☉江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)張威
目前初中階段對(duì)有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是分在不同學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí),有些教材上引入數(shù)的開(kāi)方、算術(shù)平方根時(shí)往往從一個(gè)生活問(wèn)題出發(fā),這些教學(xué)安排或情境引入當(dāng)然有一定的道理.教無(wú)定法,若從數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯連續(xù)、前后一致的角度來(lái)審視“數(shù)的開(kāi)方”的教學(xué)引入與起始課研發(fā)呢?筆者近期有了一次實(shí)踐的機(jī)會(huì),本文就整理該課的教學(xué)流程,并給出教學(xué)立意的解釋,供分享和研討.
教學(xué)環(huán)節(jié)(一)從數(shù)及其運(yùn)算說(shuō)起
問(wèn)題1:數(shù),有理數(shù),還有π,它不是有理數(shù),是什么數(shù)呢?(如果有學(xué)生預(yù)習(xí)過(guò)能說(shuō)出無(wú)理數(shù),記得板書在黑板副板區(qū))
問(wèn)題2:有理數(shù)學(xué)習(xí)了哪些相關(guān)概念和哪幾種運(yùn)算?(學(xué)生能答出數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)等,有理數(shù)的運(yùn)算有加法、減法、乘法、除法、乘方,教師選擇一些進(jìn)行板書)
問(wèn)題3:舉幾個(gè)簡(jiǎn)單乘方運(yùn)算的例子.(學(xué)生舉出22=4,33=27,(-3)2=9等,可收集一部分板書在黑板上)
問(wèn)題4:我們知道,加和減、乘和除都是互逆運(yùn)算,它們的結(jié)果分別稱和、差、積、商.乘方的結(jié)果稱冪.現(xiàn)在逆過(guò)來(lái)研究乘方與冪,若已知冪、指數(shù),求底數(shù)怎么算?(預(yù)設(shè):學(xué)生求x2=4時(shí),可能會(huì)漏掉-2.啟發(fā)大家再次分析x2=9時(shí),要考慮兩解)
問(wèn)題5:上面已知冪和指數(shù),求底數(shù)的運(yùn)算,就是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算,也就是第六種運(yùn)算:開(kāi)方運(yùn)算.這么簡(jiǎn)單,為什么有理數(shù)那章沒(méi)有順便學(xué)習(xí)?
教學(xué)環(huán)節(jié)(二)研究數(shù)的開(kāi)方
問(wèn)題6:研究開(kāi)方運(yùn)算.
從最簡(jiǎn)單的開(kāi)平方運(yùn)算開(kāi)始.
給出定義:上面已知道了4開(kāi)平方得到2、-2;9開(kāi)平方得到3、-3.我們把開(kāi)平方得到的結(jié)果稱為平方根.
跟進(jìn)訓(xùn)練:9的平方根如何表示?3的平方根如何表示?5的平方根如何表示?
小結(jié)歸納:一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù);0的平方根為0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.特別的,對(duì)于正數(shù)a的平方根中那個(gè)正的平方根,我們稱之為a的算術(shù)平方根.
過(guò)渡:開(kāi)平方也稱開(kāi)二次方,現(xiàn)在讓我們拾級(jí)而上,研究開(kāi)三次方,即開(kāi)立方.
自主研究:將8開(kāi)立方的結(jié)果是?你覺(jué)得開(kāi)立方的結(jié)果取個(gè)什么名字?你能想到用怎樣的符號(hào)表示它們嗎?(對(duì)于數(shù)x來(lái)說(shuō),它的立方根記為)舉幾個(gè)例子來(lái)鞏固理解一個(gè)數(shù)的立方根.
小結(jié)歸納:一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè).正數(shù)的立方根是正數(shù),0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).
教學(xué)環(huán)節(jié)(三)“數(shù)系”再次擴(kuò)充
回顧:進(jìn)入初中,引入負(fù)數(shù)之后,小學(xué)階段的數(shù)系相應(yīng)地?cái)U(kuò)充為有理數(shù),我們也知道了整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),也稱可比數(shù)(m、n為整數(shù),n≠0).
