3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與誤差分析

鄭甲紅，劉杰林，李 均，王亞雄，陳 靜，毛廷廷

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

0 引言

目前具有高度精密對(duì)位功能的精密對(duì)位平臺(tái)已成為智能制造和精密加工領(lǐng)域的重要組成部分，隨著國(guó)內(nèi)外制造業(yè)的不斷發(fā)展，一些精密制造領(lǐng) 域需要對(duì)位平臺(tái)的對(duì)位精度能夠達(dá)到微米級(jí)甚至納米級(jí)，這樣就對(duì)高精密并聯(lián)平臺(tái)提出了更高的要求.目前國(guó)內(nèi)外生產(chǎn)的精密對(duì)位平臺(tái)大多為UVW平臺(tái)，這類平臺(tái)采用共平面的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思想，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔靈活，能夠快速準(zhǔn)確的達(dá)到微米級(jí)對(duì)位精度的要求[1].

UVW平臺(tái)采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，所謂并聯(lián)機(jī)構(gòu)是上下兩個(gè)平臺(tái)通過(guò)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的獨(dú)立支鏈相連的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，整個(gè)機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的自由度，并通過(guò)并聯(lián)方式對(duì)機(jī)構(gòu)的每個(gè)自由度進(jìn)行驅(qū)動(dòng)[2].相比串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單穩(wěn)定、剛度大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).

目前高精密對(duì)位平臺(tái)大多采用三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這種機(jī)構(gòu)既不像簡(jiǎn)單的單自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的確定性是肯定的，也不像6自由度機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)完全可以任意給定，這種具有多自由度而又非完全自由的機(jī)構(gòu)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域[3]，目前國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了大量的深入研究[4-10].通過(guò)對(duì)這些新型機(jī)構(gòu)的綜合分析，豐富了三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型組成，擴(kuò)大了三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用范圍[11].

本文以3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，通過(guò)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖的分析，求出機(jī)構(gòu)的自由度；通過(guò)建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和逆解模型，求出機(jī)構(gòu)位置正解和逆解方程；同時(shí)基于SolidWorks建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，導(dǎo)入仿真分析軟件ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析[12]，得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心移動(dòng)線圖，并以此來(lái)分析平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性.

1 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)描述

研究對(duì)象3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和三條PPR運(yùn)動(dòng)支鏈和一條輔助運(yùn)動(dòng)支鏈組成[13]，三條PPR運(yùn)動(dòng)支鏈分別為U、V、W運(yùn)動(dòng)支鏈.能夠分別完成動(dòng)平臺(tái)在X、Y、θ方向的對(duì)位功能.四條運(yùn)動(dòng)支鏈在空間上對(duì)稱分布，每條運(yùn)動(dòng)支鏈由一移動(dòng)副P與定平臺(tái)相連，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R與動(dòng)平臺(tái)相連，每組運(yùn)動(dòng)支鏈中兩個(gè)移動(dòng)副之間的軸線對(duì)應(yīng)垂直.

整個(gè)機(jī)構(gòu)的工作原理：采用伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)支鏈中的滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，絲杠螺母的移動(dòng)帶動(dòng)直線導(dǎo)軌滑塊的移動(dòng)，三組直線導(dǎo)軌滑塊的協(xié)同工作可以使動(dòng)平臺(tái)完成指定方向上的移動(dòng).

根據(jù)上述設(shè)計(jì)理念，建立3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，如圖1所示.平臺(tái)尺寸為500 mm×500 mm×110 mm,主要由四組對(duì)稱分布的運(yùn)動(dòng)支鏈驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng).并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)主要以移動(dòng)-移動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)的方式進(jìn)行傳遞，這樣的傳遞方式使得設(shè)計(jì)的并聯(lián)平臺(tái)結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、對(duì)位精度更加精準(zhǔn).

(a)工作平臺(tái)示意圖

(b)工作平臺(tái)俯視圖圖1 平面并聯(lián)平臺(tái)三維模型

2 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度分析

為了能更好的獲得3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，需要對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行分析，本文要介紹的3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2所示.

圖2 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由Kutzbach-Grubler[3]公式可計(jì)算3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度.

6(8-9-1)+15=3

(1)

式(1)中：n為機(jī)構(gòu)總的構(gòu)件數(shù)，g為所有n個(gè)構(gòu)件之間的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù).

由自由度的計(jì)算結(jié)果可知，機(jī)構(gòu)的自由度為3，由于3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)由三個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)數(shù)目與自由度數(shù)目相等.

