☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉丹丹
☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)成宏喬
自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將模型思想作為十個(gè)核心概念之一提出后,教師對(duì)模型思想運(yùn)用和滲透的研究更加深入,在日常的教學(xué)中也經(jīng)常灌輸,但對(duì)學(xué)生而言,建立數(shù)學(xué)模型(尤其是幾何建模)難度很大,體會(huì)和理解模型思想需要知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累.本文就結(jié)合一些例題談?wù)剬?duì)幾何建模教學(xué)的幾點(diǎn)思考.
圖1
例1如圖1,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AB=2,則PB+PE的最小值是_______.
本題的幾何背景是菱形,根據(jù)對(duì)稱性,可將線段BP轉(zhuǎn)化為線段DP,從而求線段DP+EP的最小值.由“兩點(diǎn)之間,線段最短”,可知當(dāng)D、P、E在同一條直線上時(shí),所求和最短.若取線段AD的中點(diǎn)M,將線段EP轉(zhuǎn)化成線段MP,同樣可以求解.
本題是典型的“將軍飲馬”問題,學(xué)生對(duì)此模型比較熟悉,有不少學(xué)生很快就能完成,但是詢問學(xué)生“為什么這么做”時(shí),學(xué)生基本上答不上來,解決本題主要依靠解題經(jīng)驗(yàn),即“題海戰(zhàn)”的成果.甚至有教師在教學(xué)時(shí)根據(jù)題目的條件“有兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”,從而把這種模型稱為“兩定一動(dòng)”,以至于還有“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”等模型.建議教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí),還是要考慮問題的本質(zhì)屬性.對(duì)于本題,可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化,直觀地構(gòu)建“線段”.在教學(xué)中,如果對(duì)構(gòu)建“兩點(diǎn)之間,線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)模型進(jìn)行分析、比較,學(xué)生可以更清晰地認(rèn)識(shí)到它們的區(qū)別,提升建立模型的能力.
圖2
例2如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,求線段CP長(zhǎng)的最小值.
本題由條件“AB⊥BC”和“∠PAB=∠PBC”可得∠APB=90°,由圓周角定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”構(gòu)造圓,再根據(jù)直線外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的關(guān)系確定CP的最小值.或作AB邊上的中線PM,得到△PMC,再用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”解決.
本題難度較大,上述兩種方法均需“構(gòu)造”出數(shù)學(xué)模型,主要讓學(xué)生運(yùn)用好間接條件“直角”,而在初中數(shù)學(xué)里,與“直角”有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)較多,如何使學(xué)生通過思考、判斷,運(yùn)用上述方法解決是難點(diǎn).對(duì)于一些學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生,教師可以給他們思考的時(shí)間,讓他們自己去體會(huì)和構(gòu)造.而對(duì)于學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生,在做本題時(shí),教師需做好知識(shí)鋪墊,與學(xué)生一起“回憶”直角的知識(shí),然后進(jìn)行模型構(gòu)造.
圖3
例3如圖3,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,求A′C長(zhǎng)度的最小值.
本題由于圖形翻折,得到結(jié)論AM=DM=A′M,根據(jù)圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”,從而構(gòu)造圓.或者構(gòu)造△CMA′,由于線段MA′和CM的長(zhǎng)度確定,可以運(yùn)用三角形三邊關(guān)系的知識(shí)解決.
深入理解數(shù)學(xué)定義尤為重要,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).翻折作為全等變換的一種,學(xué)生可從中得到很多信息,如全等、對(duì)稱等,教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生在眾多的信息中找出“AM=A′M”是解題的關(guān)鍵.應(yīng)該根據(jù)條件之間的關(guān)系進(jìn)行思考,結(jié)合條件“點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)”,得到“AM=DM”,因?yàn)檫@兩個(gè)結(jié)論均和線段AM有關(guān),所以聯(lián)系起來的可能性很大.運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題中最關(guān)鍵的一步就是建立正確、合理的數(shù)學(xué)模型,這需要在繁多的條件及復(fù)雜的關(guān)系中找出最基本的特征和規(guī)律,并用最簡(jiǎn)單、最基本的方式刻畫出來.
例4 (1)如圖4,已知△ABC,以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD,請(qǐng)你完成圖形(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),并證明:BE=CD;
圖4
圖5
(2)如圖5,利用(1)中的方法解決如下問題:在四邊形ABCD中,AD=3,CD=2,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求BD的長(zhǎng).
本題第(1)問考查學(xué)生的閱讀理解能力及作圖水平,由等邊三角形邊角的相等關(guān)系,通過“SAS”可得△ADC≌△ABE,進(jìn)而得到BE=CD.第(2)問中由隱含條件“AC=AB;∠CAB=90°”,再聯(lián)系第(1)問的解法,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE,線段BD轉(zhuǎn)化成CE,在Rt△CDE中,運(yùn)用勾股定理求出線段CE(即BD)的長(zhǎng).
由兩個(gè)有公共端點(diǎn)的等邊三角形構(gòu)造出全等模型,即“手拉手三角形”模型,該模型比較常見,大多數(shù)學(xué)生能輕松解決.在第(2)問中,思維要求較高,首先根據(jù)“∠ABC=∠ACB=45°”得到等腰三角形,有了可以旋轉(zhuǎn)的條件,按照第(1)問的解題方法構(gòu)造“手拉手三角形”模型.這樣的解題方式和思考方法受到老師們的青睞,在很多數(shù)學(xué)題中有所涉及,它主要考查學(xué)生的思維邏輯及模型思想,從“建”模型到“用”模型,對(duì)學(xué)生而言,是思維上質(zhì)的飛躍,長(zhǎng)此以往,學(xué)生的創(chuàng)新能力及解決問題的能力會(huì)大幅度提升.
