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    超聲速物面振動(dòng)氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng)研究

    2018-12-03 10:42:58葉正寅
    關(guān)鍵詞:氣動(dòng)力壁板激波

    劉 成, 葉正寅

    (西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

    0 引 言

    本文對(duì)比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程對(duì)氣動(dòng)力的計(jì)算結(jié)果,研究了在顫振計(jì)算過(guò)程中氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源,并對(duì)影響非線(xiàn)性效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了分析。

    1 考慮激波膨脹波的活塞理論

    活塞理論(Piston Theory, PT)是由動(dòng)量定理和等熵關(guān)系式推導(dǎo)得到的氣動(dòng)力表達(dá)式。在超聲速、高超聲速非定常氣動(dòng)力計(jì)算中,活塞理論具有良好的精度。其表達(dá)式如下:

    (1)

    (2)

    式中,p為當(dāng)?shù)貕簭?qiáng),p∞、a∞、v∞分別為來(lái)流壓強(qiáng)、聲速、速度,vn為非定常下洗速度,w為位移。

    在超聲速流場(chǎng)中,物面的振動(dòng)變形會(huì)產(chǎn)生一系列的激波膨脹波,從而導(dǎo)致氣動(dòng)力計(jì)算出現(xiàn)非線(xiàn)性特征。從活塞理論的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看,并沒(méi)有顯式地考慮激波和膨脹波的存在,為此,本文建立了考慮激波膨脹波的活塞理論(Shock Expansion-Piston Theory, SE-PT)。

    激波角β與氣流偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系為:

    (3)

    式中Ma1為波前馬赫數(shù)。求得β后再根據(jù)斜激波關(guān)系式可求得波后氣動(dòng)參數(shù):

    (4)

    (5)

    (6)

    式中,Man,1、ρ1、p1為波前馬赫數(shù)的垂直分量、波前密度、波前壓強(qiáng),Man,2、ρ2、p2為波后馬赫數(shù)的垂直分量、波后密度、波后壓強(qiáng)。

    對(duì)于膨脹波來(lái)說(shuō),結(jié)合普朗特-邁耶函數(shù)v(Ma)和氣流偏轉(zhuǎn)角θ即可求得波后馬赫數(shù),公式可寫(xiě)為:

    θ=v(Ma2)-v(Ma1)

    (7)

    式中,Ma1為波前馬赫數(shù),Ma2為波后馬赫數(shù)。再由膨脹波關(guān)系式求出波后氣動(dòng)參數(shù):

    (8)

    (9)

    式中,ρ1、p1為波前密度、波前壓強(qiáng),ρ2、p2為波后密度、波后壓強(qiáng)。

    這樣,在壁板的每一步振動(dòng)中,都調(diào)用激波膨脹波關(guān)系式,得到當(dāng)?shù)氐膲簭?qiáng),并結(jié)合活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力,即為考慮激波膨脹波的活塞理論(SE-PT)。

    在顫振分析中,壁板模態(tài)m一般選取為如下形式:

    (10)

    式中,A表示廣義位移,i表征模態(tài)階數(shù),2l為壁板長(zhǎng)度??梢钥吹?,模態(tài)振型為高階光滑的連續(xù)函數(shù),滿(mǎn)足正交性,符合幾何邊界條件的要求。這種模態(tài)分解方法,在壁板顫振分析中取得極大成功。但對(duì)本文的研究?jī)?nèi)容來(lái)說(shuō),正弦形式的模態(tài)卻不是最合適的,原因有兩點(diǎn):

    1) 本文首先建立了考慮激波膨脹波的活塞理論,而激波膨脹波關(guān)系式不適應(yīng)于求解光滑曲面的氣動(dòng)載荷;

    2) 本文探究的是氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng),與壁板結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)形狀無(wú)關(guān)。

    因此,需要重新設(shè)計(jì)模態(tài)振型。新模態(tài)主要需考慮兩點(diǎn)因素:便于激波膨脹波關(guān)系式的使用,滿(mǎn)足幾何邊界條件?;谶@樣的考慮,我們將模態(tài)振型構(gòu)造為折線(xiàn)形狀。設(shè)壁板長(zhǎng)度為2l,模態(tài)表達(dá)式如下:

    (11)

    采用式(11)表征的模態(tài),可近似應(yīng)用激波膨脹波關(guān)系式計(jì)算變形后的定常氣動(dòng)載荷,且該模態(tài)保留了壁板結(jié)構(gòu)的主要幾何特征,得到的氣動(dòng)力分析結(jié)果是具有普遍性意義的。

