問題驅(qū)動 探究思考 促進生長
——以“軸對稱圖形”習題教學為例

孫 凱，陳 鋒

（江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學；江蘇省無錫市太湖格致中學）

數(shù)學課堂教學活動實質(zhì)上是思維活動的教學，是教師以問題驅(qū)動學生自主探究，在探究中引發(fā)數(shù)學思考，在思考中促進學生思維進一步發(fā)展的過程.數(shù)學課堂教學的實效性有賴于問題的精心設(shè)計，“好問題”成就好課堂.在習題教學時，教師要基于對教材習題設(shè)計意圖的理解，注重挖掘教材習題背后所蘊含的教學價值，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計“好問題”，以問題驅(qū)動學生積極主動地參與數(shù)學探究活動，引發(fā)學生的深度思考，發(fā)展學生的數(shù)學能力，提升數(shù)學素養(yǎng).本文以蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“軸對稱圖形”的習題教學為例，展示對教材習題跟進問題探究的設(shè)計與意圖，供同行研討交流.

一、用動態(tài)的視角設(shè)計問題探究

教材上提供的習題是以靜態(tài)的形式呈現(xiàn)的，分析解讀習題設(shè)計目的是教師的必修課.“用教材教”與“教教材”是我們經(jīng)常討論的話題，如何做好“用教材教”是必須重視的課題.在習題教學中，教師要引導學生用動態(tài)的視角去觀察與思考教材上的習題，要以問題驅(qū)動的方式組織學生一起參與有意思的探究之旅，讓學生自然生長知識．

例1如圖1，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G.求△AEG的周長.（選自教材習題2.4第1題.）

圖1

解析：由點E，G分別在AB，AC的垂直平分線上，得EA=EB，GA=GC.所以△AEG的周長為AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=7.

此題主要考查學生對線段垂直平分線性質(zhì)的掌握情況.要解決的問題是求△AEG的周長，學生可以運用轉(zhuǎn)化的方法，獲得△AEG的周長等于線段BC的結(jié)論，使問題得以解決.

問題探究設(shè)計如下.

問題1：如圖2，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，GE=2，求△AEG的周長.

圖2

問題2：如圖3，在△ABC中，BC=5，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC的延長線于點E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，GE=6，求△AEG的周長.

圖3

圖4

問題3：如圖4，在△ABC中，BC=3，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC的延長線于點E，AC的垂直平分線交AC于點F，交CB的延長線于點G，GE=8，求△AEG的周長.

問題4：探究圖2、圖3和圖4中，△AEG的周長與BC，GE的數(shù)量關(guān)系.

問題5：在圖1～圖4中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G.若∠BAC=n°，求∠GAE的度數(shù).

【設(shè)計意圖】筆者在觀察學生用尺規(guī)作圖作三角形三邊垂直平分線時，發(fā)現(xiàn)鄰邊的兩條垂直平分線與第三邊的交點有不同的結(jié)果，有必要做進一步探究.如圖2、圖3、圖4，在不同的圖形中，同樣的問題具有很高的探究價值.原題中線段AB，AC的垂直平分線清晰可辨，學生易于發(fā)現(xiàn)所求△AGE的周長與BC之間的數(shù)量關(guān)系.圖形變化后，線段出現(xiàn)交叉、復合等現(xiàn)象，給學生的思維活動帶來新挑戰(zhàn).在完成相關(guān)邊長數(shù)量關(guān)系的探究后，再以“角”的視角去審視圖形，自然生成新的數(shù)學問題，學生在自主探究中，深刻體會教材習題背后所蘊含的數(shù)學價值，激發(fā)學生的求知欲，開闊學生的探究視野，使思維之花精彩綻放.

二、用增添的視角豐富問題探究

習題教學中，對原問題或原圖形增添一些元素，可以豐富問題探究的內(nèi)容，增加問題探究的趣味性，引發(fā)學生深度學習.

例2如圖5，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A，C，E在一條直線上，AD與BE相等嗎？證明你的結(jié)論.（選自教材習題2.5第10題.）

圖5

解析：結(jié)論AD=BE.

理由如下：由△ABC，△CDE都是等邊三角形，得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°. 于是∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE.從而得△ACD≌△BCE.所以AD=BE.

此題是在學習等腰三角形的軸對稱性后呈現(xiàn)的習題，主要考查學生對等邊三角形性質(zhì)的掌握情況，引導學生根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造三角形全等，探究線段的數(shù)量關(guān)系，其中△ACD≌△BCE是探究該類問題的基礎(chǔ).

