中學(xué)數(shù)學(xué)的反證法

施一諾

摘要：反證法是數(shù)學(xué)中間接論證的方法之一，從否定命題的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理后產(chǎn)生矛盾，從而證明假設(shè)的不正確，以證明結(jié)論的正確性。正是因?yàn)榻忸}思路的簡(jiǎn)單和實(shí)用性，反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著不可忽視的地位。本文在概述了反證法涵義、理論依據(jù)和解題步驟的基礎(chǔ)上，通過(guò)具體的例子分析了反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以期加強(qiáng)高中生對(duì)反證法的認(rèn)知，提升做題技巧。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；反證法；應(yīng)用

一、反證法

（一）反證法的涵義

反證法，也稱為逆證，屬于間接論證的一種方法。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)做了個(gè)概括：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體來(lái)說(shuō)，反證法就是從原命題的否定命題出發(fā)，通過(guò)邏輯推理和論證后，判斷出否定命題的虛假性。最后根據(jù)排中律，既然否定命題是假的，那么原命題便是真的。

（二）反證法的理論依據(jù)

反證法的理論依據(jù)主要是形式邏輯中的兩個(gè)基本規(guī)律，矛盾律和排中律。

矛盾律指的是在同一個(gè)論證中，兩個(gè)相互矛盾的判斷不能同時(shí)是真的，至少有一個(gè)是假的。排中律指的是兩個(gè)相互矛盾的判斷不能同時(shí)都是假的，其中的任意一個(gè)判斷必然是真的，也就是“A真”和“非A真”有且只有一個(gè)是正確的。

（三）反證法的解題步驟

反證法的解題步驟主要是否定結(jié)論-推出矛盾-結(jié)論成立。具體講就是：

第一步：反設(shè)。我們需要做的是找出原命題中的結(jié)論，做出與之相矛盾的假設(shè)。這是反證法的關(guān)鍵。如果與原命題相矛盾的假設(shè)很多，我們必須一一否定，不能遺漏。

第二步：歸謬。對(duì)假設(shè)進(jìn)行邏輯推理，導(dǎo)致矛盾的出現(xiàn)。

第三步：結(jié)論。由于矛盾的出現(xiàn)，證明假設(shè)是錯(cuò)誤的，那么原命題成立。

二、反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?。足以看出，反證法在數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的。因?yàn)榻忸}思路的明確性和簡(jiǎn)潔性，反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也是非常廣泛的。

（一）反證法在代數(shù)中的應(yīng)用

代數(shù)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。代數(shù)中有很多理論、定理等都可以用解析法、歸納法等來(lái)證明，但過(guò)程是復(fù)雜的。而利用反證法就可以直接否定以“至多”、“至少”、“不可能”、“唯一”等形式的問(wèn)題，從反面來(lái)論證大大簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程。

例1：設(shè)0

證明：根據(jù)題意，設(shè)（1-a）b>，（1-b）c>，（1-c）a>，

那么三式相乘得到（1-a）b·（1-b）c·（1-c）a>。又∵0

（1-c）c≤，這三式相乘得到（1-a）a·（1-b）b·（1-c）c≤，與（1-a）b·（1-b）c·（1-c）a>是相矛盾的。所以（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同時(shí)大于。

（二）反證法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列屬于函數(shù)的范疇，指的是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)。數(shù)列問(wèn)題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，比如證明某數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列等。利用反證法，有時(shí)讓我們的思維變得簡(jiǎn)單直接，這樣更有利于解題。

例2：已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值是Pn，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1、an+2…的最小值是Qn，mn=Pn-Qn，求：

（1）若m是非負(fù)整數(shù)，證明：mn=-m（n=1、2、3…）的充分必要條件是{an}是公差為m的等差數(shù)列。

（2）證明：若a1=2，mn=1（n=1、2、3…），{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1。

關(guān)于（1）的證明：首先，證明充分性。若{an}是公差為m的

等差數(shù)列，那么an=a1+（n-1）m，Pn=an=a1+（n-1）m，Qn=an+1 =a1+nm，

所以mn=Pn-Qn=-m（n=1、2、3…）。其次，證明必要性?！適n =-m

≤ 0，Pn=Qn+mn ≤ Qn。又∵an ≤ Pn，an+1 ≥ Qn， ∴an≤an+1， 那么Pn=an， Qn=an+1， an+1-an=Qn-Pn=-mn=m，最后知道{an}是公差為m的等差數(shù)列。

關(guān)于（2）的證明：首先，{an}的項(xiàng)不可能是0，否則m1=a1-0=2，矛盾。其次，利用反證法證明{an}的項(xiàng)不能超過(guò)2。若{an}中有超過(guò)2的項(xiàng)，設(shè)ak是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，{an}中一定存在項(xiàng)為1，否則與m1=1矛盾。當(dāng)n≥k時(shí)，an≥2，否則與mk=1矛盾。因此存在最大的r在2和k-1之間，使得ar=1，那么mr=Pr-Qr=2-Qr≤2-2=0，矛盾。綜上{an}中沒(méi)有超過(guò)2的項(xiàng)，所以{an}的項(xiàng)只能是1或者2。∵對(duì)任意n≥1，an≤2=a，∴Pn=2，Qn=1，即{an}有無(wú)窮多項(xiàng)為1。

（三）反證法在幾何中的應(yīng)用

反證法幾何中的應(yīng)用也是極為廣泛的，不論是平面幾何、立體幾何還是解析幾何都有體現(xiàn)。接下來(lái)我們以平面幾何為例，分析下反證法的應(yīng)用。

例3：過(guò)平面α上的點(diǎn)A的直線a⊥α，求證：a是唯一的。

證明：假設(shè)a不是唯一的，那么過(guò)A至少還有一條直線b，b⊥α?！遖和b是相交的直線，∴a、b可以確定一個(gè)平面β。設(shè)α和β相交過(guò)點(diǎn)A的直線c。又∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c。得出在平面β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A就存在兩條直線垂直于c，這與定理是矛盾的。因此，a是唯一的。

例4：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。

證明：假設(shè)四邊形的邊都小于。因?yàn)樗倪呅沃兄辽儆幸粋€(gè)角不是鈍角，設(shè)∠A≤90°。根據(jù)余弦定理，得到BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA，所以BD2≤AD2+AB2，即BD≤<=1，這與已知的BD=1矛盾，所以四邊形中至少有一條邊不小于。

三、總結(jié)

反證法，是數(shù)學(xué)中一種非常重要的證明方法，在代數(shù)、數(shù)列、幾何等方面的應(yīng)用都是極為廣泛的。因此，作為高中生的我們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)反證法的理論，并將理論與實(shí)際解題相結(jié)合。只有這樣，我們的做題效率與質(zhì)量才能得到提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]張雙紅、李犀子.淺談反證法的原理及應(yīng)用[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2017 （21）.

[2]徐東良.反證法——解數(shù)學(xué)題的重要方法[J]，語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版）2018 （1）.