    取計(jì)算狀態(tài)為Ma=3,輸入如圖1所示的掃頻位移信號(hào),比較SE-PT理論與Euler方程的氣動(dòng)力系數(shù)F求解結(jié)果,如圖2所示,可見(jiàn)二者符合良好,證明所采用的考慮激波膨脹波的活塞理論在氣動(dòng)力預(yù)測(cè)方面具有良好的精度。

    圖1 掃頻位移信號(hào)Fig.1 Sweep signal

    圖2 掃頻信號(hào)下的氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.2 Aerodynamic response of sweep signal

    2 一階活塞理論在壁板振動(dòng)中的應(yīng)用

    計(jì)算狀態(tài)取為Ma=3,研究對(duì)象為壁板,一階模態(tài)為前述的折線(xiàn)形狀,輸入頻率50 Hz的正弦位移信號(hào),如圖3所示。分別采用一階活塞理論(PT)、考慮激波膨脹波的一階活塞理論(SE-PT)、Euler方程計(jì)算氣動(dòng)力系數(shù),結(jié)果如圖4所示??梢郧逦乜闯觯琒E-PT理論與Euler方程的求解結(jié)果符合良好,氣動(dòng)力響應(yīng)的非線(xiàn)性特征較為明顯,而一階活塞理論只能預(yù)測(cè)氣動(dòng)力的線(xiàn)性部分。將氣動(dòng)力響應(yīng)做頻譜分析,得到的幅頻特性曲線(xiàn)如圖5所示,從中可以看出,氣動(dòng)力響應(yīng)的一階諧波分量與二階諧波分量的幅值比約為1:0.5,而一階分量與三階諧波分量的比值約為1:0.02,基本可以忽略。也就是說(shuō),氣動(dòng)力響應(yīng)的非線(xiàn)性特征主要是出現(xiàn)了二階諧波分量。

    圖3 50 Hz位移信號(hào)Fig.3 50 Hz displacement signal

    圖4 氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.4 Comparison between aerodynamic responses

    圖5 氣動(dòng)力響應(yīng)幅頻特性曲線(xiàn)Fig.5 Amplitude-frequency curve of aerodynamic response

    將一階活塞理論中加入激波膨脹波關(guān)系式,得到的非定常氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果與Euler方程相同,因此得出,氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征是激波膨脹波帶來(lái)的。

    上述設(shè)計(jì)的壁板模態(tài)形狀前后具有對(duì)稱(chēng)性,因此將壁板從中間位置分為兩部分——前半部分和后半部分,同時(shí)也將壁板表面氣動(dòng)力分為前后兩部分,分別作出兩部分的氣動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)以及幅頻特性曲線(xiàn),如圖6、圖7所示??梢?jiàn),壁板前后兩部分的氣動(dòng)力一階、二階諧波分量均相同,二階分量?jī)H占一階分量的9%左右。而根據(jù)圖5,整個(gè)壁板的氣動(dòng)力二階諧波分量約占一階分量的50%,非線(xiàn)性分量占比顯著增加。

    圖6 前后表面氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.6 Comparison between aerodynamic responses for former and latter parts

    圖7 前后表面氣動(dòng)力幅頻特性曲線(xiàn)Fig.7 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for former and latter parts

    表1展示了氣動(dòng)力一階、二階諧波分量的相位大小。對(duì)一階諧波分量來(lái)說(shuō),前后兩部分的相位差較大,近似于反向,而前后表面的二階分量幾乎同相位。正是因?yàn)楸诎迩昂蟛糠值囊浑A分量反相、二階分量同相,所以?xún)蓚€(gè)表面9%的非線(xiàn)性分量在求和后占比達(dá)到了50%,非線(xiàn)性效應(yīng)顯著增強(qiáng)。進(jìn)一步探究一階諧波分量反相的原因?;钊碚摰囊浑A項(xiàng)可寫(xiě)為如下形式:

    (12)

    該式的第一項(xiàng)為變形分量,第二項(xiàng)為振動(dòng)分量,由此將物面振動(dòng)產(chǎn)生的氣動(dòng)力分解為變形導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量和振動(dòng)導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量?jī)刹糠郑罢哒扔诒诎逑鄬?duì)于來(lái)流的迎角,后者正比于壁板的橫向振動(dòng)速度。對(duì)于壁板的前后兩部分來(lái)說(shuō),氣流的迎角相反而橫向振動(dòng)速度相同,所以總的氣動(dòng)力中變形分量前后抵消,而振動(dòng)分量則加強(qiáng),同時(shí)在低速振動(dòng)中,變形氣動(dòng)力分量占主導(dǎo)地位。因此前后部分的一階氣動(dòng)力幾乎是反相位的。

