場(chǎng)景疊合比較 運(yùn)動(dòng)時(shí)間明了

湖北 許 文

一、問題的提出

如何定性比較同一帶電粒子在不同邊界的相同勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做部分圓弧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？或者幾個(gè)相同的粒子以相同的初速率從不同位置或不同方向射入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

對(duì)以上提出的問題，如果采用定量的方法進(jìn)行研究，求出粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，通過比較圓心角的大小來比較粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，有時(shí)往往會(huì)因數(shù)學(xué)計(jì)算顯得較為繁瑣。若將粒子運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)區(qū)域疊合在一起，則粒子運(yùn)動(dòng)的部分圓弧軌跡就可能重疊。定性的畫出粒子可能的運(yùn)動(dòng)圓弧軌跡，再比較其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，問題就會(huì)變得直觀、簡(jiǎn)潔、明了。

二、實(shí)例分析

【例1】如圖1所示，圖1甲中正方形邊長(zhǎng)、圖1乙中圓的直徑、圖1丙中菱形的對(duì)角線與圖1丁中等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)均相等。這些區(qū)域中均有相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直區(qū)域平面向里。有四個(gè)電子以相同的速度分別從圖1甲中正方形區(qū)域一邊的中點(diǎn)垂直于邊長(zhǎng)射入、從圖1乙中圓形區(qū)域的邊界正對(duì)圓心射入、從圖1丙中菱形區(qū)域的一頂點(diǎn)沿對(duì)角線射入、從圖1丁中等腰直角三角形區(qū)域的直角邊中點(diǎn)垂直該邊射磁場(chǎng)中，電子在這些磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t甲、t乙、t丙、t丁。則以下關(guān)系可能正確的是

( )

圖1

A.t甲=t乙=t丙=t丁B.t丙=t丁

C.t丙t丙=t丁

圖2

【答案】ABC

【點(diǎn)評(píng)】本題中的四個(gè)電子有相同的初速度，它們?cè)谙嗤拇艌?chǎng)中的偏轉(zhuǎn)方向與做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。將它們運(yùn)動(dòng)的不同的四個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域疊合在一起，則這四個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)軌跡將重疊。改變電子運(yùn)動(dòng)的初速度大小，電子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡半徑就會(huì)改變。畫出電子運(yùn)動(dòng)的某一可能的軌跡圓(如圖2中的圓1)，在電子入射點(diǎn)的位置不變的情況下對(duì)這一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，得到某些特征的軌跡圓(如圖2中的圓2與圓3)，則四個(gè)電子分別在四個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域中做部分圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大小關(guān)系便清楚明了。

【例2】如圖3所示，以O(shè)為圓心、MN為直徑的圓內(nèi)左半部分有垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。三個(gè)不計(jì)重力、質(zhì)量相同、電荷量相同的帶正電的粒子a、b、c以相同大小的速度分別沿AO、BO、CO方向垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，已知BO⊥MN，AO、CO與BO的夾角均為30°，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力，a、b、c三個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為ta、tb、tc，則關(guān)于ta、tb、tc的大小關(guān)系可能的是

( )

圖3

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】由于這三個(gè)粒子的質(zhì)量與電荷量相同，且以相同大小的速率射入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，可知這三個(gè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。由于粒子a只可能在AOM的扇形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子b只可能在BOM的扇形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子c只可能在COM的扇形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如果將它們運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)區(qū)域以AO、BO、CO線為底邊疊合在一起(如圖4所示)，則等效為三個(gè)粒子入射磁場(chǎng)的位置相同，它們?cè)诖艌?chǎng)中的偏轉(zhuǎn)方向也相同，故它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓軌跡是重合的。由于粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑大小與其速度大小有關(guān)。不同大小的速度，粒子軌跡圓的半徑將不同。我們將粒子的運(yùn)動(dòng)的某一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)縮放，就可得到粒子從磁場(chǎng)各邊界射出的情景。

如圖4所示，當(dāng)粒子的軌跡圓為1時(shí)，這三個(gè)粒子均從場(chǎng)區(qū)圓弧的邊界同一位置射出(用a1標(biāo)記粒子射出位置)，則有ta=tb=tc，選項(xiàng)D正確；當(dāng)粒子的軌跡圓為2時(shí)，則a粒子先從磁場(chǎng)OM邊界上射出(用a2標(biāo)記粒子射出位置)，而后b、c兩個(gè)粒子從場(chǎng)區(qū)圓弧的邊界相同位置射出磁場(chǎng)，則有ta

圖4

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】本題中的三個(gè)帶正電的相同粒子以相同大小的速度，分別從不同位置進(jìn)入同一磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它們?cè)诖艌?chǎng)中可能運(yùn)動(dòng)的區(qū)域只有部分相同。認(rèn)清它們?cè)诖艌?chǎng)中可能運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，將它們進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)區(qū)域疊合在一起，這三個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將重疊。改變粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小，粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡半徑就會(huì)改變。對(duì)某一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，就能得到它們可能從磁場(chǎng)不同邊界射出磁場(chǎng)的各種情景，從而為比較它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間大小關(guān)系帶來了極大的方便。

【例3】如圖5所示，在Rt△ABC內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，∠ABC=30°，D、F將斜邊AB三等分，DE、FG平行于AC。a、b、c三個(gè)相同的帶正電的粒子分別從D、F、A三點(diǎn)分別沿DE、FG、AC方向以相同的初速度射入磁場(chǎng)，它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為ta、tb、tc。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力，則關(guān)于ta、tb、tc的大小關(guān)系可能的是

( )

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】如圖5所示，這三個(gè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，偏轉(zhuǎn)方向相同。但粒子a只可能在△BDE的磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子b只可能在△BFG的磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子c只可能在△BAC的磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)。將它們進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與可能運(yùn)動(dòng)的部分磁場(chǎng)區(qū)域疊合在一起(如圖6所示)，等效為它們?cè)诖艌?chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡重合。改變粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小，就可改變粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡半徑。當(dāng)粒子的軌跡圓為1時(shí)，它們到達(dá)磁場(chǎng)邊界AB上的位置相同用a1標(biāo)記射出位置，這種情況下應(yīng)有ta=tb=tc，選項(xiàng)D正確；當(dāng)粒子的軌跡圓為2時(shí)，a粒子先從磁場(chǎng)豎直邊界EB″上射出(用a2標(biāo)記粒子射出位置)，后b、c兩個(gè)粒子從AB邊同一位置射出磁場(chǎng)，這種情況下應(yīng)有ta

圖6

【答案】AD