基于多重分形的瀝青混合料空隙分布特征分析

周興林，李慶豐，肖神清

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430065)

0 引 言

瀝青混合料內(nèi)部空隙的分布特征是影響其力學(xué)性能的關(guān)鍵因素[1]。通過CT掃描及圖像處理等技術(shù)對空隙率進(jìn)行分析，是瀝青混合料細(xì)觀研究的熱點。瀝青路面的高溫穩(wěn)定性、低溫抗裂性、水穩(wěn)定性、抗滑性等直接受瀝青混合料的空隙狀態(tài)影響[2-10]。因此，尋求瀝青混合料空隙的表征方法，對于提高瀝青混合料的路用性能，實現(xiàn)可視化礦料級配設(shè)計具有重要的研究意義。

E. MASAD等[11]通過CT掃描技術(shù)研究瀝青混合料空隙分布狀況，其研究表明，旋轉(zhuǎn)壓實(SGC)方法成型的瀝青混合料試件，其內(nèi)部空隙沿試件高度方向呈現(xiàn)出“兩端大，中間小”的分布趨勢，而壓實方法是影響空隙分布的重要因素。A.BOZORGZAD[12]、王聰?shù)萚13]通過圖像分析等方法證明了采用兩端壓實的方法可使空隙分布更均勻。裴建中等[14-15]采用多種參數(shù)描述空隙的豎向分布特征，結(jié)果表明，參數(shù)沿深度方向分布規(guī)律較為一致。張倩[16]、吳文亮等[17]驗證了空隙率層位呈兩頭大中間小的分布趨勢，證實了瀝青混合料微觀結(jié)構(gòu)的非均勻性。郭乃勝等[18]提出3段法分析空隙分布規(guī)律，并基于此建立了瀝青混合料空隙率預(yù)測方法。L.B. WANG等[19]證明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可檢測到數(shù)據(jù)之間的隱藏關(guān)系，前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可有效估計混合料的空隙率。上述文獻(xiàn)中的空隙率指標(biāo)如空隙等效直徑、空隙面積、空隙數(shù)量等不能全面描述空隙分布的狀態(tài)，空隙率指標(biāo)相同的試件，其空隙分布情況和力學(xué)性能均可能存在較大差異。

研究表明，瀝青混合料的級配組成、集料分布以及集料組成的邊界輪廓和空隙形狀都在一定尺度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出統(tǒng)計意義上的自相似性[20]，即具有分形特性。分形是定量描述自然界不規(guī)則現(xiàn)象或物體的一種數(shù)學(xué)語言，它用于表示在每個尺度范圍內(nèi)都顯示重復(fù)的圖像。文獻(xiàn)[7、21]提出用空隙分形維數(shù)表征空隙分布的復(fù)雜程度，分形維數(shù)越大，則空隙分布越復(fù)雜。但單分形維數(shù)只能反映出物體的全局特征而不能表征局部奇異性[22]，且不同方法求出的分維數(shù)也不相同。因此，筆者提出應(yīng)用多重分形理論從局部刻畫空隙分布的奇異性，擬采用數(shù)字圖像技術(shù)對瀝青混合料試件的CT掃描圖像進(jìn)行處理，分析空隙分布的多重分形特性，定量描述空隙分布的復(fù)雜程度，并研究空隙特性對瀝青混合料劈裂強度的影響。

1 多重分形譜計算方法

多重分形是基于單重分形定義的由多個標(biāo)量索引的單一度量的集合。它通常由廣義分形維數(shù)和多重分形譜表示。多重分形譜則是由隨著多重分形測度變化的一組連續(xù)數(shù)值組成的曲線。

1.1 多重分形譜的參數(shù)