    表1 前后表面氣動(dòng)力分量的相位Table 1 Phrases of aerodynamic harmonic components for former and latter part

    3 一階活塞理論在具有雙側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)中的應(yīng)用

    取長(zhǎng)度為l的無(wú)厚度板,繞前端點(diǎn)做俯仰運(yùn)動(dòng),俯仰位移如圖8所示,得到的氣動(dòng)力系數(shù)響應(yīng)如圖9所示。一階活塞理論的求解結(jié)果與SE-PT理論、Euler方程的結(jié)果符合良好,說(shuō)明此時(shí)的氣動(dòng)力響應(yīng)中不存在高階諧波分量。輸入單一頻率(50 Hz)的廣義位移,得到的氣動(dòng)力響應(yīng)如圖10所示,頻譜分析的幅頻特性曲線(xiàn)如圖11??梢?jiàn),氣動(dòng)力響應(yīng)只有一階諧波分量,一階活塞理論的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的。

    圖8 掃頻位移信號(hào)Fig.8 Sweep signal

    圖9 掃頻信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.9 Aerodynamic response of sweep signal

    圖10 正弦位移信號(hào)Fig.10 Sinusoidal signal

    圖11 正弦信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.11 Aerodynamic response of sinusoidal signal

    對(duì)壁板這種只有單側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)來(lái)說(shuō),氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征明顯。而在雙側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)中,卻沒(méi)有非線(xiàn)性分量。下面對(duì)這一現(xiàn)象做進(jìn)一步的研究。把雙側(cè)來(lái)流的物面分為上表面和下表面,分別計(jì)算它們的氣動(dòng)力響應(yīng)。圖12展示了氣動(dòng)力的時(shí)域響應(yīng)曲線(xiàn),圖13展示了氣動(dòng)力的幅頻特性曲線(xiàn)。

    圖12 上下表面氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.12 Comparison between aerodynamic responses for upper and lower surfaces

    圖13 上下表面氣動(dòng)力幅頻曲線(xiàn)Fig.13 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for upper and lower surfaces

    對(duì)上、下單個(gè)表面來(lái)說(shuō),氣動(dòng)力出現(xiàn)了明顯的二階諧波分量,其與一階諧波分量的幅值比約為9%。表2展示了上、下表面各階諧波分量的相位關(guān)系,可以看到,一階分量相位相同,二階分量相位相反,這就使得在計(jì)算總的氣動(dòng)力時(shí),二階諧波分量相互抵消,呈現(xiàn)出良好的線(xiàn)性特征。激波膨脹波帶來(lái)了氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng),在物面振動(dòng)過(guò)程中上表面出現(xiàn)激波時(shí),下表面往往出現(xiàn)膨脹波,反之亦然。激波與膨脹波對(duì)氣動(dòng)力的影響相反,這是導(dǎo)致總的非線(xiàn)性效應(yīng)相互抵消的物理原因。

    表2 上、下表面氣動(dòng)力分量的相位Table 2 Phrases of aerodynamic harmonic components for upper and lower surfaces

    4 高階活塞理論

    圖14對(duì)比了50 Hz廣義位移輸入信號(hào)下不同階活塞理論的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果,可見(jiàn),二階活塞理論基本能預(yù)測(cè)出氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征。Cheng和Mei[15]研究了不同階活塞理論計(jì)算壁板振動(dòng)極限環(huán)幅值的區(qū)別,從計(jì)算結(jié)果來(lái)看,一階活塞理論不夠精確,二階與三階活塞理論的差別在0.5%以?xún)?nèi)。Fridmann[2]對(duì)比了微幅振動(dòng)下不同階活塞理論得到的壁板表面氣動(dòng)力系數(shù),發(fā)現(xiàn)二階活塞理論、三階活塞理論、Euler方程的計(jì)算結(jié)果一致。

    圖15對(duì)比了不同階考慮激波膨脹波的活塞理論氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果,由于激波膨脹波關(guān)系式的引入,一階理論就已經(jīng)能夠很好地呈現(xiàn)出氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征。

    圖14 不同階活塞理論的氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Fig.14 Aerodynamic response comparison between different-order piston theories

    圖15 考慮激波膨脹波活塞理論的氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Fig.15 Aerodynamic response comparison between piston theories considering shock and expansion waves

    對(duì)比二階活塞理論、考慮激波膨脹波的一階活塞理論與Euler方程在不同位移信號(hào)下的氣動(dòng)力求解結(jié)果,如圖16所示,三者符合良好,證明壁板顫振中氣動(dòng)力的非線(xiàn)性因素主要是由激波膨脹波帶來(lái)的,而活塞理論的二階項(xiàng)基本可以反映出這種非線(xiàn)性。

