指向能力立意的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

黃炳鋒

（福州第三中學(xué)，福建 福州350003）

1999年2月，教育部在《關(guān)于進(jìn)一步深化普通高等學(xué)校招生考試改革的意見》中指出：高考數(shù)學(xué)卷命題要“更加注重對(duì)考生能力和素質(zhì)的考查”“在試題設(shè)計(jì)上增加應(yīng)用型和能力型的題目”，“能力立意”的命題指導(dǎo)思想自此確立。近二十年過去了，這一指導(dǎo)思想在高考復(fù)習(xí)的實(shí)踐中貫徹得如何呢？筆者觀察發(fā)現(xiàn)，情況并不樂觀。許多教師仍然采用“知識(shí)立意”命題指導(dǎo)思想的做法，缺乏“問題意識(shí)”和“能力目標(biāo)”，花費(fèi)大量時(shí)間用于知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)。為了提高復(fù)習(xí)效率，章建躍教授提出“能力立意，問題導(dǎo)向，基于測(cè)評(píng)，追本溯源，精準(zhǔn)高效，大幅提分”的核心理念，并依托中國(guó)教師研修網(wǎng)、中國(guó)教研網(wǎng)開展“基于測(cè)評(píng)的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)改進(jìn)研究”課題研究，多次舉辦“能力立意，基于測(cè)評(píng)”引領(lǐng)下的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例研究活動(dòng)，探索“能力立意”的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之法。

一、以梯度問題為線索規(guī)劃內(nèi)容

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)首先要解決“教什么和學(xué)什么”的問題。毫無疑問，教學(xué)內(nèi)容的確定比“怎么教”更重要。而高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀是，教輔書承包了教學(xué)內(nèi)容和邏輯順序，有的教輔書甚至還提供了教學(xué)課件和相應(yīng)的測(cè)試訓(xùn)練以及參考答案，教師在教學(xué)時(shí)不考慮教學(xué)內(nèi)容選擇的適當(dāng)與否，缺乏對(duì)針對(duì)性、代表性問題的思考，也沒有為能力提高而進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，教學(xué)過程照本宣科，三輪復(fù)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容不斷重復(fù)。

“能力立意，問題導(dǎo)向”的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在研究近年高考試題的基礎(chǔ)上，將高考數(shù)學(xué)考查的內(nèi)容劃分為若干板塊，然后針對(duì)每一板塊的高考試題以及相應(yīng)的能力要求，采用“追本溯源”的方式，將它們按題型特征和考查特點(diǎn)分成若干個(gè)考查問題，并依據(jù)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值等設(shè)計(jì)每個(gè)考查問題，最后根據(jù)考查問題規(guī)劃數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容，以通性通法為核心展開復(fù)習(xí)教學(xué)。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)要拋棄“先學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，然后逐步組合，最后才能綜合運(yùn)用”的傳統(tǒng)教學(xué)思維，不把板塊知識(shí)內(nèi)容拆解成零碎的知識(shí)點(diǎn)、公式和定理，而是要有問題意識(shí)，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，通過具體的考查問題設(shè)計(jì)串聯(lián)起必備知識(shí)，在問題解決中培養(yǎng)關(guān)鍵能力、滲透數(shù)學(xué)思想、提升核心素養(yǎng)。

每一板塊的考查問題承載著三輪復(fù)習(xí)需要的具體能力要求，以及考查的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。為了達(dá)成這個(gè)目標(biāo)，復(fù)習(xí)過程中需要分解考查問題的教學(xué)目標(biāo)，將能力要求分層設(shè)計(jì)，以梯度問題為線索規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容。先將高考數(shù)學(xué)考查問題劃分為幾個(gè)小問題，每個(gè)小問題突出解決考查問題的一個(gè)核心內(nèi)容及綜合運(yùn)用的方法，成為第二輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)攻克目標(biāo)。每個(gè)小問題還可劃分為若干個(gè)具體問題，每個(gè)具體問題就是第一輪復(fù)習(xí)要解決的主要知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵能力。值得注意的是，三輪復(fù)習(xí)的輪次劃分標(biāo)準(zhǔn)是能力的達(dá)成度，而不是時(shí)間節(jié)點(diǎn)或知識(shí)點(diǎn)多少，對(duì)于難度不大的板塊，教師基于測(cè)評(píng)做出判斷，可能出現(xiàn)直接帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入第二輪或第三輪復(fù)習(xí)的情況，即跳過具體問題直接進(jìn)入以小問題或考查問題作為復(fù)習(xí)對(duì)象進(jìn)行教學(xué)?？疾閱栴}、小問題與具體問題的層次關(guān)系如下：（如下頁圖1）

