋對(duì)就形成穩(wěn)定的兩列渦旋對(duì)陣列,即Bénardvon Kármán渦街(圖2(c)). 在圖2(c)參數(shù)條件下,數(shù)值計(jì)算得到上下兩列渦旋陣列之間的距離b≈19a0,同一陣列中兩個(gè)渦旋對(duì)之間的平均距離?≈68a0,因此b/?≈0.28.該值與經(jīng)典流體中Bénard-von Kármán渦街產(chǎn)生的穩(wěn)定性條件以及Sasaki等在研究無偶極相互作用BEC時(shí)的結(jié)論一致.當(dāng)障礙勢(shì)的運(yùn)動(dòng)速度υ繼續(xù)增大時(shí),障礙物勢(shì)后尾流中的這種周期性渦街消失,在尾流中出現(xiàn)混亂的渦旋結(jié)構(gòu)(圖2(d)).

為研究各種尾流結(jié)構(gòu)的參數(shù)區(qū)間,我們對(duì)系統(tǒng)在不同υ和d時(shí)的情形進(jìn)行了大量數(shù)值計(jì)算(圖3為其相圖結(jié)構(gòu)).

圖3 尾流結(jié)構(gòu)隨障礙勢(shì)尺寸d和運(yùn)動(dòng)速度υ的變化Fig.3 .Dependence of the patterns of wakes on the normalized width d and velocity υ of the obstacle potential.

從圖3可以看出,沿圖中箭頭所示方向改變參數(shù)時(shí),障礙物勢(shì)后尾流的結(jié)構(gòu)依次出現(xiàn)穩(wěn)定的層流、渦旋對(duì)、von Kármán渦街以及混亂的渦旋結(jié)構(gòu),分別與圖2(a)—(d)相對(duì)應(yīng).顯然,von Kármán渦街出現(xiàn)的參數(shù)范圍相對(duì)較小,具體約為1.0 6 d 6 3.4,0.37 6 υ 6 0.54.圖3與無偶極相互作用時(shí)的相圖結(jié)構(gòu)也存在較大不同.在無偶極相互作用的BEC中(add=0),d>1.5時(shí),尾流從穩(wěn)定的層流直接過渡到卡門渦街或者混亂模式,而不會(huì)出現(xiàn)圖3中較寬范圍的渦旋對(duì)結(jié)構(gòu).同時(shí),隨著偶極相互作用強(qiáng)度的增加,相圖中von Kármán渦街出現(xiàn)的參數(shù)區(qū)域變得更窄.然而,對(duì)于經(jīng)典流體,在雷諾數(shù)Re變化的較大范圍內(nèi)都會(huì)出現(xiàn)von Kármán渦街[32?35].

以上數(shù)值結(jié)果容易在實(shí)驗(yàn)中得以實(shí)現(xiàn).考慮將N=2.5±0.5×105個(gè)164Dy(磁偶極矩為10μB)或52Cr(磁偶極矩為6μB)或168Er(磁偶極矩為7μB)等原子BEC束縛在方勢(shì)阱中,取諧振子勢(shì)頻率(ωx,ωy,ωz)=2π × (4.3,56,350)Hz[11]. 此時(shí),偶極相互作用系數(shù)add≈0.2.通過Feshbach共振調(diào)節(jié)s波散射長(zhǎng)度使接觸相互作用系數(shù)g≈1.當(dāng)尺寸

圖4 無量綱化拖拽力?F隨時(shí)間的變化(a)υ=0.49,d=1.2;(b)υ=0.48,d=1.8;(c)υ=0.55,d=1.8Fig.4 .Time evolution of the normalized drag force?F:(a)υ=0.49,d=1.2;(b)υ=0.48,d=1.8;(c)υ=0.55,d=1.8.

為1.0a06 d 6 3.4a0的激光束以速度在偶極BEC中運(yùn)動(dòng)時(shí),將會(huì)在激光束后尾流中周期性產(chǎn)生渦旋對(duì),形成穩(wěn)定的Bénard-von Kármán渦街.

若考慮將N=2.0±0.5×103個(gè)164Dy原子BEC束縛在類方勢(shì)阱中,通過Feshbach共振調(diào)節(jié)s波散射長(zhǎng)度as=4.08×10?9m ≈ 77aB,aB為玻爾半徑.此時(shí)接觸相互作用系數(shù)g≈100,偶極相互作用系數(shù)add≈20(其他參數(shù)與前面相同),仍有add/g=0.2.數(shù)值結(jié)果表明,此時(shí)也會(huì)出現(xiàn)圖2(c)中所示的Bénard-von Kármán渦街現(xiàn)象.

4 結(jié) 論

對(duì)偶極BEC在類方勢(shì)阱中的Bénard-von Kármán渦街現(xiàn)象進(jìn)行了研究.在平均場(chǎng)近似下,通過虛時(shí)演化法得到系統(tǒng)的基態(tài),然后利用時(shí)間劈裂傅里葉譜方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)演化,發(fā)現(xiàn)障礙勢(shì)在偶極BEC系統(tǒng)中以一定速度運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的兩列渦旋對(duì)陣列,即Bénardvon Kármán渦街;數(shù)值研究了偶極相互作用強(qiáng)弱、障礙物勢(shì)尺寸以及運(yùn)動(dòng)速度對(duì)尾流中產(chǎn)生的渦旋結(jié)構(gòu)的影響,得到了系統(tǒng)的相圖結(jié)構(gòu);通過對(duì)障礙勢(shì)所受拖拽力進(jìn)行計(jì)算,分析了渦旋對(duì)產(chǎn)生的力學(xué)機(jī)理.