    實(shí)際工程中的壁板顫振分析可能面臨著很寬的結(jié)構(gòu)頻率范圍,而活塞理論在不同的頻率范圍下呈現(xiàn)出不同的計(jì)算效果。為了澄清這方面的機(jī)制,分析了頻率對(duì)氣動(dòng)力非線(xiàn)性的影響。

    取三個(gè)不同頻率(50 Hz、200 Hz、500 Hz)的位移信號(hào),分別采用一階、二階活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力系數(shù)。圖17是氣動(dòng)力的時(shí)域響應(yīng),圖18是對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線(xiàn)。三個(gè)頻率下氣動(dòng)力出現(xiàn)了不同程度的非線(xiàn)性效應(yīng),二階諧波分量與一階諧波分量幅值比分別為0.503、0.042、0.172,可以看到,氣動(dòng)力的非線(xiàn)性程度與頻率有很大關(guān)系。進(jìn)一步做出二階諧波與一階諧波分量幅值比隨頻率變化的曲線(xiàn)圖,如圖19(a),圖中另外畫(huà)出了幅值比為0.05的虛線(xiàn)??梢钥闯?,當(dāng)振動(dòng)頻率較高或者較低時(shí),氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng)變強(qiáng),而在中間某段頻率(200~300 Hz)內(nèi),非線(xiàn)性分量占比很低,此時(shí)氣動(dòng)力可以近似看做是線(xiàn)性的。

    探究在中頻段內(nèi)氣動(dòng)力的非線(xiàn)性分量占比很低的原因。觀(guān)察氣動(dòng)力的一階、二階諧波分量幅值隨頻率的變化(圖19b)。由前面的分析可知,一階諧波可分為變形導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量和振動(dòng)導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量,前者與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān),后者與振動(dòng)頻率成線(xiàn)性增大關(guān)系,二者的綜合作用,使得氣動(dòng)力的一階諧波分量幅值隨頻率線(xiàn)性增大。圖19(b)中的虛線(xiàn)展示了這一規(guī)律。實(shí)線(xiàn)代表的是二階諧波分量幅值隨頻率的變化關(guān)系,可以看到是先減小后增大的。因此在中間頻段二階分量的占比降低,氣動(dòng)力的線(xiàn)性效應(yīng)增強(qiáng)。

    圖16不同位移信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖
    Fig.16Serodynamicresponsecomparisonfordifferentdisplacementsignals

    (a) 50 Hz (b) 200 Hz (c) 500 Hz

    (a) Amplitude ratio vs. frequency (b) Amplitude vs. frequency

    進(jìn)一步探究二階諧波的幅值隨頻率先減小后增大的原因。下式為活塞理論的二階分量:

    圖20 氣動(dòng)力二階諧波變形分量和振動(dòng)分量幅值隨頻率變化Fig.20 Deformation andvibration components of 2nd aerodynamic harmonics vs. frequency

    5 結(jié) 論

    本文選取超聲速來(lái)流的計(jì)算狀態(tài),忽略壁面黏性效應(yīng),對(duì)比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果,探究了壁板顫振中氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源,同時(shí)研究了具有雙側(cè)氣流的物面振動(dòng)氣動(dòng)力的線(xiàn)性性質(zhì),解釋了振動(dòng)頻率影響氣動(dòng)力非線(xiàn)性效應(yīng)的原因,得到的主要結(jié)論如下:

    (1) 超聲速物面振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的激波膨脹波是氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源;

    (2) 一階活塞理論適應(yīng)于高超聲速翼面氣動(dòng)彈性分析,其原因是上下表面的非線(xiàn)性分量相互抵消,氣動(dòng)力的線(xiàn)性效應(yīng)增強(qiáng);而在只有單側(cè)來(lái)流的壁板顫振分析中,模態(tài)變形量的對(duì)稱(chēng)性使得氣動(dòng)力的線(xiàn)性分量降低,非線(xiàn)性分量升高,此時(shí)需采用高階活塞理論來(lái)模擬這種非線(xiàn)性效應(yīng);

    (3) 活塞理論中的高階項(xiàng)表征的是激波膨脹波帶來(lái)的非線(xiàn)性效應(yīng),它隨振動(dòng)頻率的增加先減弱后增強(qiáng),其原因是非線(xiàn)性項(xiàng)中的變形氣動(dòng)力分量和振動(dòng)氣動(dòng)力分量相位相反,前者幅值不隨頻率變化,后者隨頻率增加而增大,在中間某段頻域內(nèi)二者的幅值近似相等,非線(xiàn)性效用相互抵消,只有此時(shí)氣動(dòng)力才可以看作是線(xiàn)性的。

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