例如三角板塊，根據(jù)高考題型特征和考查特點(diǎn)，可以分成三個(gè)考查問題：1.利用正余弦定理、主要的三角公式、基本不等式等知識(shí)，通過轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想，經(jīng)過運(yùn)算、推理，解三角形及有關(guān)問題。該考查問題在高考中主要以解答題形式出現(xiàn)。2：利用主要三角公式變形求值。該考查問題在高考中主要以小題形式出現(xiàn)。3：利用主要的三角公式變形，并根據(jù)三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)分析有關(guān)三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)或求值。該考查問題在高考中主要以小題形式出現(xiàn)。

圖1 考查問題、小問題與具體問題的層次關(guān)系

對(duì)于考查問題一，通過歸納發(fā)現(xiàn)此題主要考查解三角形和求與三角形有關(guān)量的問題。求解三角形有關(guān)量的問題的一般方法是把已知條件用三角形的邊、角表示為等量關(guān)系，通過變形推理求得結(jié)果；求解三角形的一般方法是根據(jù)已知條件，利用正弦定理、余弦定理、主要三角公式等，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形的邊或角方程，求出邊、角，進(jìn)而求解。

依此可以設(shè)計(jì)三角板塊考查問題一、小問題與具體問題的層次關(guān)系如下：（如圖2）

圖2 三角板塊考查問題一、小問題與具體問題的層次關(guān)系

為了檢測(cè)教學(xué)是否達(dá)成目標(biāo)，還需對(duì)具體問題、小問題與考查問題三個(gè)層級(jí)目標(biāo)進(jìn)行具體劃分（如表1）。達(dá)成目標(biāo)層級(jí)一，即可進(jìn)入第二輪復(fù)習(xí)，同樣，達(dá)成目標(biāo)層級(jí)二，即可進(jìn)入第三輪復(fù)習(xí)，目標(biāo)層級(jí)三是三輪復(fù)習(xí)最終要達(dá)成的能力目標(biāo)。

針對(duì)不同目標(biāo)層級(jí)要求，分別設(shè)計(jì)若干個(gè)用于教學(xué)的考查問題、小問題和具體問題，以及難度相當(dāng)?shù)哪芰y(cè)評(píng)與目標(biāo)檢測(cè)試題，示例如下。

考查問題：設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S。已知2S=a2-abcosC。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求S的最大值。

分析：這是一個(gè)求三角形有關(guān)量和面積最大值的考查問題。

表1 三角板塊具體問題、小問題與考查問題三個(gè)層級(jí)目標(biāo)劃分

題（Ⅰ）根據(jù)求解與三角形有關(guān)量的一般方法，應(yīng)利用正弦定理將已知含有邊與角的關(guān)系式“化同”為只含角的關(guān)系式，通過變形推理求B；

題（Ⅱ）根據(jù)三角形確定要素分析，在求出B的情況下，再給出b的值，并不能確定三角形，要求S的最大值，需要建立S關(guān)于某一幾何量（邊或角）的函數(shù)，用函數(shù)思想或基本不等式求解。

小問題：已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且a2+c2-b2=ac。

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若c=3a，求tan A的值。

分析：這是一個(gè)求三角形中的有關(guān)量的小問題。

根據(jù)此類問題的一般求解方法，題（Ⅰ）可直接運(yùn)用余弦定理，通過變形求B；

題（Ⅱ）再加上一個(gè)關(guān)于兩條邊的關(guān)系式，不能確定一個(gè)三角形，要求tan A的值，可以從以下三個(gè)角度尋找解題思路：第一，從方程組的角度可以獲得三條邊的比例，借助余弦定理求cos A，進(jìn)而得到tan A；第二，借助正弦定理，將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，從而歸結(jié)為只含sin A和cos A的等式，進(jìn)而得到tan A；第三，先用方程的思想確定邊的關(guān)系，達(dá)到化簡(jiǎn)目的，再轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，先求sin A，進(jìn)而得到tan A。以上三種思路的本質(zhì)是利用正弦定理或余弦定理，通過方程的思想化歸為只含“邊”或“角”的關(guān)系式，這是求解“邊、角”問題的基本思路。

具體問題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c。已知°，求b及A；

分析：這是一個(gè)利用正余弦定理解三角形的具體問題。

根據(jù)此類問題的一般解法，需要畫出草圖并根據(jù)條件判斷是否能確定這個(gè)三角形，然后再正確選擇公式列出方程變形推理，其中，公式的選擇是關(guān)鍵。本題已知兩邊和一夾角，可根據(jù)余弦定理先求對(duì)邊，再用余弦定理或正弦定理求角A。在確定的三角形中，已知兩邊和一對(duì)角常用正弦定理求解。因此，解題需對(duì)條件進(jìn)行分析，并根據(jù)條件選擇正弦或余弦定理。

