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    三角形兩解條件的一種巧記方法

    2018-12-10 05:37:32江西省豐城中學(xué)吳愛龍黃小華
    關(guān)鍵詞:銳角直角正弦

    ■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍 黃小華

    在△A B C中,已知a,b和A,求解三角形。常用結(jié)論為:在A為銳角的情形下,若滿足條件bsinA<a<b,則△A B C必有兩解。

    上述結(jié)論,常可借助圖1來解釋。此法不僅操作性不強,而且記憶困難。一旦將字母調(diào)換,就會造成一片混亂。

    圖1

    下面借助單位圓中的正弦線,更直觀地處理上述問題。

    在△A B C中,由正弦定理知

    如圖2,記∠P OM=A(A為銳角),∠Q O H=B(B為鈍角)。

    圖2

    由圖顯見,當(dāng)|M P|<|N Q|<1,即 sinA<時,亦即bsinA<a<b時,∠P O Q=C,此時,A+B+C=π,三角形存在一解。

    同理,當(dāng)B為銳角時,顯然又有一解,所以△A B C共有兩解。

    利用上述方法判斷三角形兩解問題時,只需看題設(shè)是否滿足條件|M P|<|N Q|<1即可,若滿足則有兩解。倘若將題設(shè)中的已知角稱為“先角”,而由題設(shè)及正弦定理求出的角稱為“后角”,則不等式“|M P|<|N Q|<1”可用文字語言表達成“先角的正弦值<后角的正弦值<直角的正弦值”,這些文字方便記憶。

    例1在△A B C中,已知a=2,b=,A=45°,則滿足條件的三角形有( )。

    A.1個 B.2個

    C.0個 D.無法確定

    解析:由正弦定理,得sin。|MP|=sinA=,|NQ|=sinB=,滿足條件|MP|<|NQ|<1,故滿足條件的三角形有2個,選B。

    例2在△A B C中,已知b=6,c=10,B=30°,則這樣的三角形有( )。

    A.0個 B.1個

    C.2個 D.1個或2個

    解析:由正弦定理知sin,|MP|=sin,|NQ|=sin,滿足條件|MP|<|NQ|<1,有兩解,三角形有2個,故選C。

    例3在△A B C中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有兩解,則x的取值范圍為( )。

    A.(2,22) B.22

    C.(2,+∞) D.(2,22]

    解析:由正弦定理知,則sin。|MP|=sinB=

    由題設(shè)知三角形有兩解,故必須滿足條件|MP|<|NQ|<1,即,整理可得。故選A。

    運用此法實際解題時不必畫出單位圓,只需判斷是否滿足“先角的正弦值<后角的正弦值<直角的正弦值”即可,滿足則有兩解。

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