傾斜橢球各向異性介質(zhì)彈性波傳播特征

梁 鍇 曹丹平* 印興耀 吳國(guó)忱

(①中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；②海洋國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266071)

1 引言

地球介質(zhì)廣泛存在各向異性，地震各向異性主要表現(xiàn)在地震波傳播速度是傳播方向的函數(shù)、體波間的相互耦合、橫波分裂等。地震各向異性為研究地球介質(zhì)結(jié)構(gòu)、組分提供了新的信息[1]。一般將沉積巖近似為橫向各向同性(TI)介質(zhì)[2]，特別地，當(dāng)ε=δ(ε為度量qP波各向異性強(qiáng)度的參數(shù)，δ為影響TI介質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸方向附近的qP波速度的參數(shù))時(shí)，稱(chēng)為橢球各向異性(EA)介質(zhì)。EA介質(zhì)是TI介質(zhì)的一種特例，其獨(dú)立的彈性常數(shù)只有4個(gè)。與傾斜橫向各向同性(TTI)介質(zhì)類(lèi)似[3-11]，當(dāng)EA介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸與觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系有夾角時(shí)就形成傾斜橢球各向異性(TEA)介質(zhì)。Byun[12]根據(jù)射線(xiàn)理論研究了EA介質(zhì)的地震參數(shù)。Helbig[13]總結(jié)了橢球各向異性的特征和意義。Thomsen[2]給出了表征EA介質(zhì)的Thomsen參數(shù)。李磊等[14]討論了EA介質(zhì)參數(shù)的約束條件。

速度和偏振方向是彈性波傳播的重要特征，也是研究地震波傳播規(guī)律的重要參數(shù)，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中具有重要作用。在各向同性介質(zhì)中，彈性波速度不隨傳播方向而變化，P波的偏振方向與傳播方向平行，S波的偏振方向與傳播方向垂直。在EA介質(zhì)中，彈性波速度可能隨傳播方向而變化，并且P波的偏振方向與傳播方向不平行，SV波的偏振方向與傳播方向不垂直。前人廣泛研究了TI介質(zhì)(包括TTI介質(zhì))的速度和偏振現(xiàn)象[15-21]。

研究TEA介質(zhì)傳播特征可以采用兩種方法。一種是在本構(gòu)坐標(biāo)系下求取EA介質(zhì)的速度和偏振等特征，然后再利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法[18]，得到觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系下的TEA介質(zhì)的速度和偏振等特征。該方法得到的結(jié)果是相角(傳播方向與對(duì)稱(chēng)軸夾角)的函數(shù)[18]，難以表示為關(guān)于觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系中平面波傳播的極化角θ和方位角φ的函數(shù)。本文采用第二種方法，即在觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系直接求取TEA介質(zhì)彈性波速度和偏振特征參數(shù)。首先根據(jù)本構(gòu)坐標(biāo)系的EA介質(zhì)剛度矩陣，利用Bond變換得到觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系下TEA介質(zhì)的剛度矩陣；然后建立TEA介質(zhì)Christoffel方程，通過(guò)求解本征值問(wèn)題得到觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系下TEA介質(zhì)彈性波相速度和偏振解析表達(dá)式；再通過(guò)Crampin公式由相速度推導(dǎo)群速度的解析表達(dá)式；最后給出了相應(yīng)的數(shù)值算例。該方法的速度和偏振表達(dá)式均是關(guān)于觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系中平面波傳播的極化角θ和方位角φ的函數(shù)，形式直觀(guān)，物理意義明確。

2 TEA介質(zhì)剛度矩陣

各向異性介質(zhì)是由剛度矩陣C確定的，剛度矩陣C確定了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，但由其確定彈性波波動(dòng)方程系數(shù)的物理意義很不直觀(guān)。為方便理論研究和實(shí)際應(yīng)用，Thomsen[2]提出了一套表征TI介質(zhì)彈性的Thomsen參數(shù)

(1)

(2)

由彈性力學(xué)基本理論可知，在本構(gòu)坐標(biāo)系下，EA介質(zhì)的剛度矩陣為

(3)

觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系中的TEA介質(zhì)實(shí)質(zhì)上可視為由本構(gòu)坐標(biāo)系中的EA介質(zhì)旋轉(zhuǎn)形成 (圖1)。因此，可以利用Bond變換[22]對(duì)本構(gòu)坐標(biāo)系下的剛度矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，從而得到觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系下TEA介質(zhì)的剛度矩陣。

圖1 TEA介質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸示意圖θ、φ分別為傳播極化角和方位角， θ0、φ0分別為對(duì)稱(chēng)軸傾角和方位角， n為平面波傳播方向。

(4)

TEA介質(zhì)剛度矩陣與三斜各向異性介質(zhì)(極端各向異性介質(zhì))剛度矩陣的結(jié)構(gòu)相似，即描述兩種介質(zhì)的彈性波方程具有同樣的形式，但前者的獨(dú)立彈性常數(shù)個(gè)數(shù)與EA介質(zhì)一樣(4個(gè))。

3 TEA介質(zhì)彈性波速度和偏振

3.1 相速度

彈性波傳播速度主要包括相速度和群速度，相速度和群速度是彈性波傳播的兩個(gè)重要特征。TEA介質(zhì)的彈性波傳播特征不同于各向同性介質(zhì)，其相速度和群速度不一定相等。

利用TEA介質(zhì)剛度矩陣CTEA，結(jié)合彈性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)方程、牛頓運(yùn)動(dòng)微分方程和幾何方程，得到TEA介質(zhì)彈性波波動(dòng)方程

(5)

式中：U=(ux,uy,uz)T為位移矢量；ρ為介質(zhì)密度；t為時(shí)間；F=(Fx,Fy,Fz)T為體力項(xiàng)；L為空間偏導(dǎo)數(shù)算子矩陣，其表達(dá)式為

設(shè)式(5)的平面波解為

U=pexp[ik(n·x-Vt]

(6)

式中：x=(x,y,z)T為位置矢量；n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T為平面波的傳播方向；V為平面波傳播的速度(相速度)；k為波數(shù)；p=(px,py,pz)T為平面波的偏振方向。

將式(6)代入式(5)，并忽略體力項(xiàng)的影響，得到TEA介質(zhì)Kelvin-Christoffel方程

(7)

式中Γ11、Γ12、Γ13、Γ22、Γ23、Γ33為VP0、VS0、ε、γ、n和t的函數(shù)。為使式(7)有非零解，必須使其系數(shù)矩陣行列式為零，求解可得TEA介質(zhì)中qP波、qSV波和SH波相速度的解析表達(dá)式

(8)

其中

(9)

式(8)表明：TEA介質(zhì)中qP波的相速度為VP0、ε、θ、φ、θ0、φ0的函數(shù)，與VS0和γ無(wú)關(guān)。qSV波的相速度為一常數(shù)VS0，與VP0、ε、γ、θ、φ、θ0、φ0無(wú)關(guān)，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中qSV波的相速度呈各向同性。SH波的相速度表達(dá)式與qP波類(lèi)似，SH波的相速度為VS0、γ、θ、φ、θ0、φ0的函數(shù)，與VP0和ε無(wú)關(guān)。綜上所述：在TEA介質(zhì)中qP波和SH波相速度呈各向異性，相速度空間等值面不是橢球面；SV波相速度呈各向同性，相速度空間等值面為球面。

3.2 群速度

群速度是各向異性介質(zhì)彈性波的另一個(gè)重要特征，它決定波的能量傳播速度與方向，在地震波旅行時(shí)正演和反演中起重要作用。在各向異性介質(zhì)中，群速度不能由Christoffel方程得到，群速度不僅是相速度的函數(shù)，而且依賴(lài)于傳播方向，在頻散關(guān)系中以隱函數(shù)形式出現(xiàn)，因此計(jì)算相對(duì)較復(fù)雜。

根據(jù)Crampin[23]推導(dǎo)各向異性介質(zhì)群速度的思想，可得到一般各向異性介質(zhì)群速度的三個(gè)分量表達(dá)式

(10)

