圖形相似中的數(shù)學(xué)思想

文/于 濤 胡尊巖

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)內(nèi)容進一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識.下面把相似中常用的數(shù)學(xué)思想歸納如下.

一、方程思想

例 1 如圖1，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則S△ABC=（ ）.

A.16 B．18 C．20 D．24

解析：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，

∵AB=3AE，∴ AE∶AB=1∶3，

∴S△AEF∶S△ABC=1∶9，

設(shè)S△AEF=x，

∵S四邊形BCFE=16，∴，

圖1

解得x=2，∴S△ABC=18. 選B．

二、分類討論思想

例2如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，，AC=12，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，P為線段A′B′上的動點，以點P為圓心，PA′長為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為_____．

解析：如圖2，當(dāng)⊙P與直線AC相切于點Q時，連接PQ．

圖2

設(shè)BC=5x，則AB=13x，

∴AB2-BC2=AC2，

（13x）2-（5x）2=122，

∴x=1，

∴AB=13，BC=5.

設(shè)PQ=PA′=r，

∵PQ∥CA′，

如圖3，當(dāng)⊙P與AB相切于點T時，易證A′，B′，T共線，

∵△A′BT∽△ABC，

圖3

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖4所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時∠AEB=∠FED），測得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，F(xiàn)D=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

解析：如圖4，∵FM//BD，

∴∠FED=∠MFE=45°，

∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，∴∠FEA=90°，

∵∠FDE=∠ABE=90°，∴△FDE∽△ABE，

圖4

在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°=，，∴AB=1.8×10.02≈18.

四、轉(zhuǎn)化思想

例4如圖5，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（ ）.

圖5

解析：∵DE∥BC，

選C．

五、函數(shù)思想

例 5如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求△BDE的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？

解析：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∴當(dāng)x=2時，S有最大值，且最大值為6．

圖6