豐富活動(dòng)體驗(yàn) 豐盈建模過程

鐘國強(qiáng) 陳燕

【關(guān)鍵詞】建模過程；長方形和正方形的面積；活動(dòng)體驗(yàn)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）49-0058-03

數(shù)學(xué)模型是采用形式化的數(shù)學(xué)語言或符號，概括地或近似地表達(dá)系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，實(shí)際上就是理解、把握和建立一系列數(shù)學(xué)模型的過程，這個(gè)過程即數(shù)學(xué)建模。一般來說，數(shù)學(xué)建模要經(jīng)過模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型求解、模型確立、模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模的過程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識的過程，也是學(xué)生深層次理解知識的過程。筆者試以蘇教版三下《長方形和正方形的面積計(jì)算》一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考。

一、模型準(zhǔn)備：在情境中激發(fā)需求

師：新風(fēng)小學(xué)打算給長方形足球場鋪上草坪，你覺得采購草坪之前需要知道什么？

生：需要知道足球場的面積。

師：在我們以前的學(xué)習(xí)中，要知道一個(gè)長方形的面積，可以怎么辦？

生：用面積單位去鋪一鋪。

師：有沒有其他更好的辦法呢，今天我們就來進(jìn)一步研究。

模型準(zhǔn)備是數(shù)學(xué)建模的首要環(huán)節(jié)，其主要目的是從生活現(xiàn)象中提煉出一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問題，以喚起學(xué)生的知識儲備，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。教學(xué)伊始，教師創(chuàng)設(shè)“球場鋪草坪”的問題情境，以“用面積單位鋪一鋪”的方法引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，有效激發(fā)學(xué)生對長方形面積計(jì)算的探究欲望。

二、模型假設(shè)：在拼擺中初步發(fā)現(xiàn)

師：我們先用一些1平方分米的小正方形擺出幾個(gè)不同的長方形，你有什么發(fā)現(xiàn)。

指名3位學(xué)生擺長方形，其他學(xué)生觀察并記錄。教師根據(jù)學(xué)生的回答完成表格填寫。

師：結(jié)合擺的過程觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：正方形的個(gè)數(shù)和長方形的面積相等。

生2：長乘寬就等于正方形的個(gè)數(shù)。

生3：長乘寬等于長方形的面積。

師：通過擺一擺、數(shù)一數(shù)，我們初步發(fā)現(xiàn)長方形的面積與它的長和寬是有關(guān)系的，長方形的面積可能等于長乘寬。

模型假設(shè)是對研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，初步提出一些合理的假設(shè)。自由拼擺長方形的活動(dòng)，不僅豐富了學(xué)生感覺、知覺的經(jīng)驗(yàn)，而且使學(xué)生初步體會到長方形的長、寬的數(shù)量與所需小正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系，間接感受到長、寬的數(shù)量與長方形面積有關(guān)系。在擺、看、想、說的過程中，學(xué)生形成了對長方形面積計(jì)算的感性認(rèn)識。

三、模型求解：在測量中深化認(rèn)識

師（出示一個(gè)長15厘米、寬8厘米的長方形）：下面用1平方分米的正方形來擺一擺、量一量長方形的面積，誰來試一試？

師：通過動(dòng)手操作我們發(fā)現(xiàn)用1平方分米的正方形不能正好擺完，那怎么辦呢？

生：換成1平方厘米的小正方形去測量。

學(xué)生操作，教師巡視。

師：你們是怎么測量的？

生：我們小組是用小正方形鋪滿長方形，一共用了120個(gè)小正方形，所以長方形的面積就是120平方厘米。

師：他們小組是用小正方形將長方形鋪滿，根據(jù)每行個(gè)數(shù)和行數(shù)的乘積得到面積單位的個(gè)數(shù)，從而得到面積。

生：我們小組是沿著長方形的長、寬各擺一排，就知道一行可以擺15個(gè)，可以擺這樣的8行，推算出鋪滿長方形需要（15×8）=120（個(gè)）小正方形，所以長方形的面積是120平方厘米。

師：對于這兩種方法，你更欣賞哪一種？

生：欣賞第二種。因?yàn)檠刂L和寬各擺一行，就可以算出小正方形的個(gè)數(shù)，面積也就知道了。

師：如果小正方形的個(gè)數(shù)只有兩個(gè)，你還有辦法測量嗎？

學(xué)生小組合作操作，指名演示并說明思考過程。

師：用兩個(gè)小正方形交叉移動(dòng)，也能得出小正方形的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而知道長方形的面積。如果只有一個(gè)小正方形呢？

指名學(xué)生演示，教師相機(jī)指導(dǎo)并適時(shí)用小豎線作標(biāo)記。

師（逐步呈現(xiàn)圖1）：回顧剛才的操作過程，雖然使用的小正方形的數(shù)量越來越少，但是我們都在想辦法先量出什么。

生1：量出了一行小正方形的個(gè)數(shù)和行數(shù)。

生2：量出長方形的長和寬。

師：像剛才這樣量出一行個(gè)數(shù)和行數(shù)，我們也就知道了長方形的長和寬。

模型求解，就是對數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含“道理”的本源追溯和“為什么是這樣”的積極思辨。面積知識屬于測量的范疇，測量長方形面積的活動(dòng)中蘊(yùn)含著某些規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律有利于得出長方形的面積及計(jì)算公式。以長15厘米、寬8厘米的長方形為研究素材展開面積測量活動(dòng)，并對條件加以限制，促使學(xué)生思考不斷深入，讓操作更具思維含量。同時(shí)，通過交流比較不同測量方法，使學(xué)生深刻地體會到長方形的面積與測量時(shí)所用的面積單位的數(shù)量有關(guān)，只要測量出長方形的長和寬就能求出其面積，得出長方形面積計(jì)算公式便水到渠成。