2.2 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是在已知機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的前提下，求解機(jī)構(gòu)輸入端及其他構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù).也就是給定動(dòng)平臺(tái)的位姿(x、y、θ)求解三條運(yùn)動(dòng)支鏈驅(qū)動(dòng)器的位移ai(i=1～3).3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解幾何模型如圖3所示.

(a)機(jī)構(gòu)原點(diǎn)位置幾何模型

(b)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位置幾何模型圖3 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型

由圖3分析可知,當(dāng)運(yùn)動(dòng)支鏈由零點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)到初始位置時(shí)，各軸相對(duì)進(jìn)給量的計(jì)算公式如式(2)所示.

Δa1=Rcos(Δθ+θX1+θ0)-Rcos(θX1+θ0)

Δa2=Rcos(Δθ+θX2+θ0)-Rcos(θX2+θ0)

Δa3=Rsin(Δθ+θY+θ0)-Rsin(θY+θ0)

(2)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)支鏈由初始位置運(yùn)動(dòng)到當(dāng)前位置時(shí)，即從A1點(diǎn)(x1、y1、θ0)運(yùn)動(dòng)至A2(x2、y2、δθ+θ0)點(diǎn)，各軸的運(yùn)動(dòng)變化方程.

Δa1=Rcos(Δθ+θX1+θ0)-Rcos(θX1+θ0)+δx

Δa2=Rcos(Δθ+θX2+θ0)-Rcos(θX2+θ0)+δx

Δa3=Rsin(Δθ+θY+θ0)-Rsin(θY+θ0)+δx

(3)

此為該平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程.

式(3)中：△a1，X1軸的相對(duì)進(jìn)給量，mm；△a2，X2軸的相對(duì)進(jìn)給量，mm；△a3，Y軸的相對(duì)進(jìn)給量，mm；θX1，與X1軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心的角度位置，5π/4；θX2，與X2軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心的角度位置，3π/4；θX3，與X3軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心的角度位置，π/4；θ0，計(jì)算前頂臺(tái)角度；Δθ，頂臺(tái)轉(zhuǎn)角；R，通過(guò)與各軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心的虛擬圓的半徑；δx，某一位置開始運(yùn)動(dòng)到下一位置時(shí)動(dòng)平臺(tái)在X方向上的角度變化量；δy，某一位置開始運(yùn)動(dòng)到下一位置時(shí)動(dòng)平臺(tái)在Y方向上的角度變化量.

2.3 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析是給定機(jī)構(gòu)輸入端的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解機(jī)構(gòu)輸出端指定點(diǎn)的位移、速度和加速度的變化規(guī)律.也就是已知電機(jī)輸入?yún)?shù)(a1、a2、a3)，求解輸出參數(shù)也即平臺(tái)位移量(x、y、θ)的過(guò)程.并聯(lián)機(jī)構(gòu)中求解位置正解方程常用環(huán)路矢量法，利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)中形成的環(huán)路建立相應(yīng)的矢量方程，通過(guò)消元得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解表達(dá)式[14].

并聯(lián)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解幾何模型如圖4所示.

圖4 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型

由機(jī)構(gòu)正解幾何模型可以看出機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位移的變化主要是由輸入構(gòu)件和中間構(gòu)件的變化引起的.設(shè)e1和e2分別為定坐標(biāo)OXY在X、Y方向的單位矢量，hi為各驅(qū)動(dòng)支鏈在定坐標(biāo)系OXY中的方向向量.在圖4所示閉環(huán)回路運(yùn)動(dòng)支鏈O-Ai-Bi-Ci-P中，由矢量分析法可以建立各個(gè)支鏈的矢量方程.

(4)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)支鏈由當(dāng)前位置運(yùn)動(dòng)到下一位置時(shí)可得各支鏈的矢量方程.

(5)

(4)式和(5)式相減可得平臺(tái)運(yùn)動(dòng)變化量的矢量方程.

(6)

計(jì)算可得：

(7)

式(7)便為該平臺(tái)的正解方程.

上式中θx1為從X1軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心指向動(dòng)平臺(tái)中心O點(diǎn)的角度位置，π/4；θx2為與X2軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心指向動(dòng)平臺(tái)中心O點(diǎn)的角度位置，-π/4；θx3為與X3軸連接的交叉滾柱軸環(huán)中心指向動(dòng)平臺(tái)中心O點(diǎn)的角度位置，5π/4.