數(shù)學(xué)史話鏈接:據(jù)傳畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)“門徒”希帕索斯率先發(fā)現(xiàn)了不是有理數(shù),
圖1
如圖1,將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分別沿它的對(duì)角線剪開(kāi),得到四個(gè)等腰直角三角形,即可拼成一個(gè)大正方形.容易知道,這個(gè)大正方形的面積是2,那么大正方形的邊長(zhǎng)為多少呢?
建立模型:待求的大正方形的面積為2,設(shè)它的邊長(zhǎng)為a,則有a2=2.也就是要把平方運(yùn)算逆過(guò)來(lái)思考,即在冪的運(yùn)算式子“an”中已知指數(shù)和冪,逆過(guò)來(lái)求底數(shù)的值.問(wèn)題簡(jiǎn)化如下:
若a2=2,求a=_____(.答案為,負(fù)的平方根舍去)
因?yàn)檫@個(gè)“邪惡”的發(fā)現(xiàn),不符合學(xué)派教義“萬(wàn)物皆備于數(shù)”,他被扔進(jìn)了大海,也引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.隨著數(shù)系擴(kuò)充,從有理數(shù)系再次擴(kuò)充到實(shí)數(shù)(有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)),第一次數(shù)學(xué)危機(jī)就得到了解釋.
研究展望:數(shù)系擴(kuò)充之后,就需要進(jìn)一步研究新數(shù)系的相關(guān)概念,如數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、大小比較,以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算,這些都將是后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
教學(xué)環(huán)節(jié)(四)回到“開(kāi)平方”
應(yīng)用1:解簡(jiǎn)單的一元二次方程.
解方程:(1)x2=16;(2)x2-25=0;(3)4x2=9.
圖2
圖3
你能理解這種畫法嗎?能找到表示- 2 的點(diǎn)嗎?
同類推介:如圖3,直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周,圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O′點(diǎn),那么O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為π.
最后進(jìn)行適當(dāng)?shù)男〗Y(jié),完善本節(jié)課結(jié)構(gòu)化板書:
圖4
數(shù)學(xué)是科學(xué),教學(xué)是藝術(shù).教無(wú)定法,適合的就是好的.教材上引入平方根、數(shù)的開(kāi)方自有其道理和依據(jù),但是我們?cè)谏衔闹谢跀?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)思了從乘方的逆運(yùn)算思考,定義并引出實(shí)數(shù)系及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)新知,如平方根、無(wú)理數(shù),特別是數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系之后,對(duì)于實(shí)數(shù)的相關(guān)概念、數(shù)軸、相反數(shù)等也帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了眺望和初步感知.從這個(gè)角度看,這種新知引入方式是符合教學(xué)實(shí)際的情境創(chuàng)設(shè).
在上面課例中,通過(guò)一系列的問(wèn)題串起了教學(xué)環(huán)節(jié),同時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考,把學(xué)生的思維“卷入”到本課內(nèi)容中來(lái),學(xué)生積極思考,踴躍展示,得到了很多生成性資源,教師及時(shí)捕捉這些生成性資源并用于推進(jìn)后續(xù)教學(xué)進(jìn)程,生成、完善板書設(shè)計(jì).讓學(xué)生“不知不覺(jué)”感受到這節(jié)課的新知都是在他們參與下獲得并豐富起來(lái)的,除了學(xué)得新知,探究數(shù)學(xué)的求知欲和自信心都能得到有效提升.
數(shù)學(xué)是一種文化,幾千年來(lái)與人類文明相伴始終.數(shù)學(xué)發(fā)展史也表明,像無(wú)理數(shù)這樣的數(shù)學(xué)史話,特別是引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”這樣的重要內(nèi)容,初中生在首次接觸時(shí),如果進(jìn)行必要的“融入式”學(xué)習(xí),則對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō),應(yīng)該是一種精神的洗禮.所以,我們把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,特別是其門徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的故事融入了新課教學(xué)進(jìn)程,并運(yùn)用后來(lái)歐氏幾何原本中的證法向?qū)W生進(jìn)行演示推介,對(duì)優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō),雖然這些都不是為了“眼前利益”而服務(wù),但是為他們打開(kāi)的這扇窗,對(duì)滲透數(shù)學(xué)文化、熏陶數(shù)學(xué)精神是十分有益的.