常微分方程求解中常數(shù)變易法的應(yīng)用研究

江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)校無錫交通分院 許瑩霞

方程是數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要內(nèi)容，從初中開始，學(xué)生就開始接觸各種各樣的方程，如對(duì)數(shù)方程、線性方程、三角方程等，這些方程均是將需要進(jìn)行研究的問題按照已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系來建立方程式，通過對(duì)方程式的求解來達(dá)到解決問題的目的。但在實(shí)際生活當(dāng)中，也同樣有一些方程與其他方程有所不同，其與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系，是根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)來對(duì)相應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行求解的，而常微分方程便是這類方程之一，隨著常微分方程理論的不斷完善，通過常微分方程能夠?qū)κ挛锏淖兓?guī)律進(jìn)行精確的表述，而在對(duì)常微分進(jìn)行求解時(shí)，常數(shù)變易法無疑是其中最為重要的求解方法。為此，有必要對(duì)常微分方程求解中常數(shù)變易法的相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行研究。

一、常數(shù)變易法簡(jiǎn)介

常數(shù)變易法是求解常微分方程的有效方法，這也使其在實(shí)際應(yīng)用中得到了廣泛的使用。常數(shù)變易法是將常微分方程中的常系數(shù)進(jìn)行替換，進(jìn)而使其成為待定函數(shù)，由該函數(shù)來求出常微分方程的解。其除了能夠?qū)ΤＮ⒎址匠讨械囊浑A線性微分方程求解以外，在其他一階非線性及二階線性常微分方程中也經(jīng)常能夠被用到。但如何利用常數(shù)變易法對(duì)其進(jìn)行求解呢？為此，以下便對(duì)常數(shù)變易法在常微分方程求解中的具體應(yīng)用進(jìn)行研究。

二、常微分方程求解中常數(shù)變易法的應(yīng)用研究

1.常數(shù)變易法在一階非線性微分方程求解中的應(yīng)用

貝努利方程是較為典型的一階非線性微分方程，在對(duì)貝努利方程進(jìn)行求解時(shí)，需要對(duì)該方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為相應(yīng)的線性方程，在線性方程轉(zhuǎn)化完畢后，便可以依據(jù)線性方程中的相關(guān)求解方法來進(jìn)行解決，當(dāng)然，也可以通過常數(shù)變易法進(jìn)行解決，而且能夠達(dá)到事半功倍的效果。從貝努利方程的內(nèi)容來看，要想應(yīng)用常數(shù)變易法，應(yīng)對(duì)貝努利方程中相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程進(jìn)行明確，在明確齊次線性方程以后，便可對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而求出貝努利方程的通解。例如：已知方程為，該方程便是一階非線性微分方程，在對(duì)該方程進(jìn)行求解時(shí)，可依據(jù)常數(shù)變易法將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為可分離的變量方程，然后再對(duì)其進(jìn)行求解。利用常數(shù)變易法可求出該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程，即然后可求出其通解為y=cx，在該方程中將y(x)進(jìn)行代入計(jì)算，由此可以得出進(jìn)一步轉(zhuǎn)化可以得出然后通過兩邊積分的方法將v（x）求出，并代入y=v（x）中，由此便可求得該方程的解。

2.常數(shù)變易法在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求解中的應(yīng)用

二階常系數(shù)線性方程也是常微分方程中的一種，在應(yīng)用常數(shù)變易法來對(duì)這類方程進(jìn)行求解時(shí)，具備非常良好的應(yīng)用效果，它不需要求出非齊方程的特定解，只需通過常數(shù)變易法對(duì)其中一個(gè)與之相關(guān)的齊次方程進(jìn)行解組，就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)這類方程的求解，從而獲得相應(yīng)的通解公式。在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中，其方程為由該方程可以獲得與之相對(duì)應(yīng)的齊次方程，即從該方程中可以獲得其特征方程，即在該方程中，需要對(duì)其復(fù)根與實(shí)根進(jìn)行分別分析，第一種情況是當(dāng)該特征方程中的s為實(shí)根時(shí)，則可以知道其對(duì)應(yīng)齊次方程中的一個(gè)解是根據(jù)常數(shù)變易法的解決思路，可以將二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解進(jìn)行設(shè)定，使其設(shè)定為通過對(duì)該解進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出相應(yīng)解的推導(dǎo)方程，將該推導(dǎo)方程與代入該二階常系數(shù)非齊次線性微分方程當(dāng)中，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此便可以得出該方程便可作為 的一階線性方程，進(jìn)而可以得出其通解為根據(jù)該一階線性方程的通解，便可以得到該二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解公式，即

3.常數(shù)變易法在二階變系數(shù)齊次線性微分方程求解中的應(yīng)用

在常微分方程中，常數(shù)變易法在二階變系數(shù)齊次線性微分方程的求解中也同樣有所應(yīng)用，在對(duì)二階變系數(shù)齊次線性微分方程進(jìn)行求解時(shí)，需要根據(jù)其特征方程來求出其特解，并根據(jù)求出的特解進(jìn)一步求得通解。不過，由于二階變系數(shù)齊次線性方程內(nèi)部的系數(shù)是一種變量，該變量使該方程難以利用特征方程進(jìn)行求解，因此必須要通過常數(shù)變

本文對(duì)常數(shù)變易法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的介紹，在此基礎(chǔ)上對(duì)常數(shù)變易法在常微分方程求解中的相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行了探討，明確了常數(shù)變易法在常微分方程求解中的具體思路，進(jìn)而為學(xué)生解決常微分方程問題提供了高效的求解方法，使學(xué)生能夠通過常數(shù)變易法的應(yīng)用，更加精確地表述事物在變化過程中遵循的基本規(guī)律。