“電磁學(xué)”分類教學(xué)法探討

高偉吉，孫 暢

“電磁學(xué)”是物理學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)必修課，它是光學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、電工學(xué)、電子線路等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，也是各高校理工科專業(yè)廣泛開設(shè)的一門基礎(chǔ)理論課程，因其概念、公式、規(guī)律比較多，涉及矢量代數(shù)、微積分和微分方程等很多高等數(shù)學(xué)知識(shí)，再加上課程容量大，“電磁學(xué)”成為一門學(xué)生普遍反映難學(xué)的課程，因此優(yōu)化教學(xué)方法、提高學(xué)習(xí)效率是我們亟待解決的問題.

分類教學(xué)法就是把教學(xué)內(nèi)容相近、教學(xué)方法相同、物理思想一致的問題放到一起歸為一類來研究的教學(xué)方法.對于同一類型的內(nèi)容，物理思想、思維方式、解決方法、計(jì)算過程都有相似之處，掌握其中的一個(gè)，其它問題就迎刃而解了.分類教學(xué)法的好處在于化繁為簡、觸類旁通、事半功倍.比如，在進(jìn)行磁場教學(xué)時(shí)，學(xué)生就可以對比電場概念和規(guī)律來學(xué)習(xí)磁場的知識(shí)，可以用已經(jīng)熟知的電場物理思想和思維方式來解決磁場的問題.學(xué)生容易學(xué)習(xí)，還可以節(jié)省很多時(shí)間，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.分類教學(xué)法還可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.在教學(xué)中，教師的主導(dǎo)作用是教授學(xué)習(xí)方法，學(xué)生用此方法主動(dòng)去學(xué)習(xí)磁場的規(guī)律，遇到困難時(shí)，教師再進(jìn)行指導(dǎo)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用.在這里針對分類教學(xué)法我們要談以下幾個(gè)問題：矢量場類教學(xué)、三角形積分類教學(xué)、介質(zhì)極化電荷類教學(xué)、對稱性類教學(xué).

1 矢量場類教學(xué)

在“電磁學(xué)”中，矢量場有很多種，比如靜電場、穩(wěn)恒磁場、電流場、電位移D場、磁場強(qiáng)度H場，等等，把這些問題歸成一類稱之為“矢量場類”問題，我們以靜電場為例來說明它的特點(diǎn)，描述靜電場的物理量是電場強(qiáng)度E，它首先是一個(gè)矢量，是空間一定區(qū)域各點(diǎn)的函數(shù)，因此叫矢量點(diǎn)函數(shù).所以靜電場第一個(gè)特點(diǎn)是電場強(qiáng)度E是矢量點(diǎn)函數(shù).我們研究靜電場是要在整個(gè)空間中研究這個(gè)物理量，研究空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的關(guān)系，也就是任意一個(gè)閉合曲面的通量和閉合曲線的環(huán)流.所以靜電場第二個(gè)特點(diǎn)為沿任意一個(gè)閉合曲面的通量等于它所包圍的電量的代數(shù)和除以靜電場第三個(gè)特點(diǎn)為沿任意閉合曲線積分為零，即上就是靜電場特點(diǎn).

在學(xué)習(xí)穩(wěn)恒磁場時(shí)，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生找出與靜電場相似的內(nèi)容對比學(xué)習(xí).由于同一類知識(shí)內(nèi)容相近，教法相同，物理思想一致，以致思維方式大致相同.所以，用已經(jīng)掌握的方法學(xué)習(xí)新知識(shí)就比較容易.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以發(fā)揮主體作用.首先，學(xué)生大致猜測要學(xué)的內(nèi)容，描述磁場的物理量應(yīng)該為磁感應(yīng)強(qiáng)度B，它沿任意閉合曲面的通量是什么？有沒有和電荷一樣的東西？如果有，應(yīng)該是什么？它沿任意閉合曲線的環(huán)流還是零嗎？接下來聽教師講授.這樣，教師的講授內(nèi)容學(xué)生就順理成章接受了.在講授矢量場其它內(nèi)容時(shí)，我們也用類似方法，不過，這時(shí)教學(xué)過程中教師的講授內(nèi)容適當(dāng)少一些，學(xué)生的主體作用適當(dāng)多一些，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高.

各種矢量場規(guī)律不都相同，但是都反映有源性和有旋性，抓住這兩個(gè)性質(zhì)，這一類問題就迎刃而解了.