其中V為平面波傳播速度(相速度)。根據(jù)TEA介質(zhì)的相速度表示式(式(8))，可得TEA介質(zhì)qP波、qSV波和SH波的群速度表示式。

qP波群速度的三個(gè)分量為

(11)

其中

G=sinθsinθ0cos(φ-φ0)+cosθcosθ0

qP波群速度的值為

(12)

對(duì)比式(8)與式(12)可知，在TEA介質(zhì)中除某些特定方向外，qP波的相速度與群速度不相等。另外，在TEA介質(zhì)中qP波的群速度與VS0和γ無(wú)關(guān)。

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可知，qP波群速度的三個(gè)分量滿(mǎn)足

(13)

式(13)表示三維空間的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸傾斜的橢球面，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中qP波群速度等值面為對(duì)稱(chēng)軸傾斜的橢球面，其扁率為

(14)

由式(14)可見(jiàn)：αP只與ε有關(guān)，ε越大，αP越大；ε越小，αP越小，群速度等值面越接近于球面； 當(dāng)ε=0時(shí)，αP=0，群速度等值面由橢球面變?yōu)榍蛎?，即TEA介質(zhì)退化為各向同性介質(zhì)。

qSV波群速度與相速度大小相等、方向相同，即

(15)

qSV波群速度的值為

(16)

同理可以證明

(17)

式(17)表示三維空間中的一個(gè)球面，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中qSV波的相速度和群速度等值面均為球面，呈各向同性特征。

SH波群速度的三個(gè)分量為

(18)

SH波群速度的值為

(19)

對(duì)比式(8)與式(19)可知，在TEA介質(zhì)中除某些特定方向外，SH波的相速度與群速度不相等。另外，在TEA介質(zhì)中SH波的群速度與VP0和ε無(wú)關(guān)。

同理可以證明

(20)

式(20)表示三維空間的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸傾斜的橢球面，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中SH波群速度與qP波類(lèi)似，群速度等值面為對(duì)稱(chēng)軸傾斜的橢球面，其扁率為

(21)

由式(21)可見(jiàn)：αSH只與γ有關(guān)，γ越大，αSH越大；γ越小，αSH越小，群速度等值面越接近于球面；當(dāng)γ=0時(shí)，αSH=0，群速度等值面由橢球面變?yōu)榍蛎?，即TEA介質(zhì)退化為各向同性介質(zhì)。

3.3 偏振

將彈性波的相速度分別代入TEA介質(zhì)Chris-toffel方程并求解，其歸一化的通解為相應(yīng)波型的偏振方向(圖2)。

(22)

其中

圖2 qP波(a)、qSV波(b)、SH波(c)偏振示意圖

(23)

因?yàn)閜P×n≠0，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中P波偏振方向pP與傳播方向n不平行，而是存在一定角度，因此在TEA介質(zhì)中將P波稱(chēng)為準(zhǔn)P波或qP波。

(24a)

(24b)

其中

(25)

因?yàn)閜SV·n≠0，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中SV波偏振方向pSV與傳播方向n不垂直，而是存在一定角度，因此在TEA介質(zhì)中將SV波稱(chēng)為準(zhǔn)SV波或qSV波。

(26a)

(26b)

(27)

因?yàn)閜SH·n=0，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中SH波偏振方向pSH與傳播方向n垂直，為純S波。

假設(shè)傳播方向n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T和對(duì)稱(chēng)軸方向t=(sinθ0cosφ0,sinθ0sinφ0,cosθ0)T都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸原點(diǎn)，則有如下推論：

(1)經(jīng)計(jì)算pP·pSH=0，pSV·pSH=0，pP·pSV=0，說(shuō)明TEA介質(zhì)中qP波、qSV波和SH波的偏振方向兩兩垂直，符合各向異性介質(zhì)彈性波的偏振規(guī)律。