問題探究設(shè)計如下.

問題1：如圖6，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A，C，E在一條直線上.

圖6

（1）你還能找到全等的三角形嗎？寫出來并說明理由.

（2）求AD與BE相交時∠APB的度數(shù).

（3）連接FG，判斷FG與AE的位置關(guān)系，并說明理由.

（4）連接PC，證明PC是∠APE的平分線.

（5）分別在AD與BE上取中點M，N，連接CM，CN，MN，判斷△CMN的形狀，并說明理由.

問題2：如圖7，將△CDE圍繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，問題1中的哪些結(jié)論仍然成立？如果成立，試說明理由.

圖7

圖8

問題3：如圖8，將等邊三角形換為等腰直角三角形，你能獲得哪些結(jié)論？試說明理由.

【設(shè)計意圖】在研究圖5中相關(guān)線段和角的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，問題1增設(shè)與某些線段或線段交點有關(guān)的問題，探究提出的新圖形、新要素，解決新問題.這些問題能充分發(fā)揮教材的價值，驅(qū)動學生自主探究和思考.問題2引導學生用運動的視角去研究圖形，即把圖形旋轉(zhuǎn)變化，研究運動變化后的圖形中蘊含的形變與量變，揭示圖形中某些元素間的本質(zhì)關(guān)系，促進數(shù)學思維二次生長.問題3把等邊三角形換成等腰直角三角形，教學時也可以引導學生嘗試換成正方形、等腰三角形等圖形，意在引導學生通過類比的方法發(fā)現(xiàn)這一類圖形問題的數(shù)學本質(zhì)，以此發(fā)現(xiàn)基本規(guī)律，達到觸類旁通的目的.

三、用串聯(lián)的視角整合問題探究

例31.在七年級下冊“證明”一章的學習中，我們曾做過如下的實驗：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC．

（1）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊分別與OA，OB相交于點E，F(xiàn)（如圖9（1））.度量PE，PF的長度，這兩條線段相等嗎？

（2）把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)（如圖9（2）），PE與PF相等嗎？通過實驗可以得到PE=PF的結(jié)論，現(xiàn)在請你證明這個結(jié)論．

圖9

2.已知：如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，且AE=CF.求證：DE=DF.

圖10

第1題與第2題分別選自教材習題2.4第11題與習題2.5第12題.

第1題再現(xiàn)七年級時學生曾經(jīng)做過的實驗，獲得PE=PF的結(jié)論，并用已學的數(shù)學知識證明結(jié)論.學生運用角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形全等，證明結(jié)論恒成立.第2題是圍繞等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)編寫的習題，學生會通過證明△AED≌△CFD或△CED≌△BFD來解決問題.

問題探究設(shè)計如下.

問題1：在第2題中，DE與DF是否垂直？說明理由.

問題2：在第2題中，若把條件AE=CF更換為∠EDF=90°，其他條件不變，求證：DE=DF.

問題3：如圖11，∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分線，三角尺60°角的頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條邊分別與OA，OB相交于點E，F(xiàn)，PE與PF還相等嗎？如果∠AOB=135°，用三角尺45°角的頂點落在OC的任意一點P上，結(jié)論是否還成立？你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖11

【設(shè)計意圖】此例中第2題與第1題有諸多聯(lián)系，第1題中線段PE與PF間的關(guān)系是聯(lián)系它們的紐帶，把兩道習題串聯(lián)在一起，精心設(shè)計問題，以求讓學生融會貫通、事半功倍.問題1引導學生探究線段數(shù)量關(guān)系時還應關(guān)注線段的位置關(guān)系，把握最近發(fā)展區(qū)，搭建思維的“腳手架”.逆向思考是數(shù)學中常用的一種思維方式.問題2與問題1是互逆的，能有效訓練學生逆向思考的能力.這與教材上閱讀材料“倒過來想”的價值是一致的.問題3是開放性問題，給學生預留足夠的探究空間.教學時，教師可以繼續(xù)追問“當∠AOB與∠EPF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，PE=PF？”等問題.學生通過推理、概括、化歸等數(shù)學方法，得到一些有趣的結(jié)論，在提升數(shù)學思維能力的同時收獲自信.