二、用五環(huán)節(jié)模式設(shè)計(jì)課堂教學(xué)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)還要回答“怎么教和怎么學(xué)”以及“教得怎樣和學(xué)得怎樣”的問題，這些問題最終歸結(jié)為“學(xué)生在原有能力上有怎樣的提升”?！澳芰α⒁?，基于測(cè)評(píng)”的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，最典型的教學(xué)特點(diǎn)就是“基于測(cè)評(píng)”，教學(xué)有五個(gè)環(huán)節(jié)，過程如下：（如圖3）

圖3 教學(xué)五環(huán)節(jié)模式

環(huán)節(jié)一：能力測(cè)評(píng)

（1）適當(dāng)改編一個(gè)考查問題（體現(xiàn)高考能力要求），讓學(xué)生閱讀思考，并限時(shí)解答。

（2）出示正確答案，對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行反饋評(píng)價(jià)。

環(huán)節(jié)二：診斷分析

根據(jù)學(xué)生群體的診斷結(jié)果，借助考查問題的三層次劃分，引出考查問題所需要進(jìn)一步研究的具體問題，出示課題。

環(huán)節(jié)三：典例精析

（1）選擇一個(gè)能解決這個(gè)具體問題的典型例題，進(jìn)行分析求解，注意問題的分析、條件的價(jià)值，如對(duì)解三角，主要考慮幾何條件的理解，以及一般思維方法，注意核心知識(shí)的落實(shí)，方法的提煉，表達(dá)的規(guī)范。

典型例題教學(xué)時(shí)，應(yīng)倡導(dǎo)“延時(shí)判斷、適時(shí)概括”的教法，延時(shí)判斷就是給學(xué)生充足的時(shí)間，給學(xué)生留下判斷的時(shí)間，教師不急于用自己的結(jié)論代替學(xué)生的思考。適時(shí)概括強(qiáng)調(diào)在最佳的時(shí)間里給出方法的總結(jié)、推廣和理論的提升，這對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，夯實(shí)四基，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果都有重要作用。適時(shí)概括的三個(gè)著力點(diǎn)分別是考查的知識(shí)、思想方法和主要能力，即通過分析條件、結(jié)論以及溝通它們的橋梁，得出考查的知識(shí)點(diǎn)；通過分析知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，得出考查的思想方法和主要能力。

（2）選擇該例題的一個(gè)變式訓(xùn)練，由學(xué)生獨(dú)立解答，并進(jìn)行分析講解。

（3）對(duì)解決具體問題所需的知識(shí)和方法進(jìn)行小結(jié)，關(guān)注核心思想的提煉。

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié)

用簡(jiǎn)短的語言對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行小結(jié)，重點(diǎn)分析解決問題中形成的基本思維方法、蘊(yùn)涵在解題過程中的思想方法。

環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測(cè)

提供1道目標(biāo)檢測(cè)題，進(jìn)行限時(shí)檢測(cè)并反饋。

以上五個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成完整的一節(jié)復(fù)習(xí)課。教學(xué)從能力測(cè)評(píng)開始，借助智慧課堂收集學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果；接著，基于能力分析進(jìn)行學(xué)習(xí)診斷，析出具體問題（或小問題、考查問題，下同）；再針對(duì)具體問題，選擇典型例題進(jìn)行精析；然后根據(jù)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行小結(jié)，完成復(fù)習(xí)教學(xué)的過程；最后，設(shè)計(jì)典型例題的變式題進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)，檢測(cè)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果。每個(gè)環(huán)節(jié)都是為下一環(huán)節(jié)服務(wù)，最后一個(gè)環(huán)節(jié)用于檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)是否完成，所以每個(gè)環(huán)節(jié)都不能缺少，也不能調(diào)整順序。

以問題為導(dǎo)向，復(fù)習(xí)教學(xué)就有了能力標(biāo)準(zhǔn)，將問題分層，按能力劃分層級(jí)設(shè)計(jì)教學(xué)，解決了“教什么和學(xué)什么”；五環(huán)節(jié)模式環(huán)環(huán)相扣，解決了“怎么教和怎么學(xué)”；復(fù)習(xí)教學(xué)始于“能力測(cè)評(píng)”，止于“目標(biāo)檢測(cè)”，兩次檢測(cè)的能力差異回答了“教的怎樣和學(xué)的怎樣”。

致謝：本文是集體智慧的結(jié)晶，特別感謝章建躍博士、白濤博士、郭慧清正高級(jí)教師及所有課題組成員。

（黃炳鋒，福州第三中學(xué)高級(jí)教師，首批福建省中小學(xué)教學(xué)名師）