我們再來研究一下有源性.靜電場是一個(gè)有源場，如圖1是一對等量異號(hào)電偶極子所形成的電場線，正電荷是所有電場線的發(fā)源地，電場線從此處發(fā)出，就像一個(gè)“源泉”，所以，正電荷叫

1.1 矢量場的有源性

在靜電場中，電場強(qiáng)度通過任意一個(gè)閉合曲面的通量等于它所包圍電荷的代數(shù)和除以ε0.數(shù)學(xué)表達(dá)式為：“源”，負(fù)電荷是電場線的匯聚點(diǎn)，所有的電場線都指向這一點(diǎn)，因此叫“匯”［1］.為了說明“源”與“匯”的問題，請看圖2、圖3.電場線從正電荷發(fā)出，到負(fù)電荷終止，“源”就是電場線發(fā)出的地方,即正電荷所在處，圍繞正電荷作一個(gè)小的閉合曲面，電場線從閉合曲面內(nèi)發(fā)出，所以正電荷為“源”.“匯”就是電場線終止的地方即負(fù)電荷所在處，同樣，圍繞負(fù)電荷也作一個(gè)小的閉合曲面，電場線都匯聚到閉合曲面內(nèi)部，所以負(fù)電荷為“匯”.

圖1 一對等量異號(hào)的電偶極子所形成的電場線

圖2 正電荷是“源”

圖3 負(fù)電荷是“匯”

在教學(xué)過程中值得注意的是，電場線是假想的線，實(shí)際是不存在的，“源”與“匯”問題不是直接“看”出來的，只能從它的閉合曲面積分的值正負(fù)來判斷，閉合曲面積分的值為正時(shí)就為“源”，閉合曲面積分的值為負(fù)時(shí)就為“匯”.比如，從（1）式中右邊的電荷為正電荷時(shí)，電場強(qiáng)度的通量大于零，相當(dāng)于從閉合曲面內(nèi)向外“流出”電場線，所以此處為“源”.同樣，從（1）式中右邊的電荷為負(fù)電荷時(shí)，電場強(qiáng)度的通量小于零相當(dāng)于向閉合曲面內(nèi)“流入”電場線，所以此處為“匯”.如果（1）式右邊總等于零，就叫作無源場或無散場.穩(wěn)恒磁場就是無源場.在穩(wěn)恒磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合曲面的通量都等于零，即所以穩(wěn)恒磁場是無源場.

1.2 矢量場的有旋性

由靜電場的安培環(huán)路定理得，電場強(qiáng)度繞任意閉合曲線積分為零，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

電場強(qiáng)度繞任意閉合曲線積分為零，這樣的電場為無旋場（如圖4所示）.

圖4 在靜電場中電場強(qiáng)度沿閉合曲線為零

比如在重力場中，沿任意閉合曲線重力所做的功為零，即沿任意閉合曲線做功時(shí)重力沿曲線方向的投影有時(shí)為正有時(shí)為負(fù)，沿一圈做功正好為零，這樣的場叫作做無旋場，也叫有位場或有勢場.

如果場量繞任意閉合曲線積分不等于零，這樣的場叫作有旋場.比如穩(wěn)恒磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿閉合曲線的積分不等于零，等于閉合曲線所圈圍電流的代數(shù)和的μ0倍，即

比如載流無限長直導(dǎo)線所形成的磁場，它的磁感應(yīng)線是以直導(dǎo)線上的點(diǎn)為圓心的一系列的同心圓，同心圓圓周所在的平面與直導(dǎo)線垂直，如圖5所示.如果我們選一個(gè)繞直導(dǎo)線閉合曲線磁場的積分，它不為零，而是等于閉合曲線所圈圍電流I的μ0倍，即

所以這樣的場叫作有旋場，從磁感應(yīng)線上看，它是一個(gè)無頭無尾的閉合曲線，和靜電場的電場線有本質(zhì)的區(qū)別.

圖5 在無限長直導(dǎo)線中所形成的磁場

1.3 矢量場的分類教學(xué)法

雖然矢量場都不盡相同，但是它們有共性，即閉合曲面的通量和閉合曲線的積分，把它們放在一起來研究，必定起到事半功倍的效果.在知識(shí)大爆炸時(shí)代，教學(xué)效果的提高，對于學(xué)者和教者都是非常重要的事情.分類教學(xué)法可以化復(fù)雜為簡單，化難為易，使學(xué)者更容易掌握，起到舉一反三、事半功倍的效果.下面我們再分析一下下面幾種矢量場.