2.4 雅可比矩陣分析

通過(guò)對(duì)機(jī)構(gòu)位置正解分析，假設(shè)當(dāng)前位置的偏角為θ，則由式(4)可得.

(8)

式(8)中：

(9)

故該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為：

J=A-1B

(10)

計(jì)算可得出速度方程：

(11)

式(9)中：

(12)

可用于方向向量求導(dǎo)或?qū)ψ兞康南?，R為旋轉(zhuǎn)矩陣.

2.5 工作空間分析

自原始位置開始(θ0=0)，平臺(tái)轉(zhuǎn)角為θ.三條驅(qū)動(dòng)絲杠△a1，△a2，△a3的驅(qū)動(dòng)行程均屬于[-10,10]，轉(zhuǎn)動(dòng)副中心到動(dòng)平臺(tái)中心距離|CiP|=225 mm,計(jì)算和分析平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間如下:

采用上述的空間布局時(shí)，可得R1=225×21/2=318 mm，由反解方程：

(13)

可得：當(dāng)θ為1 °時(shí)：

Δx∈[-10,10]

Δy∈[-10,10]

當(dāng)θ為1 °時(shí)：

Δx∈[-6.107,6.039]

Δy∈[-13.813,6.107]

當(dāng)θ為2 °時(shí)：

Δx∈[-2.285,2.011]

Δy∈[-17.715,2.285]

分析可知θ分別為0 °、1 °、2 °時(shí)，平臺(tái)的工作空間如圖5所示.

由圖5可知，平臺(tái)的對(duì)位主要發(fā)生在(0,0)點(diǎn)附近，且隨著角度增大，平臺(tái)的工作空間下移，并逐漸偏離了原點(diǎn)位置.由此可知，在平臺(tái)對(duì)位過(guò)程中應(yīng)盡量避免大的角度偏移.

3 間隙誤差分析

3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各組成部分在制造和裝配過(guò)程中存在間隙，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的輸入誤差和傳動(dòng)副誤差會(huì)對(duì)其末端執(zhí)行器精度產(chǎn)生很大的影響[15,16]，因此分析平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的間隙誤差方程可在設(shè)計(jì)平臺(tái)時(shí)有效的降低整個(gè)機(jī)構(gòu)的誤差.

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型可知，在理想情況下，Rαi,Rβi均為單位矩陣，ρi為0(i=1,2,3).現(xiàn)考慮有誤差的真實(shí)情況，可列方程如下.

iihi+aiRαie2+biRβie1+ρini+RR(θxi+θ)e2=

P(i=1,2)

i3h3+a3Rα3e1+b3Rβ3e2+ρ3n3=P

(14)

可得P點(diǎn)的位置誤差表達(dá)式.

δP=δaiRαie2+δbiRβie1+biδβiERβie1+

δρini+RδθER(θxi+θ)e2

δP=δa3Rα3e1+δb3Rβ3e2+b3δβ3ERβ3e2+δρ3n3

(15)

在進(jìn)行回程間隙計(jì)算時(shí)，第一個(gè)移動(dòng)副與底板是完全固定的狀態(tài)，故不存在擺動(dòng)間隙的問(wèn)題，也就是說(shuō)δαi為0.

消除變量δbi可得：

(Rβie1)TETδP=δai(Rβie1)TETRαie2+

δβi[bi(Rβie1)TRβie1]+δρi(Rβie1)TETni+

δθ[R(Rβie1)TR(θxi+θ)e2](i=1,2)

(Rβ3e2)TETδP=δa3(Rβ3e2)TETRα3e1+

δβ3[b3(Rβ3e2)TRβ3e2]+δρ3(Rβ3e2)TETn3

(16)

故可得

(17)

式(17)中：

(18)

Hα=diag[(Rβ1e1)TETRα1e2(Rβ2e1)TETRα2e2(Rβ3e2)TETRα3e1]

Hβ=diag[b1(Rβ1e1)TRβ1e1b2(Rβ2e1)TRβ2e1b3(Rβ3e2)TRβ3e2]

Hρ=diag[(Rβ1e1)TETn1(Rβ2e1)TETn2(Rβ3e2)TETn3]

(19)

式(18)中:A是非奇異矩陣，在上式兩邊同乘以A-1可得.

(20)

其中

Jq=A-1Hq,q∈{α,β,ρ}

(21)

這樣，Jq便包含了每條傳動(dòng)鏈中的參數(shù)誤差，稱其為敏感系數(shù).