單分形的參數(shù)只有分形維數(shù)，用D表示。而多重分形的參數(shù)則分為[23]：α、Δα、f(α)、Δf、f(α)max。為方便計算，將分形體整個圖像的尺度設(shè)為1，用邊長為ε(0<ε<1)的正方形網(wǎng)格覆蓋圖像。奇異性標(biāo)度指數(shù)α反映了每個小方格的奇異程度，用于表征分形體的復(fù)雜性，它也可以看做是某個小方格的分形維數(shù)，即局部分維。不同α組成的序列用于表示分形體的多重分形維數(shù)，即多重分形譜f(α)。多重分形譜譜寬Δα=αmax-αmin,它可以從局部描述路面構(gòu)造分布的非均勻性。多重分形譜的最大高差Δf=f(αmin)-f(αmax),它則是從空隙集中與分散的角度局部反映空隙率分布的不均勻性。

1.2 計算方法

把經(jīng)過圖像處理后的二值圖像劃分成邊長為ε的N(ε)個單元[24]，那么第i個單元的概率測度為：

(1)

式中：∑Bi(ε)為所有單元的黑色像素之和；i=1,2,…，N(ε)。

構(gòu)造q階矩下的配分函數(shù)：

(2)

在無標(biāo)度自相似區(qū)域中，χq(ε)與ε之間存在如下冪律關(guān)系:

χq(ε)～ετ(q)

(3)

式中：τ(q)為log2χq(εi)用log2εi函數(shù)擬合后得到的直線斜率，稱為質(zhì)量指數(shù)。

對τ(q)和f(α)進(jìn)行勒讓德變換：

(4)

式中：f(α)為多重分形子集的分形維數(shù)連續(xù)譜，在單重分形中，是一個定量，在多重分形中，其是單峰曲線。

以奇異性標(biāo)度指數(shù)α的角度[25],如果區(qū)間[α,α+dα]中，存在概率測度值為P的單元個數(shù)為Ni(α)：

Ni(α)～ε-f(α)

(5)

那么有：

(6)

式中：f(α)為α的分維數(shù)。

將上述公式整理可得：

(7)

(8)

由式(7)可知，多重分形譜譜寬Δα用于表征整個分形體概率測度分布不均的水平，其值越大，表明物體表面分布的越不均勻。

由式(8)知，多重分形譜兩端高差Δf用于統(tǒng)計最大概率子集數(shù)量Nαmin與最小概率子集數(shù)量Nαmax的比值。若Δf>0,也就是Nαmin>Nαmax，則多重分形譜的圖像為“左鉤狀”；若Δf<0，意味著Nαmin

由式(2)知，q=0時，所研究的物理量則與概率測度無關(guān)，多重分形譜圖像上存在一個峰值fmax，由式(4)可知，fmax=-τ(0)=D，D為豪斯多夫維數(shù)，也即計盒分形維數(shù)，它是描述研究對象填充空間的能力[26]。

2 瀝青混合料空隙分布的多重分形特性

2.1 數(shù)字圖像處理

通過飛利浦BrillianceTM型醫(yī)用CT機(jī)獲取瀝青混合料試件掃描圖像，CT機(jī)有效檢測厚度為10 mm，空間分辨率為0.5 mm×0.5 mm，設(shè)定掃描間隔為3 mm。舍棄兩端因CT數(shù)異常[13]而亮度異常的圖片，選取4 cm × 4 cm的區(qū)域，像素為512×512。通過特征識別、圖像分割、邊界提取處理等過程對CT圖像進(jìn)行預(yù)處理，使得空隙與集料和瀝青膠漿有明顯區(qū)別。根據(jù)圖像的灰度直方圖確定分割閾值，將掃描圖像二值化。二值圖中，黑色為空隙部分，白色為集料與瀝青膠漿。

圖1 瀝青混合料CT掃描圖像二值化過程Fig. 1 Binarization of CT scanning image of asphalt mixture

采用醫(yī)用CT橫向掃描瀝青混合料試件，獲取AC-13、AC-16、AM、AT試件掃描圖像。表1中，選取各類型瀝青混合料的一張CT圖像，列出空隙分布二值圖。采用MATLAB函數(shù)計算面空隙率。

