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      淺談數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

      2018-11-30 09:34:34張琪
      中國校外教育(中旬) 2018年11期
      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型構(gòu)建應(yīng)用

      張琪

      【摘要】數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用和意義,能夠更好地促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。數(shù)學(xué)建模是一個綜合性的過程,在數(shù)學(xué)模型建立的課程中,如何更好地幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,如何準(zhǔn)確的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的數(shù)學(xué)問題,具有重要的意義。

      【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 構(gòu)建 數(shù)學(xué)技能 應(yīng)用

      一、建立數(shù)學(xué)模型的意義

      數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言來模擬空間形式和數(shù)量關(guān)系的模型。確切地說,數(shù)學(xué)模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標(biāo),根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)、表格、圖示等都可稱為數(shù)學(xué)模型。

      數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉,抽象為數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,驗證模型的合理性,并用該數(shù)學(xué)模型來解釋現(xiàn)實問題的應(yīng)用過程。

      如在探究三角形全等的條件中,通過體會三角形的特征,建立全等三角形的基本模型。從而明確依靠三個角都相等是不能判別出三角形全等的,而三條邊都相等的三角形卻是全等三角形。在建立了全等三角形的數(shù)學(xué)模型后,得出全等三角形的判定方法“邊邊邊(SSS)”,從而又通過邊角的對應(yīng)關(guān)系,得出其他判定方法還有“邊角邊(SAS)”“角邊角(ASA)”“角角邊(AAS)”??梢?,數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法,是運用數(shù)學(xué)的語言和方法,遵循數(shù)學(xué)規(guī)律,通過抽象、簡化出解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。

      二、促進學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型的策略

      數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程,在建模過程中加深對數(shù)學(xué)知識的理解,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

      如“一次函數(shù)的簡單應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計沒有直接告訴學(xué)生如何進行一次函數(shù)模型的構(gòu)建,再讓學(xué)生經(jīng)歷一次具體的練習(xí),根據(jù)學(xué)生已有知識和經(jīng)驗進行大量的探索和嘗試,教學(xué)始終關(guān)注學(xué)生的課堂生成,一切生成都源于自然.學(xué)生從平均數(shù)出發(fā),利用總數(shù)平均數(shù)、增長率平均數(shù)、增長幅度平均數(shù)等平均數(shù)原理構(gòu)建方程模型,在不斷的討論中,逐步生成函數(shù)模型,在函數(shù)模型構(gòu)建中關(guān)注模型的形成過程,即一次函數(shù)如何選擇兩個代表性的點,對不同的選擇方式進行充分的論證與比較,最終形成了一致的認識:選擇兩個具有適當(dāng)距離的點構(gòu)成一條直線,其余各點均勻分布在直線兩側(cè)。

      整堂課,學(xué)生經(jīng)歷“自主構(gòu)建—爭論論證—再構(gòu)建—再論證”不斷完善模型的構(gòu)建過程,數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建完全由學(xué)生自發(fā)生成,所有模型的生成均顯得自然、合理。在模型選擇中,完全放手讓學(xué)生進行比較分析,重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗。在模型構(gòu)建教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會選擇和比較,在模型應(yīng)用中發(fā)展學(xué)生的綜合能力。

      根據(jù)上面的課例可以看出,數(shù)學(xué)建模的形成受諸多方面的因素的影響,我認為可以從以下方面去考慮:

      1.教師的促進性技能,教師一定要營造一種積極、探究的環(huán)境,在這個環(huán)境中,學(xué)生能進行思考、分析、解決問題,學(xué)生的想法和問題是被尊重的,教師和其他學(xué)生應(yīng)對這個學(xué)生的想法給出建設(shè)性的反饋。

      2.教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng),教師要很好地理解與情境相關(guān)的數(shù)學(xué)知識以便引導(dǎo)學(xué)生提出質(zhì)疑并在傾聽的時候進行反思。

      3.教師和學(xué)生使用多種表征方式和數(shù)學(xué)工具,如動態(tài)幾何軟件、電子表格、網(wǎng)絡(luò)、圖形、計算器等。

      4.大量采用開放式的問題.有的問題具有多種可行的答案,多種表征方式和多種解決辦法.而有些人為設(shè)計的問題似乎會出現(xiàn)在真實的情境中,但并不是真實的或者不符合認知要求。