故可寫成如下的形式：

(22)

式(22)中:

Jerr=[JαJβJρ]

δvar=[δαTδβTδρT]T

(23)

而且，

(24)

這樣，Jerr矩陣便是整個(gè)系統(tǒng)的敏感系數(shù)的雅可比矩陣，δvar是包含全部誤差變量的向量.

4 3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)受載荷變形分析

3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)屬于精密機(jī)械，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)要求其最大承受載荷能夠達(dá)到500 N；對(duì)位精度能夠在10s內(nèi)達(dá)到±3μm.考慮載荷變化對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)變形的影響，分析在相同載荷不同作用條件的作用下，機(jī)構(gòu)的變形大小.

在ANSYS Workbench中對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析，將500 N的載荷均勻分布在動(dòng)平臺(tái)的上平面上可得機(jī)構(gòu)受力變形云圖如圖6所示.

將500 N載荷集中分布在動(dòng)平臺(tái)上平面一小部分區(qū)域，得機(jī)構(gòu)受力變形云圖如圖7所示.

對(duì)圖6和圖7受力變形云圖進(jìn)行對(duì)比分析可知，當(dāng)載荷均勻分布在動(dòng)平臺(tái)上，機(jī)構(gòu)的最大變形為2μm；當(dāng)載荷集中分布在動(dòng)平臺(tái)一小片區(qū)域，機(jī)構(gòu)的最大變形為8μm.為了防止過(guò)大變形對(duì)平臺(tái)間隙誤差的影響，因此在機(jī)構(gòu)對(duì)位過(guò)程中應(yīng)避免將載荷集中分布，以免導(dǎo)致平臺(tái)變形過(guò)大使其對(duì)位精度不準(zhǔn)確.

圖6 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)載荷均勻分布受力變形云圖

圖7 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)載荷集中分布受力變形云圖

5 基于SolidWorks和ADAMS的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

5.1 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)模型建立

ADAMS，即機(jī)械系統(tǒng)自動(dòng)分析(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)，是全球運(yùn)用最為廣泛的機(jī)械系統(tǒng)仿真軟件，用戶可以利用ADAMS在計(jì)算機(jī)上建立和測(cè)試虛擬樣機(jī)，實(shí)現(xiàn)事實(shí)再現(xiàn)仿真，了解復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)性能以及可以輸出機(jī)械系統(tǒng)的位移、速度、加速度曲線等.

在滿足虛擬樣機(jī)仿真運(yùn)動(dòng)功能完整的前提下，虛擬樣機(jī)的建立要盡可能的簡(jiǎn)化.模型中保留定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和三條簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)支鏈，簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)支鏈主要由兩個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，省略了電機(jī)、聯(lián)軸器、齒輪等細(xì)化的零件.建立的簡(jiǎn)化模型如圖8所示.

圖8 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

將簡(jiǎn)化好的模型保存為Parasolid格式文件并導(dǎo)入ADAMS，之后對(duì)導(dǎo)入ADAMS中的模型進(jìn)行前處理、添加運(yùn)動(dòng)副和驅(qū)動(dòng).添加完成的虛擬樣機(jī)模型如圖9所示.

圖9 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)模型

5.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

添加三條運(yùn)動(dòng)支鏈的三個(gè)與定平臺(tái)相固聯(lián)的移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副，設(shè)U支鏈、V支鏈為X方向，W支鏈為Y方向，對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真.本文研究的3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以做X、Y方向、傾斜方向、繞定位平臺(tái)中心及回轉(zhuǎn)移動(dòng).下面對(duì)不同的移動(dòng)方式對(duì)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的影響進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析.

5.2.1 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心分別做X、Y方向上的運(yùn)動(dòng)

設(shè)U支鏈、V支鏈和W支鏈的驅(qū)動(dòng)函數(shù)分別為M1、M2、M3，若不考慮摩擦力的影響，分別給定三個(gè)驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)：M1=20×sin(3×time)，M2=20×sin(3×time)，M3=0.設(shè)置運(yùn)動(dòng)仿真，仿真時(shí)間10s，仿真步數(shù)steps=500,得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在X方向位置變化曲線如圖10所示.

同理給定三個(gè)驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)：M1=0，M2=0，M3=20×sin(3×time)，得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在Y方向的位置變化曲線如圖11所示.