第一個(gè)是真空中的靜電場，它的規(guī)律為

所以，真空中靜電場是一個(gè)有源無旋場，它的源與匯是正負(fù)電荷，電場線起于正電荷，止于負(fù)電荷，在沒有電荷的地方電場線不中斷，不能形成閉合曲線.

第二個(gè)是穩(wěn)恒磁場，它的規(guī)律為

它是一個(gè)無源有旋場，磁感應(yīng)線沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)，因此是一個(gè)無頭無尾的閉合曲線，磁感應(yīng)線圍繞電流旋轉(zhuǎn).

下面我們再介紹一下另外一種場叫感生電場，它的規(guī)律為

它是無源有旋場，當(dāng)磁場隨時(shí)間均勻變化時(shí)，是無源有旋場，它和穩(wěn)恒磁場相差不多.當(dāng)感生電場與靜電場放在一起時(shí)，形成總電場，其規(guī)律為

它是一個(gè)有源有旋場，與上面幾種電場相比有所不同.

以上這些矢量場，它們可以歸為一類進(jìn)行教學(xué)，我們要抓住兩點(diǎn)：一是它的有源性，即是有源場還是無源場.二是它的有旋性，即是有旋場還是無旋場，掌握這兩點(diǎn)，矢量場問題就迎刃而解.學(xué)習(xí)完靜電場后再來學(xué)習(xí)其它矢量場時(shí)，利用分類教學(xué)法，學(xué)生就比較容易學(xué)習(xí)了，可以節(jié)省時(shí)間，大大提高效率，使學(xué)習(xí)更輕松.

2 三角形積分類教學(xué)

在“電磁學(xué)”的教學(xué)中，習(xí)題教學(xué)是非常重要的一環(huán).“電磁學(xué)”習(xí)題之所以讓學(xué)生感覺頭疼，主要因?yàn)榱?xí)題中的微積分知識(shí)運(yùn)用比較多，它要求學(xué)生必須熟練掌握微積分知識(shí).由于電場磁場都具有疊加性，在連續(xù)分布的情況下，求電場和磁場就需要積分來解，通常應(yīng)用微元法.微元法一般先把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可積的數(shù)學(xué)問題，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)公式計(jì)算出結(jié)果.在把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可積的數(shù)學(xué)問題時(shí)，其中有一大類運(yùn)用三角形積分法.這一類問題的解決可以把“電磁學(xué)”中很大一部分計(jì)算成功化解.大大簡化計(jì)算的難度，極大地提高學(xué)習(xí)效率.例題如下.

例1 求均勻帶電圓盤軸線上的場強(qiáng)，已知圓盤半徑為R，電荷的面密度為σ(σ＞0)，如圖6所示.

圖6 均勻帶電圓盤軸線上的場強(qiáng)(σ＞0)

分析：在解此題時(shí)，由于圓盤大小與圓盤到場點(diǎn)的距離可比擬，所以圓盤不能看作點(diǎn)電荷，所以不能直接用公式，那么，我們就用微積分來做.在圓盤中取一個(gè)小面積元dS，所帶電量為dq，它可以看作點(diǎn)電荷，它所產(chǎn)生的電場為，然后再積分由對稱性得E的方向沿軸線方向.

場強(qiáng)dE沿軸線的分量為

在“電磁學(xué)”習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)以上的三角形積分，它們的解題方法基本相同，變量都變成角度積分，dr（或 dx）都變成 sec2αdα（或-csc2αdα）掌握了這種積分方法就等于掌握了一大部分習(xí)題的解法，掃清了學(xué)習(xí)中一大障礙，使學(xué)生的解題變得簡單.下面再看幾個(gè)例題來體會(huì)一下分類教學(xué)法的優(yōu)勢.

例2 一長為l的均勻帶電細(xì)棒，電荷線密度為λ，設(shè)棒外一點(diǎn)P到細(xì)棒的距離為a，且與棒兩端的連線分別和棒成夾角θ1、θ2，如圖7所示，求P點(diǎn)的場強(qiáng)［2］.

本題問題與上面例子的問題是本質(zhì)不同的問題，但它們的解法都涉及到三角形積分，所以歸為一類進(jìn)行教學(xué)，這樣可以使學(xué)生更方便掌握，提高學(xué)習(xí)效率.

圖7 例2圖帶電細(xì)棒外的一點(diǎn)的電場

例3 求載流直導(dǎo)線的磁場，如圖8所示.根據(jù)畢奧-薩伐爾定律得：

圖8 例3圖載流直導(dǎo)線的磁場

例4 求載流螺線管內(nèi)部軸線上的磁場，如圖9所示.

