空間向量在立體幾何中的運(yùn)用

王央

【摘 要】立體幾何作為整個(gè)高中最重要的一部分，同時(shí)也新增添了“空間向量”這一節(jié)知識(shí)，空間向量是平面向量的延續(xù)性知識(shí)，空間向量本身就具有代數(shù)形式與幾何形式，關(guān)系到整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，注重轉(zhuǎn)形為數(shù)，突出數(shù)的運(yùn)算。

【關(guān)鍵詞】立體幾何；空間向量

向量是我們高中數(shù)學(xué)最重要的概念之一，它是代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)的一種工具，有很實(shí)際的用處?？臻g向量的出現(xiàn)為高中階段帶來(lái)諸多驚喜，利用空間向量來(lái)處理幾何問(wèn)題，這種方法就可以起到避免復(fù)雜空間想象的問(wèn)題，將復(fù)雜的邏輯思維推理變成簡(jiǎn)單明了的代數(shù)運(yùn)算，可以減少解題的問(wèn)題難度作用，可以引導(dǎo)學(xué)生的思維簡(jiǎn)單化，減輕學(xué)生的思想負(fù)擔(dān)。所以，利用空間向量可以把幾何結(jié)構(gòu)變的代數(shù)化，以數(shù)名形，因此，向量成為最具有影響力的優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系，它成為了研究立體幾何的重要工具?？臻g向量作為有方向和長(zhǎng)度的量，不僅可以能夠像象數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，又可以像幾何一樣可以用量去解決點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問(wèn)題和求角以及距離問(wèn)題等等，可以應(yīng)用向量去解決點(diǎn)線面等例子，以此來(lái)總結(jié)歸納各題型的解法，強(qiáng)化“用量”的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

學(xué)生應(yīng)該明確向量的概念。1.要知道向量的定義：既有大小又有方向的量。向量常用一條有向線段來(lái)表示，主要研究空間向量在立體幾何中的作用所以也必須要清楚在幾何中是怎么表示的。幾何表示：向量可以用有向線段來(lái)表示。有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。比如：若規(guī)定線段AB的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則線段就具有了從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的方向和長(zhǎng)度。這種具有方向和長(zhǎng)度的線段叫做有向線段。還有一種就是坐標(biāo)表示，分別是在平面直角坐標(biāo)系中、立體三維坐標(biāo)系中以及對(duì)于空間多維向量等。那么向量是怎么表示的呢，它的代數(shù)表示：一般用黑體小寫(xiě)字母α、β、γ等來(lái)表示或者通常用簡(jiǎn)單的a、b、c等來(lái)表示。如果手寫(xiě)的話可以在a、b、c等字母上加一箭頭表示。兩條異面直線的方向向量：垂直于兩條異面直線所在直線的方向向量的向量，平面的法向量：表示向量的向線段所在直線垂直于平面，則向量叫做平面的法向量，法向量就是指平面的特征向量，它是處理有關(guān)平面的軸心骨。2.向量方法總結(jié)。對(duì)于向量方法，可以簡(jiǎn)單想一下：首先是由空間向量引起的計(jì)算，空間向量的運(yùn)算，空間向量的運(yùn)算又分三部分第一部分是加減和數(shù)乘的運(yùn)算，第二個(gè)是共線向量和共面向量其次是空間向量的數(shù)量積。由前兩部分到空間向量的基本定理到空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算最后到夾角和距離平行和垂直，也可以直接由空間向量的數(shù)量積直接轉(zhuǎn)換到夾角和距離平行和垂直。用向量法解集體幾何時(shí)我們應(yīng)該掌握基礎(chǔ)知識(shí)一個(gè)是數(shù)量積的公式另一個(gè)就是射影公式。數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a、b。作為OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，計(jì)作（a，b）并且規(guī)定0小于等于（a，b）小于等于兀，兩個(gè)向量的體積（內(nèi)積，點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，計(jì)作a.b。若ab不共線，則a.b=lal.lbl.cos（a，b）；若ab共線則a.b=+-lallbl。其實(shí)無(wú)論是做什么，不僅要學(xué)會(huì)方法，更要讓自己細(xì)心，耐心去面對(duì)每一道題不要馬馬虎虎。3.利用空間向量去處理及立體幾何的關(guān)鍵點(diǎn)。首先要利用空間向量處理立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵所在就是空間直角坐標(biāo)系，建系應(yīng)該遵循兩個(gè)原則，首先要尋找墻角模型即三條兩兩垂直于同一點(diǎn)的直線，其次就是利用直線垂直于面，以這條直線為z軸，以這個(gè)面內(nèi)互相垂直的兩條直線為x軸和y軸建立空間直角坐標(biāo)系，若有面垂直于面，則通過(guò)面垂直于面的性質(zhì)定理就可以得到線垂直于面，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，這不僅是完成從幾何問(wèn)題向代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，對(duì)于來(lái)說(shuō)也是一大難點(diǎn)。4.建立空間直角坐標(biāo)系后如何確認(rèn)各點(diǎn)。建立空間直角坐標(biāo)系后，可以采用化立體為平面的策略，所以要先確認(rèn)豎坐標(biāo)，然后像平面直角坐標(biāo)系一樣確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，一般有些點(diǎn)會(huì)比較難求，所以需要結(jié)合課本上的平面基本知識(shí)確定。

以上就是總結(jié)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用方法，其實(shí)有些學(xué)生偏科是比較嚴(yán)重的，尤其到高中之后數(shù)學(xué)越來(lái)越難，有些學(xué)生就直接放棄了數(shù)學(xué)，選擇文科，其實(shí)不是學(xué)生腦子不開(kāi)竅，而是思維方式的問(wèn)題。數(shù)學(xué)其實(shí)就像是推理過(guò)程，通常，方法總是相反的，一定要學(xué)會(huì)舉一反三，以此去類推，每做一道題時(shí)應(yīng)該去思考這道題關(guān)系到哪部分的知識(shí)點(diǎn)，是根據(jù)什么來(lái)的，就要刨根問(wèn)底追其根源。每次學(xué)習(xí)一個(gè)新的公式或者知識(shí)點(diǎn)時(shí)，看似簡(jiǎn)單淺顯的知識(shí)，其實(shí)都是用來(lái)引導(dǎo)的，不要覺(jué)得聽(tīng)會(huì)了就好了，要沿著課本給的方向的去思考去探索。一通百通，一通百用就是用來(lái)描述數(shù)學(xué)的。要學(xué)會(huì)觸類旁通，不能只在上課聽(tīng)會(huì)就好。當(dāng)學(xué)完所有的知識(shí)點(diǎn)就會(huì)綜合在一起，就需要學(xué)生拓展思維去聯(lián)系學(xué)過(guò)的公式，聽(tīng)到一部分能聯(lián)想和質(zhì)疑一部分的時(shí)候我，想學(xué)生的腦袋就是“開(kāi)竅”了。可以多做類型題積攢知識(shí)點(diǎn)，這是鞏固知識(shí)比較有效的方法。也希望學(xué)生們遇到困難不要放棄，生活不是只有黑夜，還有白天，無(wú)論是學(xué)習(xí)還是生活都希望學(xué)生不要放棄，要有堅(jiān)持不懈的精神，努力了就一定有成功的機(jī)會(huì)。