圖10 X方向移動(dòng)線圖

圖11 Y方向移動(dòng)線圖

由圖10、11可知：分別給定平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在X、方向上的驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，動(dòng)平臺(tái)分別沿X、Y方向按給定的驅(qū)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)且無(wú)沖擊的現(xiàn)象.

5.2.2 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心做傾斜方向移動(dòng)

分別給定三個(gè)驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)：M1=20×sin(3×time)，M2=20×sin(3×time)，M3=-20×sin(3×time).設(shè)置運(yùn)動(dòng)仿真，仿真時(shí)間10 s，仿真步數(shù)steps=500,得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心做傾斜方向位置變化曲線如圖12所示.

圖12 傾斜方向移動(dòng)線圖

由圖12可知：平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)做傾斜方向移動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在X和Y方向上的移動(dòng)線圖重合，說(shuō)明平臺(tái)在運(yùn)行過(guò)程中運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，無(wú)干涉和奇異點(diǎn)出現(xiàn).

5.2.3 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心繞定位平臺(tái)中心移動(dòng)

分別給定三個(gè)驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)：M1=-20×sin(3×time)，M2=20×sin(3×time)，M3=-20×sin(3×time).設(shè)置運(yùn)動(dòng)仿真，仿真時(shí)間10 s，仿真步數(shù)steps=500，得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心做繞定位平臺(tái)中心移動(dòng)變化曲線如圖13所示.

圖13 繞定位平臺(tái)中心移動(dòng)線圖

由圖13可知:平臺(tái)做繞定位平臺(tái)中心移動(dòng)時(shí)，在X方向上的移動(dòng)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在Y方向的移動(dòng)量.這是由于Y方向單電機(jī)驅(qū)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)的不平衡造成Y方向移動(dòng)量過(guò)小.

5.2.4 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心回轉(zhuǎn)移動(dòng)

分別給定三個(gè)驅(qū)動(dòng)副不同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)：M1=20×sin(3×time)，M2=0，M3=-20×sin(3×time).設(shè)置運(yùn)動(dòng)仿真，仿真時(shí)間10 s，仿真步數(shù)steps=500,得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心做繞定位平臺(tái)中心移動(dòng)變化曲線如圖14所示.

圖14 回轉(zhuǎn)移動(dòng)線圖

由圖14可知：動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在X方向上的移動(dòng)量大于在Y方向上的移動(dòng)量，平臺(tái)質(zhì)心在驅(qū)動(dòng)力的作用下做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，X、Y方向上有共同的交點(diǎn)，表明平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)行平穩(wěn)，無(wú)干涉和奇異點(diǎn)的出現(xiàn).

以上分析結(jié)果為通過(guò)ADAMS后處理模塊得到的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在各種不同運(yùn)動(dòng)情況下動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在X、Y方向的位移、速度和加速度線圖.分析移動(dòng)線圖，可知線圖光滑且呈一定的規(guī)律性進(jìn)行波動(dòng)，可以說(shuō)明平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中具有良好的穩(wěn)定性和周期性，能夠很好的滿足動(dòng)平臺(tái)在對(duì)位過(guò)程中所需要的高精度和高速度的要求.

6 結(jié)論

對(duì)于3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)文中基于共平面理論建立3-PPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型并詳細(xì)介紹平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成并對(duì)其運(yùn)動(dòng)原理進(jìn)行說(shuō)明.建立機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖并求出其自由度，求得平臺(tái)的自由度數(shù)目與其驅(qū)動(dòng)數(shù)目相同.建立機(jī)構(gòu)的正反解幾何模型并通過(guò)分析計(jì)算得到機(jī)構(gòu)位置正反解方程.考慮輸入誤差和傳動(dòng)副誤差對(duì)執(zhí)行末端精度的影響，計(jì)算出整個(gè)結(jié)構(gòu)的間隙誤差方程.分析整個(gè)機(jī)構(gòu)的受力變形云圖，得到機(jī)構(gòu)在不同載荷分布狀況下的變形情況.對(duì)所建立的三維模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，分析得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的位移、速度和加速度的曲線圖，分析移動(dòng)線圖，可知線圖光滑且呈一定的規(guī)律性進(jìn)行波動(dòng)，說(shuō)明平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中具有良好的穩(wěn)定性和周期性.本文的研究結(jié)果為精密對(duì)位平臺(tái)進(jìn)一步的動(dòng)力學(xué)分析以及平臺(tái)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與改進(jìn)提供了理論基礎(chǔ).