表1 瀝青混合料試件CT圖像二值圖Table 1 CT binary image of asphalt mixture specimen

2.2 空隙分布的多重分形特性

以路面空隙二值圖中的黑色像素作為研究對象，以“0”表示，同時用“1”代表白色像素。使用MATLAB軟件求得概率測度Pij(ε),然后解算配分函數(shù)χq(ε),做出ε-χq(ε)的雙對數(shù)坐標(biāo)圖logε-logχq(ε)。如圖2，圖2(a)和圖2(b)是AC-13和AM的logε-logχq(ε)圖，階數(shù)以-8～8為例。由圖可知，ε=26～29，也就是盒子像素為26～29時，二者有良好的線性關(guān)系。

圖2 ε-χq(ε)的雙對數(shù)坐標(biāo)Fig. 2 Double-logarithmic coordinates of ε- χq(ε)

分析圖2發(fā)現(xiàn)，在q值一定的情況下，logε-logχq(ε)近似為線性關(guān)系，這表明空隙分布具有分形特征；q值不同，斜率也不相同，這證實了CT掃描二值圖像有多標(biāo)度特性。因此，瀝青混合料空隙分布有多重分形特性。

要使二值圖中的黑色像素的多重分形譜更加穩(wěn)定，可繼續(xù)計算，求得f(q)和α(q)隨q值變化的曲線。由圖可知，當(dāng)q<0時，f(q)隨q遞增；當(dāng)q>0時，f(q)隨q的變化變得平緩；當(dāng)q=0時，f(q)有最大值。α(q)隨q遞減，曲線兩邊的變化趨勢較為平緩。這說明，Δα的值會隨著q的取值范圍擴(kuò)大而變大，但這種變化會隨著q越來越大而變小，此時多重分形譜趨于穩(wěn)定。若q值每變大或變小1，Δα相應(yīng)的變化率低于0.2%，譜寬不再發(fā)生變化，此時即可確定q的取值范圍[27]。

圖3 α(q)和f(q)隨q變化Fig. 3 Variation of α(q) and f(q) changing with q

2.3 結(jié)果及討論

q階矩取-10～10時，各混合料的多重分形譜均趨于穩(wěn)定。4種類型的多重分形譜圖像如圖4。圖4(a)為AC-16上4層的多重分形譜；圖4(b)為AC-16中4層的多重分形譜；圖4(c)為AC-16下4層的多重分形譜；圖4(d)為AC-13、AC-16、AM、ATB試件中面層的多重分形譜。相同類型的瀝青混合料空隙分布多重分形譜大致相似。圖5為4種類型瀝青混合料的多重分形譜參數(shù)和面空隙率擬合圖。圖6為12張AC-16瀝青混合料CT掃描圖的多重分形譜參數(shù)圖。

圖4 瀝青混合料空隙分布多重分形譜Fig. 4 Multifractal spectrum of asphalt mixture void distribution

多重分形譜峰值fmax即為黑色空隙部分的分形維數(shù)D0，其反映了空隙填充空間的能力。對面空隙率和fmax進(jìn)行線性擬合、多項式擬合和對數(shù)擬合，如圖5。

圖5 面空隙率與多重分形譜峰值fmax 擬合Fig. 5 Fitting of the surface void and the peak value of multifractal spectrum fmax

從圖5中可知，對于空隙率較小的AC、ATB和空隙率較大的AM，多重分形譜的峰值fmax都會隨混合料的空隙率變大而增大，也就是說空隙分布情況會隨著瀝青混合料空隙率變大而變復(fù)雜，空隙的分形維數(shù)也會變大。由此說明，多重分形譜的峰值fmax可定量描述空隙率的大小及分布復(fù)雜程度。對于3種擬合方式，考慮空隙填充空間的極限情況，即空隙率為100%時，多重分形維數(shù)應(yīng)為2。線性擬合中，取空隙率為100%時，fmax=3.877 4；多項式擬合中，fmax=-9.107 9；對數(shù)擬合中，fmax=2.086 6，因此，對數(shù)擬合最能準(zhǔn)確刻畫面空隙率與多重分形譜峰值的關(guān)系。

