巧用三角形定則破解相對(duì)運(yùn)動(dòng)疑難問題

(江蘇省如東縣馬塘中學(xué)，江蘇 如東 226401)

在高三力學(xué)專題復(fù)習(xí)階段，關(guān)于求解“兩根動(dòng)直桿交叉點(diǎn)合速度大小和方向”之類的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題，是學(xué)生們感到困惑的難點(diǎn)。事實(shí)上，只要根據(jù)“運(yùn)動(dòng)合成與分解”的基本方法，找準(zhǔn)根據(jù)、重視過程、巧妙變通，靈活運(yùn)用與平行四邊形定則本質(zhì)一致的三角形定則，這類疑難問題就能迎刃而解。

圖1

經(jīng)典例題:如圖1所示，在同一豎直平面內(nèi)，直桿甲和乙足夠長(zhǎng)，與水平面夾角分別為α=30°、β=45°。當(dāng)兩桿分別以水平速度v甲=4m/s向右和v乙=6m/s向左在兩桿所確定的豎直平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，求兩桿交點(diǎn)P的速度。

方法1:應(yīng)用速度分解，組合新三角形求解。

解題依據(jù)：P點(diǎn)實(shí)際速度vP按照平行四邊形定則分解，平行四邊形定則又可簡(jiǎn)化為三角形定則。對(duì)甲桿，如圖2所示，vP分解為沿著甲桿向下分速度v甲1和水平向右分速度v甲。對(duì)乙桿，如圖3所示，vP分解為沿著乙桿向下分速度v乙1和水平向左分速度v乙。

圖2

圖3

圖4

方法2：應(yīng)用速度分解，構(gòu)造四點(diǎn)共圓求解。

解題依據(jù)：如圖5所示，P點(diǎn)速度按平行四邊定法則可進(jìn)行4次分解：分解為沿著甲桿方向分速度v甲1和水平向右分速度v甲，得矢量△PCE；分解為沿著乙桿方向分速度v乙1和水平向左分速度v乙，得矢量△PDE；兩次正交分解得矢量直角△PAE和△PBE，它們有同一外接圓，即P、A、E、B四點(diǎn)共圓(圓未畫出)，vP為該圓直徑。

圖5

設(shè)圖5中vP方向與甲桿夾角為α1，則v1=vPsinα1，代入數(shù)據(jù)得sinα1≈0.461，即α1≈27.5°，vP與水平方向夾角為α2=α+α1≈57.5°，兩種方法結(jié)果一樣。

現(xiàn)對(duì)上面兩種解法及結(jié)果評(píng)析如下：

(1) 解題依據(jù)一致。都采用了“運(yùn)動(dòng)合成與分解”的思想觀念，靈活運(yùn)用平行四邊形定則即三角形定則進(jìn)行矢量運(yùn)算。

(2) 求解過程推證周密。方法1中由兩個(gè)矢量三角形巧妙地合二為一，在新三角形中運(yùn)用余弦定理和正弦定理，通過求解三角形得解。方法2中靈活變通出兩個(gè)矢量直角三角形，且有同一外接圓，用余弦定理和正弦定理推論，求解圓直徑得解。求解過程都是由矢量關(guān)系圖與數(shù)學(xué)定理公式相結(jié)合，數(shù)學(xué)上稱“數(shù)形結(jié)合”，即物理上的“圖式并用”。

變式訓(xùn)練：僅將前例中乙桿速度方向改為豎直向上，其他條件不變，求交點(diǎn)P的速度。

方法1：應(yīng)用速度分解，組合新三角形求解。

圖6

方法2：應(yīng)用速度分解，構(gòu)造四點(diǎn)共圓求解。

圖7