取一個(gè)寬為dx環(huán)形電流元

圖9 例4圖載流螺線管內(nèi)部軸線上的磁場

例5 一半徑為R的薄圓盤均勻帶電，其電荷面密度為σ若圓盤以角速度ω繞通過圓心O，且垂直于盤面的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求軸線上距圓盤中心O為z處的磁感應(yīng)強(qiáng)度和圓盤的磁矩［2］，如圖10所示.

解：

圖10 例5圖轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤軸線上的磁場

在上面幾個(gè)例子中，三角形積分形式為

這些三角形積分分兩類：一類叫顯性三角形積分，這類積分含有角度.如.另一類叫隱性三角形積分，這類積分不含有角度.如對于顯性三角形積分，各變量都變成角度積分就可以，對于隱性三角形積分這里沒有角度，我們令tanzsec2αdα即可.這里三角形積分一般都化為角度積分，沒有角度的引進(jìn)角度參量后進(jìn)行積分，此方法是比較實(shí)用的方法.

3 介質(zhì)極化電荷類教學(xué)

介質(zhì)分為兩類，一類是電介質(zhì)，另一類是磁介質(zhì).介質(zhì)問題都比較復(fù)雜，但解題的方法都差不多，我們以電介質(zhì)為例討論一下介質(zhì)類的教學(xué).在“電磁學(xué)”中，介質(zhì)的極化電荷是比較難學(xué)的，我們把它分成一類來解決，這樣就容易一些，介質(zhì)中有導(dǎo)體存在時(shí)，導(dǎo)體帶有一定的自由電荷，分界面產(chǎn)生一層極化電荷，那么它們有什么規(guī)律呢？下面通過幾個(gè)例題進(jìn)行討論.

例6 在無限大的均勻電介質(zhì)中，浸入一電量為q0的均勻帶電導(dǎo)體球，球的半徑為R，求介質(zhì)中的場強(qiáng)E及電介質(zhì)與導(dǎo)體球交界面上的極化電荷總量q′，設(shè)介質(zhì)的相對介電常數(shù)為εr，如圖11所示.

解：

圖11 球形導(dǎo)體與介質(zhì)相接時(shí)極化電荷與自由電荷的關(guān)系

在極化過程中，介質(zhì)的分界面產(chǎn)生了一層極化電荷，使得總電荷為沒有介質(zhì)時(shí)電荷q0的εr分之一.總電荷變成原來εr分之一，場強(qiáng)當(dāng)然也變成原來εr分之一.

如果把導(dǎo)體球換成圓柱形，導(dǎo)體亦有上面的結(jié)論，請看下面例題.

例7 長直導(dǎo)線和它同軸的的金屬圓筒構(gòu)成圓柱形電容器，其間充滿相對介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)（見圖12）.設(shè)導(dǎo)線的半徑為R1，圓筒的內(nèi)半徑為R2，導(dǎo)線上的自由電荷的線密度為λ0，略去邊緣效應(yīng)，求：

（1）電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E、電位移D和極化強(qiáng)度P；

（2）兩級(jí)電勢差U；

（3）電介質(zhì)表面的極化電荷面密度σ′.

圖12 柱形導(dǎo)體與介質(zhì)相接時(shí)極化電荷與自由電荷的關(guān)系

解：（1）在金屬圓筒內(nèi)任取一點(diǎn)M，過M點(diǎn)作一與圓筒軸同軸的圓柱面，圓柱面的高為h，以此圓柱面為高斯面，由有介質(zhì)的高斯定理得：

（3）在R1柱面上自 由 電 荷.總電荷是自由電荷

在R柱面上，同理2

以上兩個(gè)例子中具有一個(gè)共同特性，都是一個(gè)無限大介質(zhì)中有一塊導(dǎo)體.不同的是一個(gè)是球形導(dǎo)體，另一個(gè)是圓柱型導(dǎo)體.導(dǎo)體與介質(zhì)分界面有一層極化電荷，它與此處的自由電荷成正比，它們求解方法基本相同，都是利用有介質(zhì)高斯定理求解電位移D，再求場強(qiáng)E，由場強(qiáng)再求極化強(qiáng)度P，最后由極化強(qiáng)度求出極化電荷面密度σ'.這時(shí)極化電荷面密度σ'與原電荷面密度σ0相加就是新的電荷面密度σ，它是原來電荷面密度σ0的εr分之一，那么，這個(gè)結(jié)論是否具有一定的普遍性呢？對于導(dǎo)體不具有一定的對稱性的任意情況呢？結(jié)論還成立嗎？下面請看例題8.