幾何建模由于形式靈活、問題開放,在教學(xué)實(shí)施過程中首先要制定好教學(xué)目標(biāo),充分考慮學(xué)生已有水平進(jìn)行備課,建模是一種高階的思考方法,對(duì)學(xué)生而言要求不低,教學(xué)中需要學(xué)生理解、感悟,教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)充分實(shí)現(xiàn)“師生交流”“生生交流”,通過交互式教學(xué)讓學(xué)生“想一想”“跳一跳”,獲得知識(shí)及興趣.對(duì)于每個(gè)學(xué)段的學(xué)生,教學(xué)要求需有差異.基于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力設(shè)計(jì)課堂教學(xué),多一些有質(zhì)量的思考,切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).幾何建模的教學(xué)也要避免重復(fù)訓(xùn)練,多一些思考方法的傳授,才是聰明的教學(xué).如在上述例題中,讓學(xué)生感受到線段和最小值的問題往往通過對(duì)稱將圖形“拉直”;而定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離則需探索動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡,從而才能進(jìn)一步解決問題.這些都是通過“思考”形成的“方法”,就是數(shù)學(xué)素養(yǎng),這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求.
數(shù)學(xué)基本模型很多,像使用方程模型、函數(shù)模型、概率模型等解決問題還“有跡可循”,但幾何模型的問題比較獨(dú)立,甚至一種思考方法就可以編制一道試題,正因?yàn)榇?,我們?cè)诮虒W(xué)過程中要考慮學(xué)生的負(fù)擔(dān),把基本模型使用好,不能一味地提升難度,學(xué)生解題水平取決于對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.在日常幾何模型教學(xué)中,我們應(yīng)以圖形的性質(zhì)、定義、定理及基本事實(shí)為主.如例3中,模型“圓”的出現(xiàn)不是因?yàn)榉?,而是翻折過程中的結(jié)論AM=DM=A′M,根據(jù)圓的定義得到的.因?yàn)榉鄣慕Y(jié)論有很多,如對(duì)稱、全等、等腰三角形……如果要全部記住,學(xué)生還有什么精力學(xué)習(xí)更有意義的事呢?更有甚者,有教師在平時(shí)的教學(xué)中給學(xué)生傳授“12345”“阿氏圓”等高難度模型,個(gè)人認(rèn)為,這些內(nèi)容老師研究即可,對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言,這些內(nèi)容不會(huì)提升他們的數(shù)學(xué)水平,只會(huì)讓他們對(duì)數(shù)學(xué)“望而卻步”.
圖6
幾何建模的理解和運(yùn)用對(duì)學(xué)生而言,思維要求較高.在平時(shí)的教學(xué)中,教師所做的不僅僅是通過講解讓學(xué)生聽懂,僅僅學(xué)會(huì)模仿遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,在“深度學(xué)習(xí)”“能力為重”的教學(xué)評(píng)價(jià)的背景下,我們的數(shù)學(xué)課堂要“活”,衡量課堂教學(xué)效果的好或不好,主要是看學(xué)生收獲多少、提升多少.模型教學(xué)不是傳授給學(xué)生“套路”,要應(yīng)該傳授“解題方法”和“數(shù)學(xué)思想”,尤其在高年級(jí)的教學(xué)實(shí)施中,需要少一些機(jī)械模仿,多一些創(chuàng)新思考,甚至要故意打破表面的“模型”,探究數(shù)學(xué)的本質(zhì).如在完成例1后,可以讓學(xué)生完成下題:如圖6,P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),若AB=2,求AP+BP+CP的最小值.本題的背景還是求線段和的最值,但解決的方法不是通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化,而是通過旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化,但本質(zhì)還是運(yùn)用“兩點(diǎn)之間,線段最短”,且難度不小,可作為一節(jié)課思維的“高潮”,在學(xué)生學(xué)會(huì)“模型”后解決才有一定的價(jià)值,這才真是高質(zhì)量的創(chuàng)新和思考.
數(shù)學(xué)建模教學(xué)既是課程發(fā)展的需要,也是課堂實(shí)施的需求.數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程.在幾何模型教學(xué)中,建立幾何模型的能力取決于對(duì)數(shù)學(xué)的理解,這種思維方式可以內(nèi)化為學(xué)生解決問題的能力.對(duì)學(xué)生而言,這方面的學(xué)習(xí)很難,教學(xué)中要經(jīng)常滲透,需引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)、思考.幾何建模教學(xué)中,要讓學(xué)生主動(dòng)參與和積極思考,這樣可以緩解“教”與“學(xué)”的矛盾,在激發(fā)學(xué)生“學(xué)”的同時(shí),還需關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的提升.
需要再次表述的是:基礎(chǔ)教學(xué)不是競(jìng)賽培訓(xùn),不能一味地提升難度,基本思想、基本方法更需要認(rèn)真對(duì)待、慎重處理,這樣才能用好“基本模型”.另外,在上述一些例題中,缺少了實(shí)際背景,也就少了“找”的過程,考慮到字?jǐn)?shù),本文呈現(xiàn)的更多的是根據(jù)條件“構(gòu)造”模型的過程.
幾何建模思想的滲透是一個(gè)長(zhǎng)期的過程,需要一線教師堅(jiān)守,才能提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的水平,真正地實(shí)現(xiàn)從“思考”到“創(chuàng)造”.F