四、模型確立：在反思中歸納概括

師：（出示一個(gè)長7厘米、寬2厘米的長方形）你有沒有什么辦法快速得到它的面積？

生：我量出長方形的長是7厘米，說明一行可以擺7個(gè)小正方形；寬是2厘米，說明可以擺這樣的2行，一共是7×2=14（個(gè)）小正方形，面積就是14平方厘米。

師：你真會思考，直接用尺子測量出長和寬，同樣能夠得到長方形的面積。仔細(xì)觀察最后一次用一個(gè)小正方形測量面積時(shí)留下的記號，與手中的直尺比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：所作的標(biāo)記就像一把尺子。

師：用小正方形去測量長方形的長、寬，與直接用尺子去測量長方形的長、寬相比，你覺得哪種方法更方便？

生：直接用尺子去測量長方形的長和寬更加方便。

師（出示課始足球場草坪問題）：要解決長方形足球場草坪的面積問題，你還想用1平方米的正方形去鋪嗎？

生：只要知道長和寬就可以了。

教師出示長和寬的數(shù)據(jù)，學(xué)生解答并說清道理。

師：無論是用1平方分米、1平方厘米還是用1平方米中的面積單位去測量，我們發(fā)現(xiàn)長方形的面積都與什么有關(guān)？怎樣求長方形的面積？

生：長方形的面積與它的長、寬有關(guān)，用長乘寬就能求出長方形的面積。

師：為什么長方形的面積等于長乘寬？

生：一行的個(gè)數(shù)對應(yīng)著長，行數(shù)對應(yīng)著寬，正方形的個(gè)數(shù)等于長方形的面積，所以長方形的面積等于長×寬。

師：如果用字母S、a和b分別表示長方形的面積、長和寬，計(jì)算公式可以怎樣表示？

生：長方形的面積計(jì)算公式是S=a×b。

教師依次出示：長5厘米、寬3厘米的長方形，長4厘米、寬3厘米的長方形，邊長為3厘米的正方形，學(xué)生依次口答算式和結(jié)果。

師：最后一個(gè)圖形是正方形，你是怎樣計(jì)算它的面積的？

生：正方形的面積等于邊長乘邊長。正方形是一種特殊的長方形，當(dāng)長方形的長和寬相等時(shí)，長方形的長和寬也就變成了正方形的邊長和邊長。

生：一行的個(gè)數(shù)和行數(shù)是相等的，所以正方形的面積是邊長乘邊長。

師：如果用字母S和a分別表示正方形的面積和邊長，面積計(jì)算公式可以怎樣寫？

生：正方形的面積計(jì)算公式是S=a×a。

師：回顧學(xué)習(xí)過程，長方形和正方形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？

生：我們用一些小正方形去測量長方形的面積，發(fā)現(xiàn)長方形的面積與它的長和寬有關(guān)。后來，隨著小正方形的個(gè)數(shù)變少，發(fā)現(xiàn)只要測量出長方形的長和寬就能求出它的面積。

模型確立就是模型假設(shè)經(jīng)過驗(yàn)證以后確認(rèn)是正確的，它是從猜想到結(jié)論的蛻變。計(jì)算長方形的面積，從“算面積單位的個(gè)數(shù)”到“算長乘寬”是學(xué)生認(rèn)知上的一個(gè)跨越。教師巧妙地把一個(gè)面積單位度量長方形時(shí)留下的記號與直尺刻度建立起關(guān)系，學(xué)生在對比中形象地理解了“長方形的面積=長×寬”的道理。在回顧的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對長方形的面積計(jì)算公式進(jìn)行抽象和概括，促使學(xué)生的認(rèn)識從感性上升到理性。而對于正方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，教師是將其納入“正方形是特殊的長方形”的范疇，通過說理和推理實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)的。在此過程中，學(xué)生積累了具體問題抽象化、形式化及符號化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

五、模型應(yīng)用：在實(shí)踐中內(nèi)化提升

師（出示圖片）：生活中很多物體的表面都是長方形或正方形的，求黑板和手帕的面積需要知道什么條件？

生1：黑板的面是長方形，因此需要知道黑板的長和寬。

生2：手帕的面是正方形，只要知道它的邊長就可以了。

教師出示相應(yīng)數(shù)據(jù)，學(xué)生獨(dú)立完成并交流。

師：三個(gè)小朋友玩游戲，每人都用12根1分米長的小棒各擺了一個(gè)圖形（如圖2）。其中一個(gè)小朋友認(rèn)為：擺圖形都用了12根小棒，所以擺出的圖形的面積一樣大。你同意這種觀點(diǎn)嗎？

生1：不同意，因?yàn)槊總€(gè)圖形計(jì)算出來的面積都不一樣。

生2：我也不同意，用12根小棒擺圖形只能說明圖形的周長是相等的，而面積是不相等的。

師：用12根小棒擺出來的圖形不管是長方形還是正方形，它們的周長是相等的，但是面積卻是不相等的。

模型應(yīng)用就是引導(dǎo)學(xué)生利用抽象出的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。模型應(yīng)用不是對數(shù)學(xué)模型的機(jī)械記憶與簡單套用，而是以理解為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程。教師設(shè)計(jì)了求黑板和手帕的面積、辨析求周長和面積等不同形式的實(shí)際問題，在問題解決過程中，學(xué)生進(jìn)一步加深了對長方形和正方形面積計(jì)算公式的理解，促進(jìn)了數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化，彰顯了數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值。

（作者單位：1.江蘇省無錫市惠山區(qū)教育局教研室；2.江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校第一小學(xué)）