      5.問題情境。選擇現(xiàn)實的問題是非常重要的,那些與學(xué)生的經(jīng)歷相關(guān)、能激發(fā)學(xué)生興趣的現(xiàn)實問題是首選的。

      三、建立數(shù)學(xué)模型的步驟。

      根據(jù)個人的教學(xué)經(jīng)驗,認為數(shù)學(xué)建模的建立,需以下步驟:“模型的假設(shè)與準(zhǔn)備——模型的建立與求解——模型的檢驗與分析——模型的應(yīng)用與總結(jié)?!?/p>

      1.模型的假設(shè)與準(zhǔn)備。根據(jù)實際對象的特征和建模的目的,對問題進行必要的、合理的簡化,并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。了解問題的實際背景,明確其實際意義、建模目的,搜集掌握對象的各種信息.弄清對象的特征,用數(shù)學(xué)語言來描述問題及其本質(zhì)。

      2.模型的建立與求解。在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。利用獲取的數(shù)據(jù)資料,采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法,特別是計算機技術(shù),對模型的所有參數(shù)做出計算(估計)。

      3.模型的檢驗與分析。將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較,以此來驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合,則要對計算結(jié)果給出其實際含義,并進行解釋.如果模型與實際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè),再次重復(fù)整個建模過程。對模型解答所得結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的誤差判定,數(shù)據(jù)穩(wěn)定性等分析。

      4.模型的應(yīng)用與總結(jié)。應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。數(shù)學(xué)建模的過程是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必由之路與有效手段。事實上,所有的公式、定理的教學(xué)都是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。其中,公式、定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、正確性的驗證、結(jié)構(gòu)的提煉、符號化表征就是建模過程;將具體問題的條件、結(jié)論結(jié)構(gòu)與模型特征對比分析,并轉(zhuǎn)化為熟知的公式、定理的條件,使演繹或運算過程簡化,這個過程就是模型運用過程。

      四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)應(yīng)注意的地方

      建立數(shù)學(xué)模型的過程,是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料,觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律,抓住問題的主要矛盾,建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系,然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。

      1.改變以教師為中心、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式。教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力素養(yǎng)為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。如在教學(xué)代數(shù)式方面的知識時,讓學(xué)生充分體會一次函數(shù)、方程、不等式的意義,關(guān)注概念、法則、性質(zhì)等形成的過程,重視法則、性質(zhì)在解決實際問題中的運用,培養(yǎng)識別圖表信息的能力。

      2.加強對學(xué)生數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練,如解方程或方程組。將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實、靜態(tài)與動態(tài)結(jié)合在一起。教學(xué)中不僅關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握,還特別注重應(yīng)用意識。引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)知識和思想方法分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

      3.改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)建模是一個綜合性的過程,它具有問題性、活動性、過程性、探索性,因而它不同于單純的數(shù)學(xué)解題,這給學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變帶來了很大的空間。

      總之,建模教學(xué),既不是憑空創(chuàng)造新結(jié)論,也不能一切都模型化。教學(xué)中要通過定理、公式的歸納與證明、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)、選擇與運用,培養(yǎng)學(xué)生的建模意識,并在這個過程中積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗。

      教材規(guī)定:“經(jīng)過證明的真命題稱為定理”,數(shù)學(xué)中被證明的真命題不計其數(shù),為什么不是都稱為定理、公式呢?例如,“一線三等角”問題,只需等角轉(zhuǎn)化便能解決,況且其特征表述復(fù)雜,不宜作為數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中我們會有不少疑問,如“直角坐標(biāo)系的中點坐標(biāo)公式能不能直接用?”“能直接用射影定理嗎?”等問題,這說明教師潛意識里還是以太多的模型記憶替代數(shù)學(xué)本質(zhì)方法的探究。如果任由數(shù)學(xué)“模型”泛濫,學(xué)生必然要記住無窮盡的數(shù)學(xué)模型,會留給學(xué)生更多的機械記憶。

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