例8 如圖13中A為一塊金屬，其外部充滿電介質(zhì)，已知交界面上某點(diǎn)的極化電荷面密度為σ'，該點(diǎn)附近電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為εr，求該點(diǎn)自由電荷面密度σ0.

圖13 任意形狀導(dǎo)體與介質(zhì)相接極化電荷與自由電荷的關(guān)系

解：在導(dǎo)體表面處垂直于表面并且指向外部為正方向en

由上述三個(gè)式子可得

4 對稱性類教學(xué)

在教學(xué)中應(yīng)用高斯定理、安培環(huán)路定理求電場求磁場是屢見不鮮的，但是不是任何情況下都可以求得的，需要電荷或電流具有一定的對稱性.對稱性分為球?qū)ΨQ、軸對稱和面對稱等，如高斯定理，已知電荷分布，一般根據(jù)此式很難求出場強(qiáng)E的，要想求出場強(qiáng)，場強(qiáng)E在高斯面上必須是常數(shù)才能從積分中求出，這就要求有一定的對稱性，請看下面幾個(gè)例題.

例9 求均勻帶電球面產(chǎn)生的電場，已知球面的半徑為R，電量為q，如圖產(chǎn)14所示.

解：（1）分析電場分布的對稱性.

由于電荷的分布具有球?qū)ΨQ性，所以電場分布也應(yīng)該具有球?qū)ΨQ性.即距球心相等的點(diǎn)的場強(qiáng)與球心對稱，也就是場強(qiáng)大小相等，方向沿徑向方向.如果以這樣的面為高斯面，那么高斯面的積分場強(qiáng)E與dS方向相同，點(diǎn)乘之后為標(biāo)量并且E是常數(shù)可以積分中提出，可求出場強(qiáng).

（2）取高斯面.r＞R

取過p點(diǎn)以原球心為球心的球面為高斯面.

（3）計(jì)算高斯面所包圍的電荷.

圖14 例9圖均勻帶電球面產(chǎn)生的場

（4）應(yīng)用高斯定理.

r＜R，E?4πr2=0，E=0，E與r的關(guān)系如圖15所示.

圖15 例9圖 均勻帶電球面產(chǎn)生的場的場強(qiáng)E與r的關(guān)系

如果電荷q均勻分布在球體內(nèi)，可以用同樣的方法計(jì)算電場強(qiáng)度.

E其關(guān)系如圖16所示.

圖16 例9圖均勻帶電球體產(chǎn)生的場的場強(qiáng)E與r的關(guān)系

圖17 例10圖無限長均勻帶電直線產(chǎn)生的場的場強(qiáng)

對于其它球?qū)ΨQ分布的電荷形成的場也都是球?qū)ΨQ的場，應(yīng)用上述方法都可以解決，如果電荷是軸對稱時(shí)，它的電場也是軸對稱分布的，即距離軸線相等的各點(diǎn)大小相等方向沿徑向方向.即在與軸線同軸圓柱面上，如圖17所示.場強(qiáng)E與dS方向相同，點(diǎn)乘之后為標(biāo)量并且E是常數(shù)可以積分中提出，可求出場強(qiáng).這是側(cè)面，還有底面，對于底面E與dS方向垂直點(diǎn)乘為0，這項(xiàng)可以等于0，這樣就可以求出場強(qiáng)了.請看例題.

例10 設(shè)有一無限長均勻帶電直線，已知電荷線密度為λ.求距直線為r處的電場強(qiáng)度.

解：

例11 一圓柱形的長直導(dǎo)線，如圖18所示，截面半徑為R，穩(wěn)恒電流均勻通過導(dǎo)線的截面，電流為I，求導(dǎo)線內(nèi)和導(dǎo)線外的磁場分布.

圖18 例11圖 圓柱形直導(dǎo)線內(nèi)外的場

解：

B，其關(guān)系如圖19所示.

圖19 例11圖 載流圓柱形直導(dǎo)線磁場B與r的關(guān)系

在“電磁學(xué)”中，用對稱性求電場或磁場是非常普遍的，基本上貫穿于整個(gè)教材，這種方法應(yīng)牢牢掌握.

5 結(jié)語

分類教學(xué)法對教學(xué)的幫助是很大的，復(fù)雜問題變得簡單，學(xué)生學(xué)習(xí)起來就輕松多了，能夠達(dá)到事半功倍的效果，學(xué)習(xí)效率就會(huì)明顯地提高.