例析克服安培力做功與能量轉(zhuǎn)化的普適性規(guī)律

貴州 陳 海

文章以電磁感應(yīng)中“雙桿問題”為背景分析了安培力做功與能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系，指出應(yīng)用二級結(jié)論“克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的總焦耳熱”處理問題時(shí)要注意適用條件，推導(dǎo)出電磁感應(yīng)中克服安培力做功與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系的普適性方程，得出了普適性的規(guī)律。

一、原題再現(xiàn)

【例1】如圖1所示，質(zhì)量均為m的物體A、B之間用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，靜止于傾角為θ的光滑斜面上，物體A與擋板接觸而不粘連，物體R用平行于斜面的輕質(zhì)細(xì)線繞過光滑的滑輪與水平導(dǎo)軌上的金屬桿ab連接。金屬桿ab、cd的質(zhì)量都為m0，電阻都為R。金屬桿長度及導(dǎo)軌的寬度均為L，金屬桿與導(dǎo)軌的接觸良好，水平導(dǎo)軌足夠長且光滑，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間有垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，與桿連接的細(xì)線水平，細(xì)線剛好拉直而無作用力。現(xiàn)用恒定的水平力作用于cd桿的中點(diǎn)，使桿cd由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿cd開始勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A恰好與擋板間無彈力。從cd桿開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)過程中，cd桿產(chǎn)生的焦耳熱為Q，求：水平恒力做的功W為多大。

圖1

【錯(cuò)解】對cd桿，當(dāng)開始勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由二力平衡可得F=F安=2mgsinθ①

由安培力的定義可知

F安=BIL②

對cd桿，從靜止到當(dāng)開始勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得

根據(jù)安培力做功與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系可知克服安培力做功

W克=2Q⑤

由①②③④⑤可得

二、問題提出

青年教師和學(xué)生在處理本題時(shí)，容易得出上述的答案，上述解析過程看似嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)則錯(cuò)誤。反思錯(cuò)因，在教學(xué)中要注意以下兩個(gè)問題。第一是在④式中，要注意應(yīng)用“動(dòng)能定理”時(shí)研究對象與內(nèi)容的表達(dá)。第二是在⑤式中，要注意二級結(jié)論“克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的總焦耳熱”的適用條件。同時(shí)提出了物理問題的解決要通過科學(xué)探究來揭示科學(xué)本質(zhì)，才能突破教學(xué)中的難點(diǎn)和消除教學(xué)中的疑點(diǎn)。為弄清楚問題本質(zhì)，可換用另一種解法，通過對比來揭示其中的規(guī)律。

三、正確解法

對ab、cd桿及物體與彈簧組成的系統(tǒng)，從cd桿靜止到當(dāng)開始勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，由功能關(guān)系得

由題意知，此過程中彈簧的壓縮量等于伸長量，彈性勢能沒有變化，物體B沿斜面運(yùn)動(dòng)的距離為

由①②③⑦⑧可得

四、結(jié)論推導(dǎo)

由④式和⑦式可得，克服安培力做功為W克=2Q+mglsinθ，故⑤式W克=2Q是錯(cuò)的。因此必須對二級結(jié)論“克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的總焦耳熱”重新認(rèn)識，下面通過例2的具體分析來尋找普適性的規(guī)律。

【例2】兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間距為l。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒PQ和MN，構(gòu)成矩形回路。導(dǎo)體棒PQ的質(zhì)量為m、MN的質(zhì)量為2m，兩者的電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)。在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行。開始時(shí)，棒MN靜止在導(dǎo)軌上，PQ棒以大小為v0的初速度從導(dǎo)軌左端開始向右運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。忽略回路的電流對磁場產(chǎn)生的影響。

圖2

從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中。試分析：(1)整個(gè)過程中產(chǎn)生的總熱量是多少。(2)克服安培力所做的功是多少。(3)電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能是多少。

【解析】對棒PQ和MN，從開始到速度相同時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得

mv0=(m+2m)v

對棒PQ和MN組成的系統(tǒng)，從開始到速度相同過程中能量守恒則

對棒PQ，從開始到速度相同時(shí)，由動(dòng)能定理得

對棒MN，從開始到速度相同時(shí)，有

五、教學(xué)啟示

1.在④式中，對cd桿用動(dòng)能定理，只要對克服安培力做功利用“普適性方程”求解，得出的結(jié)果就不會錯(cuò)。若對ab、cd桿組成的系統(tǒng)用動(dòng)能定理和對ab及物體組成的系統(tǒng)用動(dòng)能定理，也可以得出正確的結(jié)果，只是解題過程比較繁瑣。若對ab、cd桿及物體與彈簧組成的系統(tǒng)用功能關(guān)系，很快可以得出正確答案，因此在教學(xué)中如何選擇研究對象及運(yùn)用規(guī)律只是方法的優(yōu)化，無對錯(cuò)之別。