(2)經(jīng)計(jì)算pSH·t=0，說(shuō)明在TEA介質(zhì)中SH波偏振方向pSH與t垂直，又由于pSH與n垂直，因此pSH垂直于t和n確定的平面。此外，由于qP波、qSV波和SH波的偏振方向pP、pSV、pSH兩兩垂直，則pP、pSV平行于t和n確定的平面。

(3)在TEA介質(zhì)中pP、pSV是n、t、VP0、VS0和ε的函數(shù)，pSH僅是n、t的函數(shù)，而與TEA介質(zhì)的VP0、VS0、ε和γ均無(wú)關(guān)。

(4)在TEA介質(zhì)中，qSV波相速度和群速度呈各向同性特征，但其偏振方向呈各向異性特征。

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證前文對(duì)TEA介質(zhì)彈性波速度和偏振現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)了一組均勻TEA介質(zhì)模型(表1)。模型1與模型2的對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向相同，各向異性參數(shù)不同；模型2與模型3的對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向不同，各向異性參數(shù)相同。

表1 模型介質(zhì)參數(shù)

注：VP0=3000m/s，VS0=1500m/s，ρ=2000kg/m3

圖3～圖5分別為計(jì)算的模型1～模型3的彈性波速度。由圖可見(jiàn)：qP波和SH波相速度呈各向異性特征，相速度空間等值面不是橢球面(圖3a、圖3c、圖4a、圖4c、圖5a、圖5c)，qP波和SH波群速度等值面為橢球面，且隨著ε和γ的增大，橢球的扁率也增大，說(shuō)明各向異性程度隨ε和γ的增大而增大(圖3d、圖3f、圖4d、圖4f、圖5d、圖5f)；qSV波的相速度和群速度大小相等，方向相同，速度等值面均為球面，表明qSV波的相速度和群速度是各向同性的，與各向異性參數(shù)和對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向無(wú)關(guān)(圖3b、圖3e、圖4b、圖4e、圖5b、圖5e)； 當(dāng)各向異性參數(shù)保持不變，TEA介質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向發(fā)生變化時(shí)，TEA介質(zhì)彈性波相速度和群速度空間等值面的形狀也保持不變，只是發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度由對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向決定(圖4、圖5)。

圖3 計(jì)算的模型1的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖4 計(jì)算的模型2的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖5 計(jì)算的模型3的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖6～圖8分別為計(jì)算的模型1～模型3的彈性波偏振方向及角度。由圖可見(jiàn)：qP波、qSV波和SH波的偏振方向相互垂直；隨著各向異性參數(shù)的增大，qP波和qSV波偏振的各向異性程度也增大， SH波的偏振方向不隨各向異性參數(shù)變化而變化，qP波、qSV波和SH波的偏振方向與對(duì)稱(chēng)軸的傾斜方向有關(guān)。

圖6 計(jì)算的模型1的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

圖7 計(jì)算的模型2的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

圖8 計(jì)算的模型3的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在觀(guān)測(cè)坐標(biāo)系下直接求取了TEA介質(zhì)彈性波速度和偏振方向，理論分析和數(shù)值算例結(jié)果表明：

(1)TEA介質(zhì)qP波和SH波相速度呈各向異性特征，相速度空間等值面不是橢球面；兩者的群速度等值面為對(duì)稱(chēng)軸傾斜的橢球面，其扁率隨各向異性參數(shù)增大而增大。

(2)TEA介質(zhì)qSV波相速度與群速度大小相等、方向相同，速度空間等值面均為球面，即TEA介質(zhì)qSV波相速度和群速度呈各向同性特征。

(3)TEA介質(zhì)qP波和qSV波的偏振方向由傳播方向、對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向、VP0、VS0和各向異性參數(shù)ε共同確定，而與各向異性參數(shù)γ無(wú)關(guān)。

(4)TEA介質(zhì)SH波偏振方向只由傳播方向和對(duì)稱(chēng)軸傾斜方向確定，而與TEA介質(zhì)的VP0、VS0、各向異性參數(shù)ε和γ均無(wú)關(guān)，并且SH波偏振方向垂直于傳播方向和對(duì)稱(chēng)軸方向所確定的平面。