一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡捷證法

袁季兵，唐世清

（衡陽師范學院物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002）

1 引言

在物理學與數(shù)學聯(lián)系日益密切的今天，大量的物理問題需要借助數(shù)學手段輔以解決，這無疑對我們用數(shù)學方法處理物理問題提出了更高的要求。許多年以前，在物理學中經(jīng)常要遇到一些包含某種無窮大的量以及不連續(xù)函數(shù)的微分的這類問題，無法解決。20世紀30年代，為了解決連續(xù)譜的本征波函數(shù)不能歸一化的問題，狄拉克引入了一個實函數(shù)δ(x)，稱之為狄拉克δ函數(shù)[1](以下簡稱為δ函數(shù))，從而使得連續(xù)譜的本征波函數(shù)可以歸一化為δ函數(shù)。由于δ函數(shù)的一些特殊性質，如局部無限突變，整體積分有限性，挑選性，對稱性等，為我們解決一些抽象的物理問題提供了一種方式，使復雜的問題變得簡單，因此，在電磁學，電動力學，光學，量子力學，電路等物理學的幾大分支領域中我們都能看到它的身影。由于δ函數(shù)的公式可以通過許多種不同的表達方式表示，例如，可以用階梯函數(shù)的微商形式表示，也可以用Fourier積分形式表達；還可以表示成非奇異函數(shù)的極限。因此，本文先給出δ函數(shù)的定義，然后，再著重討論分析一種常見非奇異函數(shù)的極限可以用來表示δ函數(shù)。希望通過這些能夠給我們今后理解δ函數(shù)提供一種新的思路，使我們能夠更加靈活變通的運用δ函數(shù)。

2 δ函數(shù)的定義和性質

δ函數(shù)是一種很奇特的函數(shù)，它和經(jīng)典的“一個點只能對應一個點”的函數(shù)的定義是不符合的，因而一開始有許多數(shù)學家認為這不是一種數(shù)學，以至于沒有深入研究，這種狀態(tài)一直持續(xù)到20世紀40年代引入了廣義函數(shù)這一概念后，才得到了數(shù)學界的廣泛認可。一般認為δ函數(shù)是由著名的物理學家狄拉克引入的，因此，又稱為狄拉克函數(shù)。一般人們把定義在區(qū)間上，滿足后面這兩個要求中的一個函數(shù)，稱為一維δ函數(shù)。即

δ函數(shù)具有很多很重要又很奇特的性質，挑選性，對稱性，乘法性，坐標縮放等。

3 δ函數(shù)可表示成一種常見非奇異函數(shù)的極限

δ函數(shù)可以用階梯函數(shù)的微商表示，也可以寫成Fourier積分形式。隨著非奇異函數(shù)的極限的應用越來越廣泛，而δ函數(shù)作為非奇異函數(shù)的一種，它也可以表示成非奇異函數(shù)的極限，使某些數(shù)學運算更加簡潔。只要滿足自變量為零時，極限為無窮大；而自變量不為零時，極限為零；并且滿足歸一化的條件，就可以認為是δ函數(shù)。

證明：當x=0時，

利用留數(shù)定理有：

如果留數(shù)定理不熟悉，我們也可以采用高等數(shù)學積分的辦法求出上式左邊第一項的結果。其方法是構造一個積分，利

由于被積函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需在最終結果的基礎上乘以二，就可以證明歸一化了。

4 結語

本文從狄拉克函數(shù)δ(x)函數(shù)的定義出發(fā)，給出了一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡捷證法。對于學生來說是一種有益嘗試，不僅可以增強對δ函數(shù)及相關物理問題的理解和認識，也可以對教學提供參考和借鑒，開拓思維。