多重分形譜譜寬Δα可從局部反映概率分布的非均勻性，Δα越小，則證明空隙分布更均勻?；谧V寬Δα能對空隙分布進(jìn)行定量化表征。而分形維數(shù)高差Δf表示的是最大概率子集數(shù)量與最小概率子集數(shù)量之比，也就是黑色空隙區(qū)域像素多的單元數(shù)目與少的單元數(shù)目之比。Δf越大，表明黑色像素較集中的單元數(shù)目相對較稀少的單元數(shù)目越多，間接反映出了分布的不均勻性，AC-16瀝青混合料多重分形譜參數(shù)如圖6。

圖6 AC-16瀝青混合料多重分形譜參數(shù)Fig. 6 Multifractal spectral parameters of AC-16 asphalt mixture

由圖6可知，Δα與Δf沿AC-16試件高度方向變化規(guī)律基本一致，但變化趨勢較復(fù)雜，無明顯規(guī)律。這是因為多重分形譜參數(shù)只能從局部反映空隙分布的不均勻程度，而不能反映空隙率的大小。

3 空隙特性與劈裂強度的關(guān)系

以瀝青混合料AC-16為例，研究空隙特性對瀝青混合料劈裂強度的影響，試驗在15 ℃和25 ℃下進(jìn)行。

成型馬歇爾試驗，有效試件10個，空隙分布特征不同的瀝青混合料在15、25 ℃時的劈裂試驗結(jié)果如表2。

表2 15、25 ℃劈裂強度試驗結(jié)果Table 2 Splitting strength test results at 15 ℃, 25 ℃

表2中Δα′為試件分層掃描后所求得的多重分形譜寬度均值，fmax′為分層掃描后所求得的多重分形譜峰值均值。這兩個參數(shù)可表征試件空隙特性。從表2中不難看出，Δα′和fmax′與劈裂強度均沒有明顯關(guān)系，單從這兩個參數(shù)并不能反映劈裂強度的大小。因為Δα′僅能反映空隙分布的均勻性程度，而劈裂強度還與空隙率有關(guān)，空隙率對劈裂強度的影響不容忽視。為此，根據(jù)瀝青混合料空隙分布的特性，考慮以能反映空隙率大小的fmax′為調(diào)整系數(shù)對Δα′進(jìn)行調(diào)整，提出參數(shù)Δα″=fmax′·Δα′，Δα″與劈裂強度之間的關(guān)系如圖7。

由圖7可知，參數(shù)Δα″與劈裂強度之間具有良好的線性關(guān)系，劈裂強度隨Δα″的增加而單調(diào)遞減。這表明，在其他條件一定的情況下，劈裂強度受空隙率與空隙分布的綜合影響，空隙率越大，空隙分布均勻性越差，則劈裂強度就越小，提出的參數(shù)Δα″可以很好的預(yù)測瀝青混合料的劈裂強度。

圖7 15 ℃與25 ℃下Δ α″與劈裂強度關(guān)系Fig. 7 Relationship between Δ α″ and splitting strength at 15 ℃ and 25 ℃

4 結(jié) 論

1)瀝青混合料空隙分布具有多重分形特性，其譜參數(shù)能從不同角度描述空隙分布情況。

2)多重分形譜峰值fmax與面空隙率具有良好的對數(shù)回歸關(guān)系，fmax越大，即空隙部分的分形維數(shù)D0越大，空隙率也就越大越復(fù)雜。

3)多重分形譜寬Δα與兩端高差Δf分別從直接和間接角度反映了空隙分布的均勻程度，瀝青混合料試件內(nèi)部空隙沿高度方向無明顯變化規(guī)律。

4)提出的參數(shù)Δα″=fmax′·Δα′與劈裂強度之間具有良好的線性關(guān)系。