“矢量三角形”在高中物理力學(xué)中的妙用

湖南 陳 鋒

在高中物理力學(xué)部分的習(xí)題中，通常會(huì)遇到緩慢移動(dòng)的準(zhǔn)靜態(tài)平衡問題，討論力的變化情況，若采用正交分解法得出變力的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行討論，對(duì)數(shù)學(xué)要求高，往往陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，甚至不能得出結(jié)果。結(jié)合力學(xué)的特點(diǎn)，本文介紹了“矢量三角形”在這類問題中的妙用，非常形象、直觀的揭示了問題的本質(zhì)，學(xué)生容易掌握，更能熟練運(yùn)用，頗受青睞。

題型一、矢量三角形

【示例】用細(xì)繩AO、BO懸掛一重物，BO水平，O為半圓形支架的圓心，懸點(diǎn)A和B在支架上。懸點(diǎn)A固定不動(dòng)，將懸點(diǎn)B從圖1甲所示位置逐漸移到C點(diǎn)的過程中，試分析OA繩和OB繩中的拉力變化情況。

圖1

【解析】結(jié)點(diǎn)O在三段細(xì)繩的拉力作用下處于平衡狀態(tài)，在懸點(diǎn)B從圖1甲所示位置逐漸移到C點(diǎn)的過程中，結(jié)點(diǎn)O一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受合力為零。若用正交分解法來求解OA繩和OB繩中的拉力變化情況，需要用到三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)要求較高，原則上是能得出最終的結(jié)果，但不直觀。若將FA、FB進(jìn)行平移與G必將構(gòu)成矢量三角形，如圖1乙所示，在支架上選取三個(gè)點(diǎn)B1、B2、B3，當(dāng)懸點(diǎn)B分別移動(dòng)到B1、B2、B3各點(diǎn)時(shí)，BO中的拉力分別為FB1、FB2、FB3，從圖中可以直觀地看出，F(xiàn)A逐漸變小，且方向不變；而FB先變小，當(dāng)FB與FA垂直時(shí)，F(xiàn)B最小，然后FB又逐漸增大，且方向不斷改變。

【題型特點(diǎn)】結(jié)點(diǎn)O受三個(gè)力作用而一直處于平衡狀態(tài)，其中一個(gè)力是恒力(一般為重力)，另一個(gè)力的方向不變，第三個(gè)力的大小、方向都在變化，但三個(gè)力的合力始終為零，構(gòu)成的矢量三角形在不斷變化，因此，根據(jù)矢量三角形的邊長(zhǎng)變化能直接反映力的大小變化，從而直觀的解決問題。此法常稱之為“矢量三角形法”。

題型二、相似三角形

【示例】如圖2甲所示，一光滑半球固定在水平面上，在其球心O的正上方固定一個(gè)小定滑輪，細(xì)線的一端拴一小球，另一端繞過定滑輪．如果緩慢地將小球從A點(diǎn)拉到B點(diǎn)，則在此過程中，試分析小球受到半球?qū)λ闹С至N、細(xì)線的拉力FT如何變化？

圖2

【解析】小球在被拉動(dòng)的過程中，受重力G、球面的支持力FN、繩子的拉力FT。由于這是一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡過程，雖然小球所受的重力保持不變，但拉力和支持力應(yīng)該是變化的，但這不過只是一種感覺而已，要判斷它們的變化特點(diǎn)，還得先確定它們的大小與哪些因素有關(guān)。

【題型特點(diǎn)】小球受三個(gè)力的作用而一直處于平衡狀態(tài)，其中一個(gè)力是恒力(一般為重力)，另外兩個(gè)力的方向均在變化，但三個(gè)力構(gòu)成的矢量三角形與圖中由某些空間邊長(zhǎng)構(gòu)成的幾何三角形相似，運(yùn)用相似比很容易得出力的變化情況。此法常稱之為“相似三角形法”。

題型三、三角圓

圖3

【解析】重物向右上方緩慢拉起的過程中，受到重力G、輕繩MN的拉力FN和輕繩OM的拉力FM而處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力的合力為零。若將FN和FM正交分解來討論它們的變化情況，必將陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，很難得到最終結(jié)果；若采用正弦定理和三角函數(shù)進(jìn)行討論可以求得結(jié)果，但不直觀。而將重物受到的三個(gè)力進(jìn)行平移，構(gòu)成矢量三角形，結(jié)合本題的特點(diǎn)：(1)保持輕繩MN和輕繩OM的夾角α不變，那么矢量三角形中FN和FM的夾角一直為(π-α)，如圖3乙所示，(2)重力G對(duì)應(yīng)矢量三角形中的這條邊長(zhǎng)不變；綜合(1)(2)特點(diǎn)本題符合平面幾何圓中的弦長(zhǎng)一定，其對(duì)應(yīng)的圓周角保持不變的性質(zhì)。因此，以O(shè)為圓心，以某一長(zhǎng)度為半徑作一圓，用重力G表示定弦。取緩慢拉動(dòng)過程中的①(輕繩MN水平)、②、③(輕繩OM水平)位置進(jìn)行分析，做出對(duì)應(yīng)的矢量三角形，滿足由FN和FM構(gòu)成的頂角在圓周上移動(dòng)時(shí)，定弦G對(duì)應(yīng)的圓周角不變。初始時(shí)，F(xiàn)M=G；位置①時(shí)FM過圓心最大，從圖中可以直觀看出，F(xiàn)M先增大后減?。籉N一直增大，位置③時(shí)FN過圓心最大。

【題型特點(diǎn)】重物受三個(gè)力的作用而一直處于平衡狀態(tài)，其中一個(gè)力是恒力(一般為重力)，另外兩個(gè)力均在變化，但這兩個(gè)力的方向所夾的角度保持不變，運(yùn)用“三角圓”能直觀的演示這兩個(gè)力的變化情況。此法常稱之為“三角圓法”。