四、教學反思

1.由靜到動，在動態(tài)中尋找好問題

著名數(shù)學家波利亞曾形象地指出：好問題同種蘑菇類似，它們都成堆生長，找到一個后，你應當在周圍找一找，很可能附近有好幾個.教材屬于紙質(zhì)媒介，習題的呈現(xiàn)方式只能是靜態(tài)的形式，這樣的靜態(tài)形式不利于我們研究圖形運動變化背后的數(shù)學知識.教師要用運動變化的視角尋找習題的潛在價值，充分利用平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運動的方式，從不同角度、不同層次或不同側(cè)面對習題進行開發(fā)，設(shè)計探究性問題，使問題得以拓展延伸，開闊學生視野，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).教師是教材的使用者，更是教材的創(chuàng)造者.習題教學中教師應思考如何尋找問題的生長點，深挖教材，尋找好問題，充分發(fā)揮教師的主導作用，驅(qū)動學生經(jīng)歷由靜到動的問題探究，加深學生對數(shù)學知識的理解與掌握.

2.由少到多，在增添中開發(fā)好問題

葉圣陶先生說過，教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學生受益，還得靠教師的善于運用.要做到善于運用教材，教師要做好兩方面的工作.一方面，教師要基于習題研究提升問題設(shè)計的廣度.教師應深入鉆研《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》、教材、教師教學用書等文本資源，正確理解教材的編寫意圖，這是用好教材的基礎(chǔ).教師應整體把握教材上編排的習題，研究習題之間橫向和縱向的聯(lián)系，挖掘習題之間相互關(guān)聯(lián)的潛在教學價值.在進行習題教學設(shè)計時，通過增加研究要素把單元化問題探究引向多元化問題探究.注重同一問題情境下由邊的求值問題拓展到角的求值問題，由角的求值問題拓展到邊的求值問題，由幾何圖形的形狀關(guān)系拓展到線段的位置關(guān)系，由線段的數(shù)量關(guān)系拓展到線段和、差關(guān)系或圖形的面積關(guān)系等，以此提升問題設(shè)計的廣度.另一方面，教師要利用增加研究要素提升問題設(shè)計的深度.基于習題的研究比較，發(fā)現(xiàn)習題背后相關(guān)聯(lián)的問題，設(shè)計具有層次性或開放性的問題.例如，以原習題為背景增加邊或角等要素，生成新圖形、新視覺、新問題；將原題中的一般條件改為特殊條件，使題目具有特殊性；將原題中的特殊條件改為一般條件，使題目具有一般性等，以此引發(fā)學生深度思考、深度學習，使問題探究由“熟”到“透”，實現(xiàn)數(shù)學思維的深度發(fā)展.

因此，在習題教學時，教師既要遵循教材的編寫意圖，體現(xiàn)習題的作用與價值，又要善于根據(jù)學情與教學的需要，對習題進行創(chuàng)造性處理，精心設(shè)計具有追蹤性、拓展性和延伸性的問題，提升問題的深度與廣度，使學生的探究能力、應變能力和思維能力得到有效訓練與發(fā)展.

3.由內(nèi)到外，在深化中挖掘好問題

教材內(nèi)容的編寫既要面向全體學生，又要滿足學生的不同需求，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，還要便于教師發(fā)揮自己的創(chuàng)造性.教師應用心領(lǐng)會教材的精髓，靈活使用教材中的習題.教材上配置的習題注重的是與所學內(nèi)容的協(xié)調(diào)性，其功能是幫助學生鞏固、理解所學知識內(nèi)容，但受限于所涉及知識內(nèi)容范圍的要求，教師設(shè)置的問題要具有一定的基礎(chǔ)性和啟發(fā)性.習題教學中應注重基本圖形（基本模型）的提煉與應用，依托基本圖形，設(shè)計串聯(lián)式問題，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識間的聯(lián)系，深化學生對數(shù)學思想方法的理解.以習題為背景的問題設(shè)計應關(guān)注基本圖形的研究與延伸，如“手拉手”模型、“一線三等角”模型、“K字”模型等.依托基本圖形，有利于設(shè)計高質(zhì)量的層次性問題、開放性問題.在習題教學時，教師可以結(jié)合自己的理解與分析，就同一個問題情境提出不同層次的問題或開放性問題，進一步挖掘習題中蘊含的教學價值，以問題驅(qū)動探究的方式，幫助學生積累活動經(jīng)驗，學會數(shù)學思考，生長數(shù)學思維.